P - INFN-Bologna

Introduzione alla Probabilità Even3 aleatori Teoria della Prob. à studio dei fenomeni aleatori = even5 di cui non si può predire con certezza il risultato alea iacta est ! –  risultato del lancio di una moneta –  sesso di un neonato –  diﬀusione, mortalità… delle mala=e –  risultato delle misure sperimentali ! (La5no: alea = dado) 2 Introduzione alla Probabilità •  La probabilità serve a quan3ﬁcare a priori possibilità del veriﬁcarsi di un evento aleatorio –  Probabilità come misura (valutazione) della possibilità di realizzarsi di un evento –  PermeEe di emeEere giudizi basa5 su informazioni incomplete o conoscenze incerte •  Nascita ~1650 (Pascal, Fermat) –  descrizione rigorosa di fenomeni demograﬁci e giochi •  Teoria delle prob à metodo per conoscere come assegnare una prob agli even5 -‐ la matema5ca dell’incerto 3 Prove ed Even3 PROVA esperimento con esito aleatorio •  Lancio di una moneta •  Sesso di un neonato •  N. di telefonate ricevute in 1 gg dal centralino del pronto soccorso EVENTO faEo che può accadere (risultato della prova) •  testa / croce •  M / F •  da 0 a 999999 (?) prova lancio di un dado 1 2 3 4 5 6 even3 elementari 4 Lo spazio campionario Ad ogni esperimento è associato uno spazio campionario Ω cos5tuito dall’insieme di tu= i possibili risulta5 (esi5). I singoli esi5 si dicono elemen5 di Ω o “even5 elementari” Prova Ω lancio di 1 dado {1,2,3,4,5,6} lancio di 2 {TT, TC, CT, CC} monete misura della vita di una lampadina {t: 0 ≤ t < ∞ } tu= i numeri reali posi5vi 5 Gli even3 in S •  Gli even5 semplici possono essere compos5 mediante i conne=vi: “e”, “o”, “non” à Even5 complessi: (E1 e E2), (E1 e (E2 o E3)),... •  Qualunque soEo-‐insieme di Ω contenente ≥1 even5 elementari si dice ancora “evento” (composto) Evento composto “esce 5 oppure 6” Si veriﬁca se l’esito è 5 oppure 6 Esempi di even5 nel lancio di un dado: -‐ esce un numero dispari = {1,3,5} -‐ esce un numero ≥5 = {5,6} -‐ esce un numero ≥2 e ≤ 4 = {2,3,4} 6 Quan3 even3 in Ω ? •  Il numero totale di tu8 gli even3 possibili nello spazio campionario Ω di solito è ≫ del numero degli elemen5 (even5 elementari) •  Es: gli even5 possibili nel lancio di un = 26=64 { {∅}, {1},{2},{3},{4},{5},{6}, {1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{3,4},{3,5},
{3,6},{4,5},{4,6},{5,6}, {1,2, 3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,6}, {1,3,4}, {1,3,5},{1,3,6}, {1,4,5},{1,4,6},{1,5,6}, {2,3,4}, {2,3,5},{2,3,6},{2,4,5},{2,4,6},
{2,5,6},{3,4,5},{3,4,6},{3,5,6},{4,5,6} {1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,3,6},{1,2,4,5},{1,2,4,6},{1,2,5,6},
{1,3,4,5},{1,3,4,6},{1,3,5,6},{1,4,5,6}, {2,3,4,5},{2,3,4,6}, {2,3,5,6}, {2, 4,5,6},{3,4,5,6}, {1,2,3,4,5},{1,2,3,4,6}, {1,2,3,5,6},{1,2,4,5,6},{1,3,4,5,6}, {2,3,4,5,6} , {Ω} } 7 Even3 cer3 ed impossibili •  Un evento è certo se comprende tu= gli elemen5 di Ω Ω Evento ⇒ E = Ω •  Un evento è impossibile se non comprende alcun elemento di Ω ⇒ E = ∅ (oppure E ∉ Ω) Ω 8 Even3 ed insiemi •  Insieme = raggruppamento di “ogge=” che soddisfano una legge di appartenenza •  Gli even5 si possono rappresentare come insiemi appartenen5 ad Ω •  Ogni “evento” E è un soEoinsieme di Ω : E ⊂ Ω Evento Ω 9 Even3 ed insiemi •  Alle operazioni tra even5 possiamo far corrispondere le operazioni tra insiemi –  corrispondenza tra algebra della probabilità degli even5 ed algebra degli insiemi E1 oppure E2 E1 + E2 Unione E1 ∪ E2 E1 insieme a E2 E1 x E2 Intersezione E1 ∩ E2 E1 ma non E2 E1 – E2 diﬀerenza E1 ∩ E2 TuLo tranne E1 1 – E1 complemento E1 10 Operazioni logiche: unione Unione di A+B = evento C che con5ene tu= gli elemen5 che appartengono ad A oppure a B (oppure ad entrambi) C = “si veriﬁca A oppure B” =“si veriﬁca almeno uno degli even5 elementari che compongono C C = A∪B = A+B A B A+B copre l’area traEeggiata = area di A e di B contando l’area di sovrapposizione una volta sola 11 Operazioni logiche: unione Unione di A e B: elemen5 di entrambi gli insiemi presi una volta sola Lancio di 1 dado: se A={2,3,4} B={4,5,6} ⇒ C = A+B = {2,3,4,5,6} C = A∪B = A+B 1 B 5 A 4 6 2 3 12 Operaz. logiche: intersezione Intersezione di A e B = evento C che con5ene tu= gli elemen5 appartenen5 ad A e B (contemporaneamente) C = “si veriﬁca sia A sia B” C=A∩B=A·∙B A Esempio: lancio di due monete: A={TT, TC, CT} = almeno 1 testa B={CC, TC, CT} = almeno 1 croce A∩B = {TC, CT} = 1 testa ed 1 croce B A·∙B copre l’area traEeggiata = area della intersezione di A e B 13 Operaz. logiche: complemento Complemento di A = tu= gli elemen5 di Ω che ∉ A. C = “NON si veriﬁca A” C = non A = A C A Se A = {la Juve vince il campionato} C = {qualunqe altra scquadra vince il campionato} Se A = {2, 4} C = {1, 3, 5, 6} 14 Operaz. logiche: soLrazione SoErazione di A-‐B = tu= gli elemen5 di A che NON sono anche in B. C = “si veriﬁca A e non-‐B” B C=A∩B=A-B
A C B A 1 3 2 4 5 6 A= {1,2,3,4}
B= {
3,4,5}
C= {1,2}
15 Even3 incompa3bili Ev. incompa.bili •  A=“la Juve vince il
(mutuamente escludentesi) campionato”
A e B non possono veriﬁcarsi •  B =“il Bologna vince
insieme: A ∩ B = ∅ B A 1 il campionato”
6 S 2 3 5 4 interserzione = ∅ 16 Even3 Contrari Ev. contrari: incompa5bili && uno dei due si veriﬁca sicuramente B A 1 •  A =“domani piove”
•  B =“domani è bello”
2 3 5 6 4 17 Gruppi comple3 di even3 Un gruppo di even5 si dice “completo” se almeno uno avviene sicuramente la Juve vince il campionato il Milan vince il campionato il Bologna vince il campionato …+ altre 15 squadre… Insieme (completo) delle 18 squadre del campionato Insieme (completo) delle 6 facce di un dado 18 La probabilità Probabilità = numero associato ad un “evento” compreso tra 0 ed 1 tanto maggiore quanto + facile che l’evento accada 0% 50% 100% Probabilità di un evento 0 Evento impossibile 1/2 1 Evento certo OCCORRE DEFINIZIONE FORMALE ! 19 Assiomi della Probabilità Formalizziamo il conceEo di probabilità: ad ogni evento X
associamo un numero P(X) In un gruppo di even5 mutuamente escludentesi: 0 ≤ P(X) ≤ 1 P(Ω)=1 X P(x1∪x2∪..)=P(x1)+P(x2)+.. cioè: P(ev. composto)=∑P(tu= xi) cioè: per un gruppo completo: P(gruppo c.)=∑P(even5)=1 20 Signiﬁcato dei 3 assiomi 1.  La Probabilità di un esito qualunque è compresa tra 0 ed 1 2.  Qualunque esito fa parte dello spazio campionario 3.  la probabilità di un qualsiasi evento A (composto) è deﬁnita come somma delle probabilità degli even3 elementari contenu3 in A –  Il modo più elementare per assegnare una funzione di probabilità allo spazio campionario Ω è quello di assegnare una probabilità ad ogni elemento di Ω 21 Esempio (assioma 3) •  Lancio di 2 monete Probabilità Ω TT TC CT CC 0.25 0.25 0.25 0.25 Calcolo la P dell’evento composto “almeno 1 testa” come somma delle P dei suoi even5 elementari = P(TT ∪ TC ∪ CT) = P(TT) + P(TC) + P(CT) = 0.25 + 0.25 + 0.25 = 0.75 (visibilmente 3 casi su 4, tu= equiprobabili) even5 mutuamente escludentesi 22 Var. aleatorie e probabilità (*) f(ω∈Ω) Variabili aleatorie f(ω∈Ω) Numero associato ad un evento Es: Testaà 0.5 Croce à 0.5 Numero associato ad un evento Es: Testaà +1 Croce à -‐1 23 Deﬁnizioni •  Esistono varie deﬁnizioni di Probabilità che soddisfano tu= i 3 assiomi –  Classica (“a priori”) –  Empirica (sperimentale) –  Sogge=va –  Altre… 24 Prob. “a priori” È possibile calcolare la P di un evento sulla base delle conoscenze sul sistema NON truccato !
