Proporzioni-Simmetrie assiale e centrale

Materiale sperimentato nel PON- Competenti in matematica - a.s. 2008-09 –
C/O Ist. Comprensivo Miggiano
Materiale per alunni di Seconda media
Aritmetica: Applicazioni dei rapporti
Geometria: Le simmetrie centrale e assiale applicate ai triangoli
Obiettivi
Aritmetica
Consolidare il concetto di rapporto e di proporzione. Calcolare il valore di un termine incognito in una
proporzione. Le proporzioni continue.
Geometria
La simmetria centrale e la simmetria assiale dal punto di vista intuitivo con Cabrì. Verificare che due
triangoli simmetrici rispetto ad un punto o rispetto ad una retta sono congruenti ed equiestesi.
Disegnare un triangolo isoscele e riconoscere che ha due lati congruenti e due angoli congruenti.
Prima parte - Attività in aula – Tempo previsto: 120 minuti
Aritmetica
1. Richiamo del concetto di proporzione.
2. Regole per calcolare il valore di un termine incognito in una proporzione.
bc
a. a : b = c : x → x =
a
ad
b. a : b = x : d → x =
b
ad
c. a : x = c : d → x =
c
bc
d. x : b = c : d → x =
d
3. Esercizi di guida ed esercizi proposti.
36 ⋅ 20
a. 12 : 20 = 36 : x →
x=
= 60
12
10 ⋅ 5 5
b. 10 : x = 40 : 5 →
x=
= = 1, 25
40
4
25 ⋅10
c. 25 : 5 = x :10 →
x=
= 50
5
5
1
5 1
5 1 5
d.
: x = 2:
→
x = ⋅ :2 =
⋅ =
8
4
8 4
32 2 64
7 3 5
3 5 7 15 5 75
e.
: = :x →
x= ⋅ : =
⋅ =
5 2 16
2 16 5 32 7 224
13 3
4
26
3 1 1
4

