Sulla quantità di moto totale di un insieme di corpi Legge di conservazione della quantità di moto totale. Se in un sistema di particelle agiscono solo forze interne (si dice che il sistema costituito dalle particelle è isolato) allora la quantità di moto totale si conserva. Dimostrazione. Si consideri per semplicità un sistema costituito da due particelle: Le interazioni tra le due particelle sono dovute a forze, dette interne, che soddisfano il terzo principio della dinamica: F 12 F 21 la forza che la particella 1 esercita sulla particella 2 determina un impulso che ne modifica la F 1 2 t p 2, f p 2,i quantità di moto: ; anche la particella 2 esercita sulla particella 1 una forza che determina un impulso che ne modifica F 21 t p1, f p1,i la quantità di moto: ; sommando membro a membro le due equazioni e tenendo conto del terzo principio della dinamica si ottiene: 0 p 2, f p 2,i p 1, f p 1,i ; separando i termini iniziali da quelli finali si ottiene: p1,i p 2,i p1, f p 2, f cioè la quantità di moto totale non cambia. C.v.d. Applicazioni della legge di conservazione della quantità di moto totale 1) Esplosione: separazione di parti da un unico corpo (supposto inizialmente fermo nel sistema di riferimento considerato). L’esempio della separazione in due parti. PRIMA DOPO v V x 0 Mv – mV = Mv = mV ; l’energia cinetica totale K non si conserva, l’energia cinetica totale deriva dalla trasformazione di energia E presente all’inizio in un’altra forma: K = E . 1 2) Urto: due particelle, interagendo tra loro, modificano la propria quantità di moto. In relazione alla conservazione dell’energia cinetica totale gli urti si classificano in: 2.1 Urti elastici (si conserva l’energia cinetica totale); 2.2 Urti anelastici (non si conserva l’energia cinetica totale); negli urti anelastici si evidenzia il caso particolare dell’urto totalmente anelastico in cui i corpi, dopo l’interazione, rimangono attaccati. L’esempio degli urti frontali. Urto totalmente anelastico. PRIMA DOPO v1 v2 v x m1v1 + m2v2 = (m1 + m2) v v m1 v1 m2 v 2 ; m1 m2 l’energia cinetica totale K non si conserva, in particolare viene dissipata: m v m2 v 2 1 K f m1 m2 1 1 2 m1 m2 2 Ki 2 1 1 m1 v12 m 2 v 22 2 2 K 1 m1 m2 v1 v 2 2 2 m1 m2 Osservazioni. K = 0 se v1 = v2 , cioè se i due corpi sono già “attaccati”. Invece la perdita di energia cinetica è maggiore nel caso le velocità siano opposte rispetto al caso in cui siano concordi. 2 Urto elastico. PRIMA DOPO v1 v1’ v2 v2’ x Posto K 1 1 m1 v12 m 2 v 22 2 2 , p = m1v1 + m2v2 x = v1 ’ , , y = v2 ’ Si deve risolvere il sistema di secondo grado in x e y costituito dall’equazione derivante dalla legge di conservazione della quantità di moto totale e dall’equazione derivante dalla conservazione dell’energia cinetica totale: m1 x m 2 y p . 2 2 m1 x m 2 y 2 K Si osservi che una soluzione sarà sicuramente costituita dalle velocità iniziali v1 e v2 . Inoltre, poiché scambiando x con y e l’indice 1 con l’indice 2 il sistema non cambia, una volta trovata la soluzione per x si otterrà la soluzione per y semplicemente scambiando gli indici dei parametri che compariranno nella soluzione per x . Ricavando la y dalla prima equazione y l’equazione di secondo grado: p m1 x m2 e sostituendola nella seconda, si ottiene m1 m1 m2 x 2 2m1 px p 2 2Km2 0 Per quanto osservato sopra il polinomio P( x) m1 m1 m2 x 2 2m1 px p 2 2Km2 per il binomio (x – v1): m1 m1 m 2 v1 m1 m1 m 2 v1' 2m1 m1 v1 m 2 v 2 m1 m1 m 2 v1 m12 v1 m1 m 2 v1 2m1 m 2 v 2 m1 m2 v1 2m2 v 2 m1 m2 e v 2' è divisibile m1v1 m2 v 2 2 m1 v12 m 2 v 22 m 2 m v 2 1 1 m1 m 2 v1 2m1 m 2 v 2 v1 0 m2 m1 v 2 2m1v1 m1 m2 3