Esempio. Lancio una moneta 2 volte. P(2 teste) = ? 4 casi possibili: TT, TC, CT, CC sono tu= egualmente probabili à P(TT) = 1/4 25 Prob. “a priori” Numero casi favorevoli
P(X) =
Numero casi possibili (spazio eventi)
N teste 1
P(testa) =
=
N facce 2
N facce con X 1
P(X) =
=
N facce
6
Vale solo se tu= i casi possibili sono ugualmente probabili NB: si assume a priori il conceEo di equiprobabilità à circolo vizioso 26 Prob. Empirica (frequen3sta) P(X) = limite cui tende la frequenza rela5va di successo f(X) all’aumentare delle prove Numero prove con successo (esito = X)
f (X) =
Numero prove effettuate
f(X) ➞ P(X) con approx tanto migliore quanto più numerose le prove faEe N lanci N teste Frequenza rela3va Buﬀon (1707-‐88) 4040 2048 0.5069 Pearson (1857-‐1936) 12000 6019 0.5016 Pearson 2 24000 12012 0.5005 0.5 27 Teorema di Bernoulli Numero prove con successo
f (X) =
→ P(X)
Numero prove effettuate
frequenza di uscita ‘testa’ nel lancio di una moneta P(X)=0.5 numero di lanci fa= 28 Prob. Classica e Frequen3sta Cromosomi XX+XY Deﬁnizione “a priori” Maschio Femmina 50% 50% Deﬁnizione Frequen5sta: “misure accurate mostrano che nel mondo nascono 1057 maschi ogni 1000 femmine” (al neEo di infan5cidi sele=vi etc etc) à maschi=1057/(1000+1057)=51.4% 29 Prob. Empirica 2 Applicabile anche quando: •  gli even5 non sono equiprobabili •  P non ricavabile dalla simmetria Studio delle popolazioni (altezza, peso....), delle mala=e (frequenza, mortalità….) etc •  Ma: si può applicare solo ad esperimen3 ripe3bili La P associata ai risulta5 spor5vi, al meteo etc non può essere deﬁnita così evento senza Esempio 1: lancio di una simmetria pun5na da disegno ma ripe5bile 30 Prob. Empirica 3 Es 2: calcolare oggi il premio dell’assicurazione sulla vita a 20 anni x una persona di 30 anni –  campione di 1000 30-‐enni del 1994 –  se 78 sono mor5 entro il 2014 à f=78/1000 –  s5ma della prob di morte in 20 anni: P ≅ f = 7.8% •  Dipende dal gruppo (campione) su cui viene s5mata –  Pvita(fumatori) < Pvita(non fumatori) •  Applicabile solo agli esperimen5 ripe5bili –  Non serve per il meteo, i risulta5 del campionato, il loEo… 31 Prob. Soggejva P(X) = misura del grado di ﬁducia che un individuo aEribuisce al veriﬁcarsi di X Basata su una valutazione sogge=va (opinioni ed informazioni di chi valuta) •  Esempio 1: –  per appassiona5 di calcio: P(Juve) > P(Milan) >> P(Bologna) –  per tu= gli altri: P(Juve) = P(Milan) = P(Bologna) •  Esempio 2: –  se sono convinto di essere bravo al 5ro con l’arco, potrei acceEare una scommessa per cui ricevo 5€ se faccio centro ma pago 20€ se sbaglio 32 Calcolo degli aLesi La prob permeLe di fare predizioni sul futuro Poichè f(X)➝P(X), data P(X) posso s3mare la frequenza di un evento X su N di prove indipenden.