f.  4 −  :  −  = x : →
: = x: →
x=
4 10
5
3
4 2 5
5

4. Definizione di proporzione continua
a. Esempi di proporzioni continue
3 15 15
•
4 : 20 = 20 :100
12 :18 = 18 : 27
: = : 75
4 2
2
5. Definizione di radice quadrata
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6. La radice quadrata di quadrati perfetti
7. Operare con le proporzioni continue -Calcolare il medio incognito in una proporzione continua.
(
a. 18 : x = x : 32 →
x 2 = 18 ⋅ 32 = 2 ⋅ 32 ⋅ 25 = 26 ⋅ 32 = 23 ⋅ 3
b. 5 : x = x :125 →
x 2 = 5 ⋅125 = 54 = ( 25 ) →
2
)
2
= 242 →
x = 24
x = 25
c. 16 : x = x : 9 →
x = 12
d. 20 : x = x : 25 →
x 2 = 500
e, utilizzando la calcolatrice, x = 500 ≈ 22, 36
8. Problemi applicativi sulle proporzioni
a. Un ragazzo legge un fumetto di 40 pagine e nota che per leggere le prime 10 pagine
impiega 6 minuti. Calcolare il tempo complessivo necessario per leggere tutto il
fumetto.
Soluzione
Indicato con x il numero dei minuti necessari a leggere l’intero fumetto, sussiste la
proporzione
6 min ⋅ 40 pag .
10 pag . : 6min = 40 pag . : xmin
→
xmin =
= 24min
10 pag .
b. Una donna frequenta una palestra per due ore alla settimana ed ha notato che in un
mese la sua massa corporea è diminuita di 4Kg. Sapendo che quella donna ha registrato
una diminuzione di 12Kg della sua massa corporea nel periodo in cui ha fatto attività
sportiva presso la palestra, supponendo che il ritmo con cui è diminuita la massa
corporea si sia mantenuto costante, determinare il numero di ore e quello dei mesi per i
quali quella donna ha frequentato la palestra.
Soluzione
Per risolvere il problema supponiamo di considerare un mese composto da 30 giorni.
Osserviamo che se x è il numero di mesi necessari per la diminuzione della massa
corporea di 12 Kg, deve sussistere la seguente proporzione:
1 ⋅12 Kg
xmesi = mese
1mese : 4 Kg = xmesi :12 Kg
→
= 3mesi
4 Kg
La donna ha dovuto frequentare la palestra per tre mesi.
Il numero di giorni contenuto in tre mesi è 90. Si deve determinare il numero di
settimane corrispondenti.
90 g 90
N settimane =
=
≈ 12,86
7g
7
A questo punto per calcolare il numero di ore di frequenza della palestra basta
moltiplicare il numero di settimane per 2. Si ha:
N ore = 12,86 ⋅ 2h ≈ 27, 7 h ≈ 28h
Possiamo concludere che la donna ha frequentato la palestra per 28 ore.
Seconda parte – Laboratorio con Cabrì – Tempo previsto: 60 minuti
1. Utilizzo della simmetria centrale.
a)
Definizione di simmetria centrale.
b)
Come ottenere con Cabrì il triangolo simmetrico rispetto ad un punto.
2. Esercitazione operativa – Istruzioni.
a) Disegnare tre punti A,B,C
b) Definire il triangolo ABC
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c)Costruire il simmetrico di ABC rispetto d un punto
c.1) Fissare il punto O centro di simmetria
c.2) Costruire il simmetrico del triangolo ABC e denominare i vertici A', B', C'
d) Visualizzare la misura del perimetro dei due triangoli. I valori devono coincidere.
e) Visualizzare l'area dei due triangoli. Anche in questo caso i valori devono coincidere.
f) Visualizzare l'ampiezza dell'angolo nel vertice A e quella dell'angolo di vertice A'. I valori
devono essere uguali.
f.1) Occorre definire l'angolo. L'operazione va fatta per ciascuno dei due angoli
f.2) Visualizzare la misura dell'angolo di vertice A.
f.3) Visualizzare la misura dell'angolo di vertice A’.
g) I valori delle ampiezze dei due angoli di vertici A, A' sono uguali.
h) Procedendo in modo analogo verificare che sono uguali anche le ampiezze degli
angoli nei due vertici B, B' e C, C'
Conclusione: Il simmetrico di un triangolo è un altro triangolo congruente con il primo.
Figura ottenuta
3. Utilizzo della simmetria assiale.
a)
Definizione di simmetria assiale.
b)
Come ottenere con Cabrì il triangolo simmetrico rispetto ad una retta.
4.
Esercitazione operativa – Azioni da effettuare.
a)
Disegnare il triangolo ABC ed assegnare i nomi ai vertici.
b)
Tracciare una retta a piacere esterna al triangolo. Questa retta sarà l’asse di
simmetria.
c)
Visualizzare il triangolo simmetrico rispetto all’asse di simmetria.
d)
Utilizzando la dinamica della figura, scoprire in quale ordine i vertici del secondo
triangolo corrispondono ai vertici del primo ed etichettarli con A′, B′, C′.
e)
Visualizzare l’area ed il perimetro del triangolo ABC e del triangolo A′ B′ C′ ed
osservare che coincidono.
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f)
Segnare l’angolo nel vertice A e visualizzare la sua ampiezza. Ripetere le stesse
operazioni per l’angolo di vertice A′. I valori delle ampiezze devono coincidere.
Figura ottenuta
5.
Costruire un triangolo isoscele
a)
Disegnare un segmento
b)
Denominare gli estremi del segmento A, B
c)
Determinare il punto medio del segmento e denominarlo M
Condurre per M la retta perpendicolare al segmento AB.
d)
e)
Assegnare alla retta condotta per M con la precedente azione il nome <<asse>>
f)
Prendere un punto qualsiasi C sull’asse.
g)
Unire C con A e B
h)
Visualizzare le misure dei segmenti AC, BC. I valori indicati devono essere uguali.
Il triangolo ABC è isoscele sulla base AB.
Segnare gli angoli adiacenti alla base AB e visualizzare le loro ampiezze. I valori
i)
che appariranno dovranno coincidere.
Figura ottenuta
Fine dell’attività
Prof. Luigi Lecci
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