Equazioni di secondo grado

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Equazioni di secondo grado
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Facoltà di Ingegneria - Università della Calabria
JJ
II
J
I
September 12, 2005
Abstract
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Lo scopo di questo lavoro è quello di fornire all’utente uno
strumento per verificare il suo grado di preparazione realtivamente alle equazioni di secondo grado.
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1 Equazioni di secondo grado
3
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Riferimenti teorici
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JJ
II
J
I
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11
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II
J
I
Pagine 3 di 10
1.
Equazioni di secondo grado
In questa sezione sono presentati esercizi a risposta multipla che
riguardano le equazioni di secondo grado.
Ogni domanda prevede risposte diverse, ma una soltanto è quella
corretta. Per cominciare un qualsiasi esercizio, bisogna selezionarlo
cliccando su ”Inizio test” e dunque cliccare sulla casellina che si
ritiene corrisponda alla risposta corretta.
Alla fine dell’esercizio, cliccando su ”Fine test” il programma procederà ad indicare il numero di risposte corrette date ed eventualmente a correggere quelle errate.
Inizio Quiz
1. Quali sono le soluzioni dell’equazione x2 − x = 0 ?
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(a)
(b)
(c)
(d)
x1
x1
x1
x1
= 1; x2 = −1;
= 0; x2 = 1;
= 0; x2 = −1;
= x2 = 1;
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2. In una equazione di secondo grado completa, ax2 + bx + c = 0,
che espressione ha il determinante?
(a)
(b)
(c)
(d)
b2 − 4ac
b
− 2a
0
Non esiste.
II
3. Quali sono le soluzioni dell’equazione
J
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(a)
(b)
(c)
(d)
x1
x1
x1
x1
= 1;
= 3;
= 1;
= 0;
x2
x2
x2
x2
x2 −3
x−1
=3?
= 3;
= −3;
√
= 3;
= 3;
4. Risolvere la seguente equazione di secondo grado incompleta
pura.
16x2 − 1 = 0
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I
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(a)
(b)
(c)
(d)
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= 1; x2 = −1;
= 14 ; x2 = − 14 ;
= 4; x2 = −4;
= 0; x2 = 1;
5. Risolvere la seguente equazione
(x + 5)2 = 1
(a)
(b)
(c)
(d)
x1
x1
x1
x1
= −4; x2 = −6;
= x2 = −5;
= −5; x2 = −1;
= −5; x2 = +5;
6. Trovare le soluzioni reali della seguente equazione.
x2 − x + 1 = 0
Pieno Schermo
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x1
x1
x1
x1
(a)
(b)
(c)
(d)
x1 = 0; x2 = 1;
x1 = 1; x2 = −1;
Non ha soluzioni reali. L’equazione è impossibile.
L’equazione ammette infinite soluzioni.
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7. Cosa possiamo dedurre sulle soluzioni osservando la seguente
equazione?
x2 − 2x − 3 = 0
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Pieno Schermo
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(a) Le soluzioni sono
prodotto è pari a
(b) Le soluzioni sono
prodotto è pari a
(c) Le soluzioni sono
prodotto è pari a
(d) Le soluzioni sono
prodotto è pari a
concordi, la loro somma è pari a −2, il
−3.
discordi, la loro somma è pari a −2, il
−3.
discordi, la loro somma è pari a 2, il
−3.
concordi, la loro somma è pari a −3, il
2.
8. La differenza tra il quadrato di un numero ed il multiplo
del numero stesso secondo 12 è 28. Determinare quel numero.
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(a)
(b)
(c)
(d)
14.
Sono soluzioni sia 14 che −2.
-2.
12.
