Centro di massa
Una particella puntiforme ha una massa m, e tutti le forze che agiscono sulla particella si
applicano al punto della particella. La particella ha solamente un moto di traslazione.
Un sistema di particelle o un corpo solido puo effetuare una rotazione insieme alla
translazione. Ma un punto del sistema di particelle segue sempre un moto di translazione:
è il centro di massa. Il centro di massa è il punto che si muove come se tutta la massa
fosse concentrata il quel punto e come se fosse il punto d’azione di tutte le forze esterne.
Le forze interne, per principio di azione e reazione, si cancellano due a due e non
invervengono della dinamica del sistema di particelle. Un corpo solido puo essere
considerato come un continuo di particelle.
d
x CdM
x
m1
m2
m1
( m1
d
m2 )
Per un sistema di N particelle il centro di massa si definisce secondo la relazione :
rCdM
x CdM
1
M
1
M
N
m i ri
i 1
N
m i xi ,
i 1
y CdM
1
M
N
mi yi ,
i 1
z CdM
1
M
N
m i zi
i 1
Un corpo rigido di massa M contienne un grande numero di particelle e puo essere
considerato come una distribuzione.
x CdM
1
x dm ,
M
y CdM
1
y dm ,
M
z CdM
1
z dm
M
Se la massa è uniformemente distribuita, la massa volumica (densità) si scrive:
dm
M
dV
V
e
x CdM
1
x dV ....
V
Se il corpo contiene elementi si simmetria (punto, asse…), il centro di massa sara localizato
sul elemente di simmetria. Per esempio, il CdM di una sfera si trovo nel suo centro, il CdM di
un cilindro si trovo sull’asse centrale …
Seconda legge di Newton per un sistema di particelle
Il centro di massa segue un moto di traslazione come se fosse una particella puntiforme.
m 1 r1
rCdM
M
M
d rCdM
dt
d v CdM
dt
M a CdM
m N rN
....
M rCdM
,
M
m1
m1
F1
d r1
....
dt
d v1
dt
....
....
FN
mN
mN
v cm
dt
dvN
....
M v CdM
,
,
dt
M a CdM
m N rN
m 1 v1
m 1 a1
....
....
m N vN
mN aN
F1, ….FN sono le forze esterne che agiscono su ogni particella
M a CdM
vi
y
d rN
m 1 r1
v cm
V1
x
Fext
Fext risultante delle forze esterne
Anche se delle forze interne fanno esplodere il
corpo, il centro di massa delle particelle segue la
sua traiettoria parabolica.
Quantità di moto
p
La quantità di moto è il prodotto della massa per la velocità:
mv
Per un sistema di punti materiali, la quantità di moto totale è la somma delle quantità di
moto di ogni particella :
p
P
p1
p2
M V CdM
.... p N
m 1 v1
....
m N vN
La seconda legge di Newton si scrive:
F ext
dP
La rapidità di variazione del momento (quantita di moto) di una
particella è proporzionale alla forza netta che agisce sulla
particella e ha la stessa direzione di quella forza.
dt
Conservazione della quantità di moto : quando su un sistema di punti materiali la risultante
delle forze esterne è nulla, la quantità di moto è costante.
Fext
0
P
costante ,
Pi
Pf
L’equazione è vettoriale : se in una direzione (ma non tutte) la risultante delle forze è nulla,
allora la quantità di moto lungo quella direzione è costante.
Es.: la gravità in un moto bidimensionale.
Urto
Un urto è un evento isolato nel quale una forza relativemente intensa agisce per un
tempo breve su ciascuno dei due corpi che entrano in contatto fra loro.
Una forza d’urto non è necesseriamnete causata dal contatto ma puo essere una forza
gravitazionale o nucleare. Al livello microscopico non c’ è contatto !
Impulso della
forza:
I
tf
Fdt
ti
ti
v1i
tf
v1 f
dt
dt
Pf
I
Pi
V1
v2i
m1
m1
ti
F
m2
m1
tc
tf
dP
tc
tf
t
L’impulso I è equivalente alla forza media
moltiplicata per l’intervallo di tempo Δt
ti
m2
I
m2
v2 f
P
I
Fdt
1
Durante l’urto, le forza gravitazionale o di attrito sono debole
rispetto alla forza d’urto e possono essere trascurati.
t
t
F m e d ia t
Per un sistema chiuso e isolato, non c’è scambio di massa o di energia con l’esterno, la
quantità di moto è conservata prima e dopo l’urto.
Ci sono due tipi di urto :
-urto elastico : anche l’energia cinetica è conservata. L’energia cinetica di ciascuno corpo puo
cambiare ma non l’energia cinetica totale.
-urto anelastico : l’energia cinetica non è conservata : si crea energia termica, acoustica….
l’energia totale è sempre conservata.
P
p 1 p 2 costante
m v CdM
In ogni caso, la velocità del centro di massa non cambia :
p1 p 2
v CdM
m1 m 2
Esempio di collisione elastica 1D:
m 1 v i ,1
m1
1
m2
v2i
v1i
2
m 1 v f ,1
m 1 v i ,1
m1
v f ,1
v f ,2
m1
m2
m1
m2
2 m1
m1
m2
v i ,1
v i ,1
2m2
m1
m2
m2
m1
m1
m2
vi,2
1
2
m 2v f ,2
m 1 v f ,1
m2
v f ,1
per
vi,2
m1
m2
v f ,1
m1
m2
v f ,1
1
2
m 2v f ,2
vi,2 ,
v f ,2
v i ,1
0:
v i ,1 ,
v f ,2
vi,2
v i ,1 ,
v f ,2
2
m1
m2
2 v i ,1
v i ,1
Si spara con una pistola un proiettile du massa mp=4.5 10-3 kg su un blocco immobile di mb=1.8 kg, appogiato su una
superficie orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico fra il blocco e la superficie vale μ=0.2. Dopo l’urto, il proiettile rimane
incastrato nel blocco, che si sposta di una distanza d=1.8 m prima di fermarsi. Determinare la velocita del proiettile prima che
colpisca il blocco.
Vp=?
Vb=0
vpb
d=1.8m
Conservazione della quantita di moto :
m pv p
Conservazione del’’energia dopo l’urto:
1
2
(m p
v pb
vp
(m p
m b ) v pb
m b ) v pb
2 gd
(m p
mp
mb )
2
L att
(m p
2 . 65 m / s
v pb
1062 m / s
m b ) gd
1
m 1 v1
m1
m2
P
m 2v2
v1
2
m1
( m1
2 gh
v1
m 2v2
2
2 gh
(V
L
t
m 2 )V
( m1
V
v2 )
Ec
t
14 . 5 kW
m 2 )V
3
13 . 310 kg
