Prova d`esame del 7 giugno 2012 Esercizio n.1 Una moneta viene

Prova d’esame del 7 giugno 2012
Esercizio n.1
Una moneta viene lanciata 80 volte ottenendo 45 volte l’esito testa. Al livello del 5% vi è sufficiente
evidenza per affermare che la moneta è truccata? Qual è il valore del p.value?
Esercizio n.2
Un parlamentare ritiene che almeno il 55% dei suoi elettori sia favorevole all’approvazione di una certa
legge in discussione in parlamento. Tra essi viene estratto un campione casuale di dimensione n = 100 e 60
si mostrano favorevoli all’approvazione. Al livello del 5% l’ipotesi formulata dal parlamentare può essere
accettata?
Esercizio n. 3
L’età media di un gruppo di 10 studenti che hanno conseguito la laurea breve è di 23 anni.
a) costruire un intervallo di confidenza per la media della popolazione sapendo che tale
distribuzione si distribuisce normalmente con varianza pari a 45;
b) testare l’ipotesi che la media della popolazione sia pari a 22;
c) calcolare la potenza del test per i seguenti valori di media alternativa: 24 e 27;
d) determinare la numerosità del campione per stimare l’età media degli studenti se l’errore
massimo ammesso è di 1,5.
Esercizio n . 4
Le probabilità relative agli eventi A e B sono:
P  A 
3
10
P A  B  
7
10
esi sa che A e B sono indipendenti.
Si chiede di calcolare le seguenti probabilità:
1)
PB ;
2)
P A / B;
3)



P A  B ;


Esercizio n. 1
Una moneta viene lanciata 80 volte ottenendo 45 volte l’esito testa. Al livello del 5% vi è sufficiente
evidenza per affermare che la moneta è truccata? Qual è il valore del p.value?
Soluzione
Se la moneta non è truccata l’ipotesi da testare è:
H 0 :   0,5
La proporzione calcolata sul campione è:
P
45
 0,5625
80
E l’ipotesi alternativa è:
H1 :   0,5
La statistica test da utilizzare è:
zc 
0,5625  0,5
0,5625  0,4375
80

0,0625
 1,14
0,055
z  1,645  1,14
Si accetta l’ipotesi, la moneta non è truccata.
P-value =0,5-0,3729=0,1271
Esercizio n.2
Un parlamentare ritiene che almeno il 55% dei suoi elettori sia favorevole all’approvazione di una certa
legge in discussione in parlamento. Tra essi viene estratto un campione casuale di dimensione n = 100 e 60
si mostrano favorevoli all’approvazione. Al livello del 5% l’ipotesi formulata dal parlamentare può essere
accettata?
soluzione
Questo problema è riferito a una popolazione di tipo binomiale e l’ipotesi nulla che si deve testare
è data da:
H 0 :   0,55
contro l’ipotesi alternativa del tipo maggiore
H1 :   0,55
Calcoliamo la statistica campionaria:
0,60  0,55
zc 
0,55  0,45
100

0,05
1
0,0497
Questo valore confrontato con la statistica test z con riferimento al livello di significatività del 5% pari a
1,645 ci permette di dire che la tesi formulata dal parlamentare non può essere rifiutata .
Infatti si ha: 1 < 1,645.
Se vogliamo ragionare il termini di valore critico espresso sotto forma di proporzione campionaria si avrà:
P  1,645  0,0497  0,55  0,63
Abbiamo trovato un valore di punto critico espresso in P è pari a 0,63 e abbiamo trovato un valore di P
campionario pari a 0,60 quindi l’ipotesi deve essere accettata.
Valore del p-value
Questo valore è calcolato con riferimento alla standardizzazione della proporzione campionaria trovata.
che abbiamo calcolato precedentemente ed è uguale a 1. L’area che sta alla destra di questo valore è:
Pz  1  0,5  0,3413  0,1587
Questo errore è di molto superiore a 0,05 che è il livello di significatività del test ed è pertanto una ulteriore
conferma della decisione presa di accettare l’ipotesiEsercizio n. 3
soluzione
a) La varianza è conosciuta quindi per costruire l’intervallo si fa riferimento alla variabile campionaria z:

  x  z 
2

n
 23  1,96 
18,84    27,15
b) L’ipotesi da testare è:
H 0 :   22
Contro l’ipotesi alternativa :
H 0 :   22
6,71
 23  1,96  2,12  23  4,15
3,16
La statistica test è data da:
zc 
23  22
1

 0,47
6,71
2,12
3,16
Si accetta l’ipotesi
3) per calcolare la potenza del test occorre conoscere il punto critico espresso in media campionaria dato
da:

1,645 
x  22  1,645  2,12  22  x

6,71
3,16

x  25,49
Potenza del test
1  24
Calcoliamo z:
z
25,49  24 1,49

 0,70
2,12
2,12
potenza del test = 0,5-0,2580=0,232
Potenza del test
1  27
Calcoliamo zc:
zc 
25,49  27
1,51

 0,71
2,12
2,12
potenza del test = 0,5+0,2612=0,7612
Numerosità ottimale
n
1,96 2  45 172,872

 77
2,25
2,25
Esercizio n . 4
Le probabilità relative agli eventi A e B sono:
P  A 
3
10
P A  B  
7
10
E si sa che A e B sono indipendenti.
Si chiede di calcolare le seguenti probabilità:
1)
PB ;
2)
P A / B;
3)



P A  B ;


Soluzione
1)
P A  B  P A  PB  P A  B
Se gli eventi sono indipendenti si avrà:
P A  B  P A  PB  P A  PB
7
3
3

 P B    P B 
10 10
10
7 3
3

  PB 1  
10 10
 10 
4
7
 P B  
10
 10 
4 10 4
   P B 
10 7 7
2)
P  A / B   P  A 
3
10
Gli eventi sono indipendenti e quindi B non ha nessuna influenza sul verificarsi di A.
3)


 3 3 9
P A  B    

 10 7 70