Laboratorio di Didattica dell` analisi

Sissis ottavo ciclo 2006/07, gruppo 49 A - LDA
Laboratorio di Didattica dell’ Analisi: Analisi a priori sul valore assoluto
Laboratorio di Didattica
dell’ analisi:
Analisi a priori sulla funzione
valore assoluto
Sissis Palermo, 14 Novembre 2007
Prof. Spagnolo
Nadia Giovino - ([email protected])
Giovanni Lo Iacono - ([email protected])
Antonella Sgarito - ([email protected])
Maurizio Spallino-([email protected])
Francesca D’Amore - ([email protected])
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…Devo dire che questo grafico a primo
impatto mi spiazza completamente,
infatti sono sempre stato abituato ad
avere la funzione (implicita o esplicita)
per poi trovare i dati che porteranno al
grafico…
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Il grafico seguente mostra
la funzione y = x2-3x
Il vertice ha coordinate (3/2, -9/4)
Quale funzione rappresenta
il seguente grafico?
Spiega i ragionamenti che fai per dare la soluzione e, se proprio non la trovi, spiega comunque
la strada che seguiresti per trovarla.
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Analisi a priori
•S1: Il ragazzo individua le simmetrie e scrive le equazioni delle due parabole:
y= x^2-3*x ; y=x^2+3*x , ma non sa andare oltre (considerazioni grafiche senza
cercare una convalida algebrica)
•S2(a): Il ragazzo nota che dal grafico di y= x^2-3*x si è tolto il pezzo di valori
che avevano l’ascissa negativa, e scrive: y= x^2-3*x per x>=0; da questa
osservazione si accorge poi che l’altra parabola è simmetrica e scrive:
y=x^2+3*x, e che da questa si tolgono i valori con ascissa positiva. y=x^2+3*x
per x<0
•S2(b): Il ragazzo nota che dal grafico di y= x^2-3*x si è tolto il pezzo di valori
che avevano l’ascissa negativa, e scrive: y= x^2-3*x per x>=0; da questa
osservazione si accorge poi che l’altra parabola è simmetrica, ed esplicita tale
condizione con f(x)=f(-x) e scrive: y=x^2+3*x, e che da questa si tolgono i
valori con ascissa positiva. y=x^2+3*x per x<0
•S3: S2 => da y=x^2-3*x la funzioni nel grafico si ottiene sostituendo alla
variabile x il valore assoluto di x. Se y=f(x) è y=x^2-3*x, il grafico mostra y=
f(ABS(x)), cioè y= (ABS(x))^2-3*ABS(x), che si può scrivere come y= x^23*ABS(x)
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Razionale della scelta fatta
L’argomento relativo alle funzioni con “valore assoluto” a volte, risulta poco
attenzionato nei programmi della scuola secondaria di secondo grado, tanto
che si usa come “trappola” quando si vuole mettere in difficoltà l’allievo.
Noi riteniamo fondamentale trattare adeguatamente l’argomento “funzioni con
valore assoluto” per due motivi:
™ consentono di riflettere sulle simmetrie delle funzioni
™ consentono di verificare i procedimenti riguardanti l’individuazione del
dominio di una funzione.
Inoltre, l’importanza del “sapere invertire” i procedimenti matematici, ci ha
condotto a decidere di sperimentare il processo che dal grafico conduce
all’espressione analitica dalla funzione, piuttosto che il procedimento, più
consueto, dall’espressione analitica al grafico.
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Riflessioni metacognitive
Cosa avresti fatto al loro posto?
dal grafico di y= x2-3*x noto che manca il pezzo di valori che avevano ascissa
negativa, e scrivo: y= x2-3*x per x>=0; a questo pezzo di grafico, si deve aggiungere
un pezzo di parabola simmetrica. Poichè la simmetria rispetto all’asse y si esprime
con f(x)=f(-x), l’altro pezzo è y=x2+3*x ma da tale parabola si devono escludere i
punti con ascissa positiva. y=x2+3*x per x<0. Mettendo insieme
y= x2-3*x per x>=0 con
y=x2+3*x per x<0 e notando la somiglianza con la definizione della funzione valore
assoluto scrivo y= x2-3*ABS(x)
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Descrizione dell’esperienza in
classe
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Materiale occorrente
¾ Una classe di 5° liceo
¾ Un numero di schede anonime con il testo del problema
proposto
¾ Un gruppo di studenti Sissis
¾ Una scuola compiacente
¾ Una insegnante che ci da un’ora a disposizione
¾ Foglio di calcolo elettronico per elaborazione dati
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Descrizione dell’esperienza in classe:
L’esperienza si svolge in una v classe del liceo scientifico “B.
Croce” di Palermo.
L’attività si svolge in 45 minuti
I ragazzi mostrano:
-disponibilità a svolgere l’attività
-paura per una eventuale valutazione
-interesse
-motivazione
-curiosità nel conoscere la soluzione
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Analisi dei dati
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Analisi dei dati
• L’analisi dei dati è stata condotta dando una serie di
giudizi sulle attitudini a sfruttare determinate aree
metacognitive raggruppabili in quattro grandi aree che
sintetizzano le varie strategie adottate nella risoluzione del
problema proposto.