E = P(X) x N Numero di casi aLesi (valore + probabile)
Numero di prove Inverso della deﬁnizione frequen5sta (E = intero se la variabile aleatoria X intera) ..ma non posso sapere cosa uscirà in ogni singola prova ! Per N➞∞ il numero di successi osserva3 ➞ E 33 Esempio di predizione Se lancio un dado 100 volte mi aspeEo che il 3 esca : valore + probabile P(3) x 100 = 1/6 x 100 = 16.66666 = 17 volte approssimazione all’intero In realtà 16.666 è il valore medio su molte serie di 100 lanci ciascuna (vedi oltre) 34 Probabilità di even3 complessi Spesso capita di dover calcolare la P di even5 compos5 (complessi) ⇒ esistono alcune regole per comporre la P a par5re dalle P degli even5 elementari •  Esempio: P dell’evento “esce {1 o 2 o 3} oppure esce un numero pari” ? P(1o2o3) = 3/6 dalla Prob. Classica A o B = ? P(pari) = 3/6 dalla Prob. Classica 35 Regole di calcolo della Prob Teorema della somma Se A,B = even5 di Ω P(A∪B) = P(A)+P(B)-‐P(A∩B) P(A+B) = P(A)+P(B)-‐P(A·∙B) B A Probabilità di A oppure B = P che si veriﬁchi almeno uno degli even5 elementari che appartengono ad A oppure a B P(A)= 3/6 P(B) = 3/6 P(A∩B)= P(2) = 1/6 P(A∪B) = 3/6+3/6-‐1/6 = 5/6 4 1 2 3 6 5 36 Regole di calcolo della Prob Teorema della somma quando A e B sono incompa.bili ⇒ non c’è intersezione (P(A∩B)=0): P(A∪B)=P(A)+P(B)-‐P(A∩B) Conseguenza: P(A∪Ā) = P(A)+P(Ā) = 1 ⇒ P(Ā) = 1 – P(A) 1 4 A 2 3 B 6 5 P(A)=3/6 P(B)=2/6 P(A∪B)=3/6+2/6=5/6 3zo assioma: in un gruppo di even5 mutuamente escludentesi: P(X1∪X2∪..)=P(X1)+P(X2)+.. 37 Regole di calcolo della Prob Teorema del ProdoEo Se A,B = even5 di Ω P(A∩B) = P(A)+P(B)-‐P(A∪B) P(A·∙B) = P(A)+P(B)-‐P(A+B) Probabilità di A e B = P che A e B si veriﬁchino entrambi P(A)= 3/6 P(B) = 3/6 P(A∪B) = 3/6+3/6-‐1/6 = 5/6 P(A∩B) = 3/6+3/6 – 5/6 = 1/6 B A 4 1 2 3 6 5 38 Even3 (in)dipenden3 Ev. dipenden.: A dipende da B se P(A) dipende dal veriﬁcarsi di B Ev. indipenden.: A non dipende da B se P(A) non dipende dal veriﬁcarsi di B A = “domani fa caldo” B = “domani c’è il sole” A B A =“domani fa caldo” B =“mi piace la ﬁsica” A B 39 Esempio: fumo & tumore ? Esempio: Si supponga che la probabilità di fumare sia 0.30 e quella di avere un tumore al polmone sia 0.01. In un’indagine condoNa su 1000 individui a caso, sono sta3 osserva3 8 sogge8 fumatori con tumore al polmone. I da3 dimostrano che avere il tumore al polmone e fumare sono even3 indipenden3? •  numero aLeso di fumatori mala5 soNo l’ipotesi di indipendenza: E = P(fumo e tumore) x Nprove = (0.30 • 0.01) x 1000 = 3 •  Numero sogge= osserva3 = 8 •  Eccesso di 5 casi ! ⇒ errore ? 40 Probabilità condizionata Prob che un A accada a condizione che si sia veriﬁcato B (“dopo che”): P(A|B) Probabilità Esempio A=“passare l’esame” B=“passare lo scriEo” prima di B : P(A)=0.5 veriﬁcatosi B: P(A|B)=0.9 condizionale di A dato B Può succedere che P(A) sia
piccola ma P(A|B) diventi
grande dopo che si è
verificato B
