7Quantità di moto totale - IIS Severi

Sulla quantità di moto totale di un insieme di corpi
Legge di conservazione della quantità di moto totale. Se in un sistema di particelle agiscono solo
forze interne (si dice che il sistema costituito dalle particelle è isolato) allora la quantità di moto
totale si conserva.
Dimostrazione. Si consideri per semplicità un sistema costituito da due particelle:
Le interazioni tra le due particelle sono dovute a forze, dette interne, che soddisfano il terzo
principio della dinamica:
F 12   F 21
la forza che la particella 1 esercita sulla particella 2 determina un impulso che ne modifica la
F 1 2  t  p 2, f  p 2,i
quantità di moto:
;
anche la particella 2 esercita sulla particella 1 una forza che determina un impulso che ne modifica
F 21  t  p1, f  p1,i
la quantità di moto:
;
sommando membro a membro le due equazioni e tenendo conto del terzo principio della dinamica
si ottiene:
0  p 2, f  p 2,i  p 1, f  p 1,i
;
separando i termini iniziali da quelli finali si ottiene:
p1,i  p 2,i  p1, f  p 2, f
cioè la quantità di moto totale non cambia. C.v.d.
Applicazioni della legge di conservazione della quantità di moto totale
1) Esplosione: separazione di parti da un unico corpo (supposto inizialmente fermo nel sistema di
riferimento considerato). L’esempio della separazione in due parti.
PRIMA
DOPO
v
V
x
0
Mv – mV
=

Mv = mV
;
l’energia cinetica totale K non si conserva, l’energia cinetica totale deriva dalla trasformazione
di energia E presente all’inizio in un’altra forma: K = E .
1
2) Urto: due particelle, interagendo tra loro, modificano la propria quantità di moto.
In relazione alla conservazione dell’energia cinetica totale gli urti si classificano in:
2.1
Urti elastici (si conserva l’energia cinetica totale);
2.2
Urti anelastici (non si conserva l’energia cinetica totale); negli urti anelastici si
evidenzia il caso particolare dell’urto totalmente anelastico in cui i corpi, dopo
l’interazione, rimangono attaccati.
L’esempio degli urti frontali.
Urto totalmente anelastico.
PRIMA
DOPO
v1
v2
v
x
m1v1 + m2v2
=

(m1 + m2) v
v
m1 v1  m2 v 2
;
m1  m2
l’energia cinetica totale K non si conserva, in particolare viene dissipata:
m v  m2 v 2 
1
K f  m1  m2  1 1
2
m1  m2 2
Ki 
2
1
1
m1 v12  m 2 v 22
2
2
K  
1 m1  m2
v1  v 2 2
2 m1  m2
Osservazioni. K = 0 se v1 = v2 , cioè se i due corpi sono già “attaccati”. Invece la perdita di
energia cinetica è maggiore nel caso le velocità siano opposte rispetto al caso in cui siano concordi.
2
Urto elastico.
PRIMA
DOPO
v1
v1’
v2
v2’
x
Posto K 
1
1
m1 v12  m 2 v 22
2
2
,
p = m1v1 + m2v2
x = v1 ’ ,
,
y = v2 ’
Si deve risolvere il sistema di secondo grado in x e y costituito dall’equazione derivante dalla legge
di conservazione della quantità di moto totale e dall’equazione derivante dalla conservazione
dell’energia cinetica totale:
 m1 x  m 2 y  p
.

2
2
m1 x  m 2 y  2 K
Si osservi che una soluzione sarà sicuramente costituita dalle velocità iniziali v1 e v2 . Inoltre,
poiché scambiando x con y e l’indice 1 con l’indice 2 il sistema non cambia, una volta trovata la
soluzione per x si otterrà la soluzione per y semplicemente scambiando gli indici dei parametri che
compariranno nella soluzione per x .
Ricavando la y dalla prima equazione y 
l’equazione di secondo grado:
p  m1 x
m2
e sostituendola nella seconda, si ottiene
m1 m1  m2 x 2  2m1 px  p 2  2Km2  0
Per quanto osservato sopra il polinomio P( x)  m1 m1  m2 x 2  2m1 px  p 2  2Km2
per il binomio (x – v1):
m1 m1  m 2 
v1
m1 m1  m 2 

v1' 
 2m1 m1 v1  m 2 v 2 
m1 m1  m 2 v1
 m12 v1  m1 m 2 v1  2m1 m 2 v 2
m1  m2 v1  2m2 v 2
m1  m2
e
v 2' 
è divisibile
m1v1  m2 v 2 2  m1 v12  m 2 v 22 m 2
 m v
2
1 1

 m1 m 2 v1  2m1 m 2 v 2 v1
0
m2  m1 v 2  2m1v1
m1  m2
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