9. Calcolare le soluzioni dell’equazione seguente
(2a − 1)x2 − ax = 0
2a
(a) x1 = 0 ; x2 = 2a−1
con a 6= 12
a
(b) x1 = 0 ; x2 = 2a−1 con a 6= 12
(c) nessuna delle risposte precedenti
10. Calcolare le soluzioni dell’equazione seguente
(a − 2)x2 − a2 x + 2a2 = 0 a 6= 2
(a) x1 = a ; x2 =
(b) x1 = a ; x2 =
(c) x1 = a ; x2 =
2a
a−2
a
a−2
2a
a−1
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11. Calcolare le soluzioni della seguente equazione
3x − 4
x2 − 4
=2+
.
x−1
2x − 2
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I
(a) x1 = 0 ; x2 = 2
(b) x1 = 2 ; x2 = 1
(c) x1 = 0 ; x2 = 1
12. Calcolare le soluzioni della seguente equazione
x+3
x
a+5
+
=
.
x + 2 a2 + 4a + 3
a+3
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Esci
(a) per a 6= −3 e a 6= −1 risulta: x1 = a + 1; x2 = a − 1
(b) per a = −3 risulta: x1 = −2; x2 = −4
(c) per a = −1 risulta: x1 = −2; x2 = −4
13. Conoscendo a + b =
11
6
e a · b = − 53 trovare i due numeri a e b.
(a) I due numeri sono 25 e − 23
(b) I due numeri sono a = 25 e b = 23
(c) I due numeri sono a = 52 e b = − 23
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14. La scomposizione in fattori primi del polinomio:
2x2 − 3x + 1 = 0
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è:
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(a) 2(x − 1)(x − 12 )
(b) (x − 1)(x − 12 )
(c) (x − 2)(x − 12 )
15. La scomposizione in fattori primi del polinomio:
25x2 − 20x + 4 = 0
Pagine 9 di 10
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è:
(a) 25(x − 25 )
(b) 25(x − 25 )2
(c) 5(x − 25 )
Fine Quiz
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Pagine 10 di 10
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Se hai risposto erroneamente alle domande puoi verificare la
tua preparazione consultando pagine teoriche relative agli argomenti trattati in questa sezione del test.
Per visualizzare le pagine teoriche clicca su
RIFERIMENTI TEORICI
Riferimenti teorici 1. Vai alle pagine di teoria
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Riferimenti teorici
Riferimenti teorici 1.
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I
Equazioni di 2 grado
La forma normale (detta canonica) di una equazione di II grado è
la seguente
ax2 + bx + c = 0
a, b, c ∈ R.
Calcolo delle soluzioni
La forma generale si specializza a seconda del valore assunto dai
coefficienti. A parte il caso in cui a sia uguale a zero, che riporta
l’equazione ad una di primo grado, l’equazione può essere:
Pagine 11 di 10
• Incompleta PURA se si presenta nella forma
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Esci
ax2 + c = 0.
La soluzione di questo caso particolare è
p
x = ± − ac se a e c sono discordi
Impossibile in R se a e c sono concordi
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• Incompleta SPURIA se si presenta nella forma
ax2 + bx = 0 =⇒ x(ax + b) = 0.
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Le soluzioni di questo caso sono
x=0
ax + b = 0 =⇒ x = − ab
• Incompleta MONOMIA se si presenta nella forma
ax2 = 0.
La soluzione di questo caso particolare è
Pagine 12 di 10
x = 0 con molteplicità 2.
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• Completa se tutti i coefficienti sono diversi da zero.
L’equazione completa si può risolvere in x.
ax2 + bx + c = 0
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Si moltiplica per 4a
Esci
4a2 x2 + 4abx + 4ac = 0
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si somma e sottrae b2
4a2 x2 + 4abx + 4ac + b2 − b2 = 0
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Pagine 13 di 10
si isola il quadrato di un binomio
4a2 x2 + 4abx + b2 = b2 − 4ac
(2ax + b)2 = b2 − 4ac
p
2ax + b = ± b2 − 4ac
si ricavano le soluzioni
x1,2 =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
∆ = (b2 − 4ac) è detto discriminante o determinante.