Esempio P. del 7 di quadri = 1/52 P. del 7 di quadri quando è uscito quadri = 1/13 41 A | B Vero se: B vero, A vero A | B = Falso se: B vero, A falso Indeterminato se: B è falso EVENTO CONDIZIONATO IPOTESI (EVENTO CONDIZIONANTE) A B 42 Teorema del prodoLo La probabilità del prodoEo di due even5 è uguale al prodoEo della probabilità di uno degli even5 per la probabilità condizionata dell'altro calcolata a condizione che il primo abbia luogo: P(A·∙B)=P(A)·∙P(B|A) 1ma 2da estrazione estrazione (B) (A) Ev. Indipenden5: A non inﬂuenza P(B) : ⇒ P(B|A) ≡ P(B) ⇒ P(A·∙B)=P(A)·∙P(B) P(testa)=0.5 P(testa)=0.5 P(B=testa e A=testa)=0.5x0.5=0.25 PRODOTTO di even3 indipenden3 43 Teorema del prodoLo Even5 dipenden5: A inﬂuenza P(B) : ⇒ P(B|A) ≠ P(B) PRODOTTO di even3 ⇒ P(A·∙B)=P(A)·∙P(B|A) dipenden3 Prima estrazione (A) rimangono solo 2 palline P(A bianco)=1/3 Seconda estraz (B) P(B bianco)= ½ A B Seconda estraz (B) quando A è blu P(B bianco)=0/2 Conclusione: P(B bianco e A bianco) = = P(A bianco) x P(B bianco|A bianco) = 1/3 x 1/2 44 Esempio Prob condizionata Abbiamo 5 lampadine, 3 buone e 2 roEe. Ne estraggo 2 a caso, una dopo l’altra. Calcolare P(entrambe buone). 45 Calcolo di P(B|A) DOPO PRIMA A (3) P(A)=3/5 Ω B (2) (5) Ω (4) P(B|A)=2/4 P(2 buone) = P(A buona)·∙P(B buona|A buona)=3/5·∙1/2 P(B|A)=P(B·∙A)/P(A)=(2/4·∙3/5)/(3/5)=1/2 46 Calcolo di P(B|A) •  P(A)=m/Ω •  P(A·∙B)=A∩B=k/Ω m,k,n,ω = Nro ev elementari Dopo che A è accaduto: Ω≣m ⇒ P(A·∙B)=k/m In questo caso invece che P(A·∙B) si scrive P(B|A) Ω (ω) A (m) C=A∩B (k) B (n) P(A ⋅ B) eventi di A ∩ B k A diventa il P(B A) =
=
=
P(A)
eventi A
m nuovo spazio campionario Se si verifica A ⇒
P(B|A)= frazione di eventi elementari di A e B
rispetto a tutti gli eventi di A
47 Tumore & fumo P(fumo) = 0.30 P(tumore) = 0.01 N prove = 1000 à 8 casi osserva5 di fumo & tumore Qual è la P per un fumatore di avere un tumore ? P(tumore e fumo)
P(tumore | fumo) =
P( fumo)
N osservati
8
P(tumore e fumo) =
=
= 0.008
N campione 1000
0.008
⇒ P(tumore | fumo) =
= 0.027 >> 0.01
0.30
48 Tumore & fumo P(fumo) = 0.30 P(tumore) = 0.01 N prove = 1000 à 8 casi osserva5 di fumo & tumore Qual è la P per un fumatore di avere un tumore ? T F P(T∩F) = 0.008 P(T|F)= 0.008/0.30 >> P(T) 49 Riassunto Prob che si veriﬁchi un evento oppure un altro oppure entrambi Prob che si veriﬁchi un evento insieme ad un altro Prob che NON si veriﬁchi un evento li i
b
5
pa
P(A+B)=P(A)+P(B) m
o
c
n
i
addizione P(A+B)=P(A)+P(B)-‐P(A·∙B) indip
prodoEo 5
n
e
end
P(A·∙B)=P(A)·∙P(B) P(A·∙B)=P(A|B)·∙P(B) negazione P(A)=1-‐P(A) 50 Esempi •  Even5 indipenden5: –  lancio di una moneta: P(T)=0.5 P(C)=0.5 –  risultato di una par5ta: P(1)=0.5 P(X)=0.3 P(2)=0.2 P(Testa e pari) = P(T·∙X) = P(T)·∙P(X) = 0.5x0.3 = 0.15 P(Testa o pari) = P(T+X) = P(T)+P(T)= 0.5+0.3= 0.8 P(Testa e NONpari) = P(T·∙X) = P(T)·∙P(X) = P(T)·∙[1-‐P(X)] = = 0.5x(1-‐0.3) = 0.35 51 •  5 numeri vengono estra= casualmente su 90 •  il numero estraEo viene sempre reinserito nell’urna ⇒ P(n)=1/90+1/90+1/90+1/90+1/90=5/90=0.056 P( = n NON estraEo) in 99 estrazioni ? –  estrazioni successive sono indipenden3 perchè reinserimento –  P( )99 = P( )1 e P( )2 e P( )3 ... = P( )1 x P( )2 x P( )3 x ... = P( ) x 99 volte =P( )99 –  P( ) = 1-‐P(n) = 1 – 0.056 = 0.944 ⇒P( ) in 99 estrazioni = 0.94499=0.0035 P(n NON estraEo) alla 100-‐esima estrazione se non è stato estraEo nelle 99 preceden5 ? –  la 100-‐esima è indipendente dalle preceden5 –  P( )100 = P( ) in qualunque altra = 0.944 52 Teorema della Prob Totale Ipotesi: A1 ed A2 sono even5 mutuamente escludentesi (gruppo completo: ∑P(Ai)=1) ed X un evento che può accadere associato ad A1 oppure ad A2, oppure... ⇒ X = A1X + A2X + .... [AiX sono incompa5bili] ⇒ P(X) = P(A1X) + P(A2X) + .... [x il Teor della somma] ⇒ P(X) = P(A1)·∙P(X|A1) + P(A2)·∙P(X|A2) + ... [x Teor. Prod.] Cioè: P(X) è la somma delle P condizionate di X con ciascuna delle ipotesi 53 Teorema della Prob Totale 1 2 3 A: elimino una pallina a caso B: elimino un’altra pallina P(bianca|1)=0.5 P(bianca|2)=0 P(bianca|3)=0.5 P(ﬁnale che rimanga una bianca) = P(A1=elimino blu) ·∙ P(B=bianca|A1) + 1/3 ·∙ 1/2 + P(A2=elimino bianca)·∙ P(B=bianca|A2)+ 1/2 ·∙ 0 + P(A3=elimino blu) ·∙ P(B=bianca|A3) = 1/3 ·∙ 1/2 = 1/3 54 Esempio di Prob Totale •  il 30% più debole della popolazione ha P=50% di prendere l’inﬂuenza •  il restante 70% della popolazione ha P=20% di prendere l’inﬂuenza 70% (20%) 30% (50%) Qual è la P che un individuo qualsisi si ammali ? P(A) = P(30)·∙P(A|30) + P(70)·∙P(A|70) = P ⊂ 30% debole P di ammalarsi P ⊂ 70% per il 30% forte + debole P di ammalarsi per il 70% + forte = 0.3 ·∙ 0.5 + 0.7 ·∙ 0.2 = 0.29 55 Il problema dell’astrologo (*) Un astrologo, dopo aver sbagliato una profezia, è condannato a pagare una multa. Il Sultano propone: <<Ecco e . Ma=le in 2 urne come vuoi tu. Sceglierò una urna a caso e da quella una pallina a caso. Se sarà bianca sarai salvo>> Qual’è la disposizione + favorevole all’asrologo ? 56 soluzione dell’astrologo (*) Per ciscuna possibile disposizione si ha: P(B)=P(1)·∙P(B|1)+P(2)·∙P(B|2) P che il Sultano peschi dalla urna 1 = 0.5 P che esca una bianca dalla urna 1 P che il Sultano peschi dalla urna 2 = 0.5 P che esca una bianca dalla urna 2 L’astrologo deve trovare la combinazione con P(B)=Max 1 2 P= 0.5·∙0 + 0.5·∙⅔ = ⅓ P= 0.5·∙1 + 0.5·∙0 = ½ P= 0.5·∙½ + 0.5·∙½ = ½ P= 0.5·∙⅓ + 0.5·∙1 = ⅔ 57 Teorema di Bayes Finora: calcolo della P di un evento (risultato) data una situazione di partenza deﬁnita (causa) Ora ci chiediamo qual è la Prob che una speciﬁca causa, tra le possibili, abbia causato quel risultato. In altre parole: qual è la probabilità condizionata dell’ipotesi Ai data l’osservazione X? Esempio: evento = sintomi (febbre, mal di gola....) causa = alcune possibili mala=e (inﬂuenza, tonsillite...) Poichè sappiamo che i sintomi non sono univoci, ci chiediamo quale sia la Prob che una speciﬁca mala=a abbia dato quei sintomi 58 Teorema di Bayes •  A priori non sappiamo quale i-‐esima mala=a ha causato X ⇒ assegnamo una P “a priori” ad ogni Ai (che sarà una P “sogge=va”) •  Poi vediamo come si modiﬁcano le Ai una volta conosciuto il risultato X Il Teorema di Bayes fornisce la risposta: -‐  osserviamo l’evento X (risultato) -‐  formuliamo una serie di ipotesi {Ai} (mala=e) -‐  calcoliamo P che X sia causato da Ai: P(Ai|X) = prob della mala=a Ai una volta avvenuto l’evento X (osservazione dei sintomi) 59 Il Teorema di Bayes Par5amo dal teorema della P composta: P(Ai·∙X) = P(X)·∙P(Ai|X) = P(Ai)·∙P(X|Ai) P(X|Ai) = P dei sintomi X P(Ai) = P a priori (assegnta) della i-‐esima mala=a in presenza di Ai (in assenza di altre condizioni) P(Ai)⋅
P(X
|
Ai)
P(Ai | X) =
⇒
P(X)
P(Ai|X) = P a posteriori della Ai mala=a se si veriﬁca X P(X) = P che si veriﬁchi X (con qualunque mala=a): P(X) = ∑ P(Ai ) ⋅ P(X | Ai )
i
Teorema della P totale 60 Probabilità “a posteriori” P classica e frequentista
Assume che la moneta
NON sia truccata à le
facce hanno uguale
Prob.
