Corso di Laurea Magistrale in Statistica, Scienze Attuariali e

Corso di Laurea Magistrale in Statistica, Scienze Attuariali e Finanziarie
Insegnamento di Inferenza Statistica
(A.A. 2016/2017)
Esercitazione del 6 Ottobre 2016
1.
Compito del 16/12/2005 - Esercizio A.
Un laboratorio eettua analisi del sangue per valutare la presenza del morbo di Student in 90 soggetti. Ogni
giorno vengono esaminati 30 soggetti e la probabilità che per un soggetto l'esito del test sia positivo è 0.031.
(a) Calcolare la probabilità di osservare la seguente sequenza: "nessun positivo il primo giorno, 1 positivo il
secondo giorno, nessun positivo il terzo giorno".
(b) Il direttore del laboratorio propone di adottare la seguente strategia: "Per ognuno dei 3 giorni separatamente, si uniscono i campioni di sangue di tutti i 30 soggetti e si eettua un unico test: se il risultato è
negativo la procedura si conclude dichiarando tutti i soggetti negativi, mentre se il risultato è positivo si
eettua nuovamente il test per ogni singolo soggetto in modo da individuare chi è positivo". Sapendo che
ogni test costa 0.7 euro, calcolare il risparmio atteso derivante dalla strategia proposta dal direttore.
2. In un cinema ci sono (n + k) posti a sedere; di questi n sono occupati. Qual è la probabilità che r (r ≤ n)
posti scelti a caso siano tutti occupati?
3. Dimostrare che se X|λ ha distribuzione P oisson(λ) e λ ha distribuzione esponenziale negativa di media β , la
1
distribuzione marginale di X è Geometrica di parametro p =
1+β
4.
Compito del 07/06/2006 - Esercizio B.
Un contadino ha in magazzino 12 buste di semi di zucchine della specie A (resa media 81.1 kg con varianza
36.3) e 8 buste della specie B (resa media 92.4 kg con varianza 28.4). Si assuma la normalità delle distribuzioni.
(a) Presa una busta a caso, il contadino eettua la semina. Qual è la probabilità che la resa sia maggiore di
90 kg?
(b) L'anno successivo il contadino eettua la semina utilizzando due buste di semi, una per ogni specie, e
scommette con un amico che la resa totale sarà superiore a x kg. Qual è il valore x per cui il contadino
ha il 70% di probabilità di vincere la scommessa?
5.
Compito del 08/11/2005 - Esercizio B.
Un test prevede 80 domande a risposta chiusa con 5 alternative di cui solo una è la risposta corretta. Il
punteggio totale viene calcolato attribuendo 1 punto per ogni risposta esatta. −0.25 punti per ogni risposta
errata e 0 punti per ogni risposta omessa. Calcolare la probabilità di ottenere un punteggio superiore a 9 in
ciascuna delle seguenti ipotesi:
(a) Il candidato seleziona completamente a caso tutte le risposte
(b) Il candidato seleziona completamente a caso le risposte per il 40% dei quesiti, mentre per gli altri è in
grado di scartare correttamente 3 alternative palesemente false. Seleziona quindi completamente a caso
la risposta tra le due alternative rimanenti
6.
Compito del 03/11/2011 - Esercizio D.
Ogni ovetto di cioccolato Ovociok costa 0.85 euro e contiene una sorpresa. In un terzo dei casi si tratta di un
modellino di gladiatore. Matteo vuole collezionare 4 gladiatori, quindi inizia ad acquistare un ovetto alla volta
no a raggiungere l'obiettivo.
(a) Calcolare il valore atteso della spesa totale e la probabilità che la spesa sia inferiore a 5 euro.
(b) Supponiamo che Matteo abbia già acquistato 5 ovetti nei quali ha trovato 2 gladiatori: ricalcolare il valore
atteso della spesa totale.
(c) Se il gladiatore fosse presente nella metà degli ovetti, quanto dovrebbe costare ogni ovetto per ottenere
un valore atteso della spesa pari a quello del punto (a)?
7.
Compito del 06/06/2007 - Esercizio A.
Da un'urna contenente 4 palline rosse e 1 bianca si estraggono 3 palline. Prima di procedere all'estrazione
si lancia una moneta: se esce testa l'estrazione delle palline avviene con reimmissione, se esce croce senza
reimmissione.
(a) Qual è probabilità che tutte le palline estratte siano rosse?
(b) Nel caso che tutte le palline estratte siano rosse, qual è la probabilità che nel lancio della moneta sia
uscito testa?
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