•Il campione nonostante sia piccolo supera comunque il
numero minimo di 20 unità costituenti notoriamente la
soglia per una popolazione sulla quale venga condotta
una forma di analisi statistica che permetta di fare delle
inferenze.
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area metacognitiva
n.
sotto strategie
1
2
3
4
1 1. individua il vertice
2
2
2
2
2 2. individua le intersezioni con gli assi
1
1
2
2
3 3. osserva il passaggio per l'origine
2
2
2
1
4 4. trova a, b e c
2
2
1
1
7
7
7
6
5 5. vi si rifà
2
2
2
1
6 6. le utilizza
0
0
1
1
2
2
3
2
7 7. individua
0
0
1
2
8 8. individua i dominii
0
0
1
0
9 9. individua e formalizza su un dominio
0
0
2
2
10 10. individua e formalizza su due domini
0
0
1
1
11 11. individua e formalizza sinteticamente
0
0
0
0
0
0
5
5
12 12. strumento di aiuto
1
1
2
0
13 13. unico strumento
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
0
punti caratteristici parabola
formule canoniche
simmetria
analisi grafica
non interpretabile
nota
14 14. varie
copia 2
copia 1
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Analisi dei dati
I giudizi sulle attitudini a sfruttare determinate aree
metacognitive sono chiaramente soggettivi, sebbene
concordati all’interno del gruppo di lavoro. Tuttavia,
incrociando i dati in un “matching” in cui si diagrammi una
attitudine in funzione di un’altra che sia stata ordinata in
senso crescente, l’influenza del giudizio soggettivo viene
ad essere eliminata, la qual cosa permette di ottenere
delle correlazioni tra le attitudini ad utilizzare le varie
strategie.
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Analisi dei dati
area metacognitiva
=>
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
totali
totali normalizzati
punti
formule
caratteristici
canoniche
parabola
7
2
7
2
7
3
6
2
4
0
7
2
6
2
5
0
2
0
5
2
4
0
0
0
2
0
8
4
0
0
8
0
4
0
8
4
8
4
4
0
0
0
8
2
110
100
29
26
analisi
grafica
simmetria
0
0
5
5
3
3
3
0
4
2
4
4
5
7
7
7
2
8
7
6
7
0
1
1
2
0
3
2
0
1
3
1
3
3
2
2
3
2
1
2
2
1
4
1
89
81
Vengono riportati solo
I giudizi cumulativi delle
Varie aree- strategie
40
36
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Analisi dei dati
Confronto esiti strategie
punti caratteristici parabola
formule canoniche
simmetria
analisi grafica
100
80
60
40
20
0
Vengono confrontati i giudizi cumulativi delle
Varie aree- strategie in forma normalizzata
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Analisi dei dati
Fornule canoniche
5
4
3
y = 0,4x - 0,6818
2
R = 0,5473
2
formule canoniche
1
Lineare (formule
canoniche)
0
-1 0
2
4
6
8
Punti caratteristici parabola
• Buona correlazione
• Le due strategie sono complementari
10
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Simmetria
Analisi dei dati
simmetria
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
y = -0,1313x + 4,7017
R2 = 0,0193
0
2
4
Lineare (simmetria)
6
8
10
Punti caratteristici parabola
• Correlazione pressochè inesistente
• Non sembra esserci correlazione
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Analisi dei dati
Analisi grafica
5
analisi grafica
4
Lineare (analisi
grafica)
3
2
c
y = -0,2125x + 2,8807
R2 = 0,3104
1
0
0
2
4
6
8
10
Punti caratteristici parabola
• Discreta correlazione
• Le due strategie sono “poco accoppiabili”
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Analisi dei dati
10
Simmetria
simmetria
y = 0,2498x + 3,7162
R2 = 0,0204
8
6
Lineare (simmetria)
4
2
0
0
1
2
3
4
5
Formule canoniche
• Correlazione pressochè inesistente
• Non sembra esserci correlazione
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Analisi grafica
Analisi dei dati
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
analisi grafica
y = -0,2293x + 2,1205
R2 = 0,1057
0
1
2
Lineare (analisi grafica)
3
4
5
Formule canoniche
• Scarsa correlazione
• Le due strategie sono poco accoppiabili
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Analisi dei dati
Analisi grafica
analisi grafica
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
y = 0,1831x + 1,0773
R2 = 0,206
0
2
Lineare (analisi
grafica)
4
6
8
10
Simmetria
• Discreta correlazione
• Le due strategie sono complementari
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Conclusioni
dall’analisi si evidenzia inoltre…
- difficoltà nel leggere e formalizzare le informazioni del
grafico
-uso del termine somma anziché unione
-uso del termine retta anziché parabola
Sembra che i ragazzi mostrino attitudini esclusive di
impiego dell’area Grafico Visiva (simmetrie) oppure del
registro analitico (forme canoniche e punti notevoli)
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Grazie per l’attenzione