Dalla simmetria della
moneta calcolo P(Testa)
e P(Croce) [P classica],
oppure faccio molte
prove [P frequentista]
P Bayesiana
Non so se la moneta è
truccata oppure no.
Posso calcolare la P che
la moneta sia truccata: dal
risultato (esiti delle prove)
calcolo la P(ipotesi).
Se ho molte ipotesi posso
scegliere la + probabile
61 Moneta truccata ? Facciamo 3 lanci e oEeniamo 3 volte Testa (evento X) Qual è la P che sia truccata ? P di oEenere X P a priori che sia se truccata = 1 truccata = o.5 P(T )⋅ P(X | T )
P(T )⋅ P(X | T )
P(T | X) =
=
P(X)
P(X | T )⋅ P(T ) + P(X | T )⋅ P(T )
Se è truccata P(X|T)=1 P di oEenere X se non è truccata = ½ ·∙ ½ ·∙ ½ = 1/8 P che non sia truccata = 1-‐P(T) = o.5 à P(T|X) = [0.5 ·∙ 1] / [(0.5 ·∙ 1)+(0.5 ·∙ 1/8)] ≈ 0.89 62 Moneta truccata ? (2) Se viene Testa per 10 lanci di ﬁla (evento X) Qual’è la P che sia truccata ? P di oEenere X P a priori che sia se truccata = 1 truccata = o.5 P(T )⋅ P(X | T )
P(T )⋅ P(X | T )
P(T | X) =
=
P(X)
P(X | T )⋅ P(T ) + P(X | T )⋅ P(T )
P che non sia P di oEenere X Se è truccata truccata se non è truccata P(X|T)=1 = (½) **10 = 1/1024 = 1-‐P(T) = o.5 à P(T|X) = [0.5 ·∙ 1] / [(0.5 ·∙ 1)+(0.5 ·∙ 1/1024)] ≈ 0.99 63 Moneta truccata ? (3) P(Trucco|3 lanci e 3 teste) = 89% P(Trucco|10 lanci e 10 teste) = 99% à aumenta la P che la moneta sia truccata 64 Esempio con Bayes (*) •  Urna con 2 palline. Ipotesi: A1 = Entrambe sono rosse; A2 = Entrambe sono non-‐rosse; A3 = Una rossa, una non-‐rossa. •  Qual è la P dell’evento X = “esce una rossa”? P(X|A1) = 1 P(X|A2) = 0 P(x|A3) = 1/2 = 0.5 P(X) = 1⋅P(A1) + 0⋅P(A2) + 0.5⋅P(A3) = ? •  Non conosco P(A1), P(A2), P(A3) 65 Esempio con Bayes (*) •  Nella ignoranza assegno a priori uguale P a tuEe le ipotesi: P(A1)=P(A2)=P(A3)=⅓ ⇒ P(X) = 1⋅⅓ + 0⋅⅓ + 0.5⋅⅓ = ½ •  Osservo che esce una rossa (si veriﬁca X): come si modiﬁca P(A1=entrambe rosse) ? P(Ai)⋅ P(X | Ai)
P(Ai | X) =
P(X)
P(A1|X) = P(A1) ⋅ P(X|A1) / P(X) = ⅓ ⋅ 1 / ½ = ⅔ ⇒ P(X) = 1⋅⅔ + 0⋅⅙ + 0.5⋅⅙ = ¾ •  Abbiamo migliorato la conoscenza della ipotesi 66 Screening tumore al seno Incidenza del tumore al seno sulla popolazione femminile = 1% (99% ok), valore misurato su un grande campione L’eﬃcienza della mammograﬁa su donne malate è dell’80% (cioè solo 80% delle mala=e viene segnalato) Il test è posi5vo anche su donne sane nel 10% dei casi malate 1% sane 99% test posi5vo P(+|M)=80% P(+|S)=10% test nega5vo P(-‐|M)=20% P(-‐|S)=90% falsi n
ega3
falsi p
osi3v
i vi 67 P(malaja|test+) malate 1% sane 99% test posi5vo P(+|M)=80% P(+|S)=10% test nega5vo P(-‐|M)=20% P(-‐|S)=90% P(M )⋅ P(+ | M )
P(M )⋅ P(+ | M )
P(M | +) =
=
P(+)
P(+ | M )⋅ P(M ) + P(+ | S)⋅ P(S)