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Nel caso in cui il coefficiente b sia un numero pari b = 2β è
possibile utilizzare una forma ridotta
p
−β ± β 2 − ac
2
ax + 2βx + c = 0 =⇒ x1,2 =
a
dove (β 2 − ac) = ∆/4 è il discriminante ridotto.
Esci
In dipendenza dal segno del discriminante si verificano tre
casi diversi:
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1. ∆ > 0 =⇒ x1 e x2 reali e distinte.
2. ∆ = 0 =⇒ x1 e x2 reali e coincidenti.
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3. ∆ < 0 =⇒ soluzioni complesse coniugate (a + ib) ∈ C.
Nessuna soluzione in R.
Esempio 1.
Sono da calcolare le soluzioni dell’equazione seguente
√
x2 − 4 3x + 14 = 0
L’equazione è completa e a coefficienti numerici. Si calcola il
discriminante
Pagine 14 di 10
∆ = b2 − 4ac = 16 · 3 − 4 · 14 = 48 − 56 = −8 < 0;
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Pieno Schermo
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Le soluzioni sono complesse coniugate (nessuna soluzione in R).
√
√
√
√
√
√
4 3 ± −8
4 3 ± 2i 2
x1,2 =
=
= 2 3 ± i 2;
2
2
Esempio 2.
Calcolare le soluzioni dell’equazione seguente
Esci
(2a − 1)x2 − ax = 0
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L’equazione è spuria e letterale.
x[(2a − 1)x − a] = 0;
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Tale equazione è verificata quando si annulla o il primo termine
[x] o il secondo [(2a − 1)x − a]
x = 0 =⇒ x1 = 0;
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Pagine 15 di 10
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a
, 2a − 1 6= 0 =⇒ a 6= 1/2;
2a − 1
Per a = 1/2 non è definita x2 e si ha solo x1 , infatti in questo caso
speciale l’equazione data diventa di primo grado e ha quindi una
sola soluzione.
Esempio 3.
Calcolare le soluzioni dell’equazione seguente
(2a − 1)x − a = 0 =⇒ x2 =
(a − 2)x2 − a2 x + 2a2 = 0
Pieno Schermo
Chiudi
al variare del parametro a.
L’equazione è completa e letterale. L’equazione diventa di
primo grado quando (a − 2) = 0, cioè ha una sola soluzione quando
a = 2. Tale soluzione si ricava specializzando l’equazione generale
Esci
0 · x2 − 4x + 8 = 0 =⇒ −4x = −8 =⇒ x = 2;
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Nel caso pi generale in cui a 6= 2 si può calcolare il discriminante
∆[= b2 − 4ac] = a4 − 4(a − 2)(2a2 ) = a4 − 8a3 + 16a2 =
Titolo della Pagina
= a2 (a2 − 8a + 16) = a2 (a − 4)2 ≥ 0;
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II
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I
Pagine 16 di 10
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• Consideriamo i valori di a per cui ∆ = 0 ovvero
2
a = 0,
quindi a=0;
2
2
a (a − 4) = 0 =⇒
(a − 4)2 = 0, quindi a=4.
(
4
= 1, con a=0;
x1,2 = 2(4−2)
a2 ± 0
x1,2 =
=⇒
0
x
=
2(a − 2)
1,2
2(0−2) = 0, con a=4.
• Consideriamo ora il caso ∆ > 0 ovvero a 6= 0 e a 6= 4 per cui
esisteranno sempre le due soluzioni nel campo reale.
"
Pieno Schermo
x1,2
p
√ #
a2 ± a2 (a − 4)2
−b ± ∆
=
=
2a
2(a − 2)
Chiudi
x1,2 =
Esci
a2 ± a(a − 4)
2(a − 2)
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I
da cui si ricavano le due soluzioni
x1 =
a2 + a2 − 4a
2a2 − 4a
a(2a − 4)
=
=
= a,
2a − 4
2a − 4
2a − 4
x2 =
a2 − a2 + 4a
4a
2a
=
=
;
2a − 4
2(a − 2)
a−2
Esempio 4.
