Prova d’esame del 7 giugno 2012 Esercizio n.1 Una moneta viene lanciata 80 volte ottenendo 45 volte l’esito testa. Al livello del 5% vi è sufficiente evidenza per affermare che la moneta è truccata? Qual è il valore del p.value? Esercizio n.2 Un parlamentare ritiene che almeno il 55% dei suoi elettori sia favorevole all’approvazione di una certa legge in discussione in parlamento. Tra essi viene estratto un campione casuale di dimensione n = 100 e 60 si mostrano favorevoli all’approvazione. Al livello del 5% l’ipotesi formulata dal parlamentare può essere accettata? Esercizio n. 3 L’età media di un gruppo di 10 studenti che hanno conseguito la laurea breve è di 23 anni. a) costruire un intervallo di confidenza per la media della popolazione sapendo che tale distribuzione si distribuisce normalmente con varianza pari a 45; b) testare l’ipotesi che la media della popolazione sia pari a 22; c) calcolare la potenza del test per i seguenti valori di media alternativa: 24 e 27; d) determinare la numerosità del campione per stimare l’età media degli studenti se l’errore massimo ammesso è di 1,5. Esercizio n . 4 Le probabilità relative agli eventi A e B sono: P A 3 10 P A B 7 10 esi sa che A e B sono indipendenti. Si chiede di calcolare le seguenti probabilità: 1) PB ; 2) P A / B; 3) P A B ; Esercizio n. 1 Una moneta viene lanciata 80 volte ottenendo 45 volte l’esito testa. Al livello del 5% vi è sufficiente evidenza per affermare che la moneta è truccata? Qual è il valore del p.value? Soluzione Se la moneta non è truccata l’ipotesi da testare è: H 0 : 0,5 La proporzione calcolata sul campione è: P 45 0,5625 80 E l’ipotesi alternativa è: H1 : 0,5 La statistica test da utilizzare è: zc 0,5625 0,5 0,5625 0,4375 80 0,0625 1,14 0,055 z 1,645 1,14 Si accetta l’ipotesi, la moneta non è truccata. P-value =0,5-0,3729=0,1271 Esercizio n.2 Un parlamentare ritiene che almeno il 55% dei suoi elettori sia favorevole all’approvazione di una certa legge in discussione in parlamento. Tra essi viene estratto un campione casuale di dimensione n = 100 e 60 si mostrano favorevoli all’approvazione. Al livello del 5% l’ipotesi formulata dal parlamentare può essere accettata? soluzione Questo problema è riferito a una popolazione di tipo binomiale e l’ipotesi nulla che si deve testare è data da: H 0 : 0,55 contro l’ipotesi alternativa del tipo maggiore H1 : 0,55 Calcoliamo la statistica campionaria: 0,60 0,55 zc 0,55 0,45 100 0,05 1 0,0497 Questo valore confrontato con la statistica test z con riferimento al livello di significatività del 5% pari a 1,645 ci permette di dire che la tesi formulata dal parlamentare non può essere rifiutata . Infatti si ha: 1 < 1,645. Se vogliamo ragionare il termini di valore critico espresso sotto forma di proporzione campionaria si avrà: P 1,645 0,0497 0,55 0,63 Abbiamo trovato un valore di punto critico espresso in P è pari a 0,63 e abbiamo trovato un valore di P campionario pari a 0,60 quindi l’ipotesi deve essere accettata. Valore del p-value Questo valore è calcolato con riferimento alla standardizzazione della proporzione campionaria trovata. che abbiamo calcolato precedentemente ed è uguale a 1. L’area che sta alla destra di questo valore è: Pz 1 0,5 0,3413 0,1587 Questo errore è di molto superiore a 0,05 che è il livello di significatività del test ed è pertanto una ulteriore conferma della decisione presa di accettare l’ipotesiEsercizio n. 3 soluzione a) La varianza è conosciuta quindi per costruire l’intervallo si fa riferimento alla variabile campionaria z: x z 2 n 23 1,96 18,84 27,15 b) L’ipotesi da testare è: H 0 : 22 Contro l’ipotesi alternativa : H 0 : 22 6,71 23 1,96 2,12 23 4,15 3,16 La statistica test è data da: zc 23 22 1 0,47 6,71 2,12 3,16 Si accetta l’ipotesi 3) per calcolare la potenza del test occorre conoscere il punto critico espresso in media campionaria dato da: 1,645 x 22 1,645 2,12 22 x 6,71 3,16 x 25,49 Potenza del test 1 24 Calcoliamo z: z 25,49 24 1,49 0,70 2,12 2,12 potenza del test = 0,5-0,2580=0,232 Potenza del test 1 27 Calcoliamo zc: zc 25,49 27 1,51 0,71 2,12 2,12 potenza del test = 0,5+0,2612=0,7612 Numerosità ottimale n 1,96 2 45 172,872 77 2,25 2,25 Esercizio n . 4 Le probabilità relative agli eventi A e B sono: P A 3 10 P A B 7 10 E si sa che A e B sono indipendenti. Si chiede di calcolare le seguenti probabilità: 1) PB ; 2) P A / B; 3) P A B ; Soluzione 1) P A B P A PB P A B Se gli eventi sono indipendenti si avrà: P A B P A PB P A PB 7 3 3 P B P B 10 10 10 7 3 3 PB 1 10 10 10 4 7 P B 10 10 4 10 4 P B 10 7 7 2) P A / B P A 3 10 Gli eventi sono indipendenti e quindi B non ha nessuna influenza sul verificarsi di A. 3) 3 3 9 P A B 10 7 70