= 0.075
In caso di test posi5vo qual’è la P di avere un tumore ? Frazione di donne malate fra le posi.ve al test = 7.5% 68 Risulta3 screening (2) 1% 80% P(M )⋅ P(+ | M )
P(M )⋅ P(+ | M )
P(M | +) =
=
P(+)
P(+ | M )⋅ P(M ) + P(+ | S)⋅ P(S)
Mala5 (1%) Sani (99%) 10% 99% ) M
|
(+
P(M|+)= = P(M|+) va calcolata rispeEo al totale dei + + Mala5 test + Totale test + Frazione di donne malate fra quelle posi.ve al test è solo del 7.5% perchè Area rossa << Area grigia (i mala. sono molto rari) 69 Risulta3 screening (3) Dipende in larga misura dalla rarità della mala=a (1%) Per mala=e diﬀuse nel 50% della popolazione à P(M|+)∼80% 50% 80% P(M )⋅ P(+ | M )
P(M )⋅ P(+ | M )
P(M | +) =
=
P(+)
P(+ | M )⋅ P(M ) + P(+ | S)⋅ P(S)
Mala5 10% ) (+|S
) M
|
(+
Sani P(M|+)= = + P(M|+) va calcolata rispeEo al totale dei + 99% Mala5 test + Totale test + 70 Risulta3 2 test (*) Valu5amo la P di essere mala5 dopo 2 test posi5vi Applico ancora Bayes, ma: I due test P(+|M) à P(++|M) = P(+|M) ·∙ P(+|M) sono P(+|S) à P(++|S) = P(+|S) ·∙ P(+|S) indipenden5 P(M|++) = [ P(M)·∙P(++|M) ] / [ P(M)·∙P(++|M) + P(S)·∙P(++|S) ] = = [ P(M)·∙P(+|M)2 ] / [ P(M)·∙P(+|M)2 + P(S)·∙P(+|S)2 ] = 0.39 71 Il gioco dei pacchi (*) 1: Variazione USA del 1990 scelta iniziale 3 pacchi: 2 vuo5, 1 pieno Il giocatore sceglie “A” (per es.) ma non lo apre B Il conduEore dice che C è vuoto A e oﬀre di scambiare A⇔B ? C vuoto 2: intervento del notaio All’inizio: la scelta è del tuEo casuale, P=1/3 ∀pacco P(A)=P(B)=P(C)=1/3, P(B o C)=1/3+1/3=2/3 conviene Dopo aver saputo che C è vuoto: sempre se non scambio tengo la P iniziale = 1/3 scambiare se scambio passo da P(A)àP(B) ma P(C)=0 à P(B) ≡ P(B o C) = 2/3 72 dimostrazione graﬁca (*) Caso con premio in B A cambia B non cambia cambia non cambia C cambia non cambia Se scambia pacco: vince 2 volte su 3 Se non scambia pacco: vince 1 volta su 3 NB: l’introduzione di una nuova condizione può cambiare le probabilità senza modiﬁcare la realtà ﬁsica 73 Il gioco dei pacchi -‐ Bayes (*) •  Ipotesi A,B,C : il premio si trova in A,B,C •  X = evento che il conduEore apra il pacco C •  Calcoliamo la P delle ipotesi A,B,C quando si veriﬁca X. Facciamo il caso di scelta iniziale di A •  P(X)=0.5 [una volta scelto A, il conduEore può aprire B o C con stessa P a priori] •  Se A vince il cond. può aprire B o C → P(X|A)=0.5 •  Se B vince il cond. deve aprire C → P(X|B)=1 •  Se C vince il cond. deve aprire B → P(X|C)=0 Applichiamo Bayes ai 3 casi: P(A|X) = [P(A)·∙P(X|A)]/[P(X)] = 1/3 Conclusione: P(B|X) = [P(B)·∙P(X|B)]/[P(X)] = 2/3 se parto scegliendo A l’ipotesi + probabile P(C|X) = [P(C)·∙P(X|C)]/[P(X)] = 0 è che vinca il pacco B 74