Calcolare le soluzioni della seguente equazione
x2 − 4
3x − 4
=2+
.
x−1
2x − 2
Pagine 17 di 10
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L’equazione è definita soltanto quando i denominatori sono diversi da zero
x − 1 6= 0 =⇒ x 6= 1,
Pieno Schermo
2x − 2 6= 0 =⇒ 2(x − 1) 6= 0 =⇒ x 6= 1;
Chiudi
Escluso il valore x = 1 si procede nella risoluzione dell’equazione,
calcolando il minimo comune multiplo fra i denominatori
Esci
m.c.m. = 2(x − 1);
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II
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I
Pagine 18 di 10
Riportando tutti i termini allo stesso denominatore l’equazione
diventa
2(3x − 4)
2[2(x − 1)] + x2 − 4
=
;
2(x − 1)
2(x − 1)
Questa equazione è verificata quando i due numeratori sono uguali,
per cui l’equazione da risolvere è
6x − 8 = 4x − 4 + x2 − 4 =⇒ −x2 − 4x + 6x − 8 + 4 + 4 = 0
x2 − 2x = 0.
Si tratta di una equazione spuria.
x1 = 0
x(x − 2) = 0 =⇒
x − 2 = 0 =⇒ x2 = 2
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Esci
Entrambe le soluzioni x1 e x2 sono accettabili, perchè diverse da
1.
Esempio 5.
Discutere la seguente equazione al variare del parametro a
x+3
x
a+5
+ 2
=
.
x + 2 a + 4a + 3
a+3
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II
J
I
Pagine 19 di 10
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Pieno Schermo
Chiudi
L’equazione è definita soltanto quando i denominatori sono diversi da zero
x + 2 6= 0 =⇒ x 6= −2,
√
−4 ± 16 − 12
−4 ± 2
=
=⇒
a2 + 4a + 3 6= 0 =⇒ a 6=
2
2
a 6= −2
2 = −1,
a 6= −6
2 = −3.
a + 3 6= 0 =⇒ a 6= −3;
Esclusi i valori x = −2, a = −3 e a = −1 si procede nella
risoluzione dell’equazione, calcolando il minimo comune multiplo
fra i denominatori. I tre denominatori sono (x + 2),(a + 1)(a + 3)
e (a + 3).
m.c.m. = (x + 2)(a + 1)(a + 3);
Riportando tutti i termini allo stesso denominatore l’equazione
diventa
(x + 3)(a + 1)(a + 3) x(x + 2)
(a + 5)(x + 2)(a + 1)
+
=
;
m.c.m.
m.c.m.
m.c.m.
Questa equazione è verificata quando i due numeratori sono uguali,
per cui l’equazione da risolvere è
Esci
(x + 3)(a2 + 4a + 3) + x2 + 2x = (x + 2)(a2 + 6a + 5)
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x(a2 +4a+3+2)+3a2 +12a+9+x2 = x(a2 +6a+5)+2a2 +12a+10)
Ordinando i termini per grado si ha l’equazione finale
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JJ
II
x2 + x(a2 − a2 + 4a − 6a + 5 − 5) + 3a2 − 2a2 + 12a − 12a + 9 − 10 = 0
x2 − 2ax + a2 − 1 = 0
Tale equazione è completa e letterale. Si calcola il discriminante
∆ = 4a2 − 4(a2 − 1) = 4 > 0;
J
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Pagine 20 di 10
prima di passare al calcolo delle soluzioni
√
2a ± 2
2(a ± 1)
2a ± 4
x1 = a + 1,
=
=
=
x1,2 =
x2 = a − 1;
2
2
2
Indietro
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
Ricordando che per a = −3 e a = −1 l’equazione non è definita.
Si noti che, eliminando questi due valori, x1 e x2 non possono
mai essere pari a −2, perciò automaticamente è verificata la terza
condizione x 6= −2.
Altre applicazioni.
La teoria sulle equazioni di secondo grado può essere sfruttata per
risolvere alcuni problemi.
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II
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Pagine 21 di 10
Indietro
• Trovare due numeri conoscendo la loro somma (s) ed il loro
prodotto (p).
Risolvere tale problema equivale a calcolare le soluzioni
dell’equazione
x2 − sx + p = 0,
Esempio 6.
5
Conoscendo a + b = 11
6 e a · b = − 3 trovare i due numeri a e
b.
É sufficiente risolvere l’equazione
x2 −
Passando tutti i termini allo stesso denominatore (m.c.m.=6)
si ha
6x2 − 11x − 10 = 0
Pieno Schermo
x1,2
Chiudi
5
11
x− =0
6
3
∆ = 121 − 4 · (−60) = 121 + 240 = 361
√
5
11 ± 19
11 ± 361
a = 30
12 = 2 ,
=
=
=
8
b = − 12 = − 23 ;
12
12
É possibile verificare il risultato ottenuto:
Esci
15 − 4
11
5 2
− =
=
2 3
6
6
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JJ
II
J
I
Pagine 22 di 10
10
5
2 5
=−
− · =−
3 2
6
3
Esempio 7.
√
Conoscendo a + b = 4 3 e a · b = 12 trovare i due numeri a
e b.
É sufficiente risolvere l’equazione
√
x2 − 4 3x + 12 = 0
∆ = 16 · 3 − 4 · (12) = 48 − 48 = 0
Le due soluzioni sono coincidenti
√
√
4 3
x1,2 =
=⇒ a = b = 2 3
2
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• Scomporre in fattori un polinomio di secondo grado
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
ax2 + bx + c
è un’operazione che può essere fatta, una volta che siano
note le soluzioni dell’equazione di secondo grado P(x)=0. Si
distinguono tre casi.
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1. ∆ > 0.
ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ), dove x1 e x2 sono le
soluzioni della equazione di secondo grado associata.
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I
Pagine 23 di 10
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Pieno Schermo
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Esci
2. ∆ = 0.
ax2 +bx+c = a(x−x1 )2 , dove x1 indica le due soluzioni
coincidenti.
3. ∆ < 0.
In questo caso è necessario manipolare l’espressione,
tramite il completamento del quadrato, ottenendo infine
ax2 + bx + c = a[(x + k)2 + m2 ].
Esempio 8.
Scomporre in fattori il polinomio 3x2 + 2x + 2.
∆ = 4 − 4 · 3 · 2 = 4 − 24 < 0.
É necessario ricorrere al completamento del quadrato, agb2
giungendo e sottraendo un termine pari a 4a
2.
2 4 1 4 1
2
3x2 + 2x + 2 = 3 x2 + x + + · − ·
=
3
3 9 4 9 4
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2
1 2 1
=3 x + x+ + −
3
9 3 9
"
2
=3
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II
J
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Pagine 24 di 10
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Esci
"
1
=3 x+
3
#
2
1
5
x+
+
.
3
9
2
#
6−1
+
=
9
Esempio 9.
Scomporre in fattori il polinomio 2x2 − 3x + 1.
x1,2
∆ = 9 − 4 · 2 = 9 − 8 = 1 > 0.
√
3± ∆
3±1
x1 = 1
=
=
=⇒
x2 = 12
2·2
4
Note le due radici è quindi possibile scomporre il polinomio
1
2x2 − 3x + 1 = 2(x − 1) x −
2
Esempio 10
Scomporre in fattori il polinomio 25x2 − 20x + 4.
∆ = 400 − 4 · 25 · 4 = 400 − 400 = 0.
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Esci
Si tratta quindi di un quadrato perfetto.
x1,2 =
20
2
20 ± 0
=
=
2 · 25
50
5
Note le due radici coincidenti è quindi possibile scomporre il
polinomio in un quadrato
2
25x − 20x + 4 = 25 x −
5
2
2
.
Per tornare alla simulazione del test clicca su
RIFERIMENTI TEORICI
Riferimenti teorici 1