Calcolo Numerico 2 - Dipartimento di Matematica

Università degli Studi di Bari - Dipartimento di matematica
Laurea Triennale in Matematica - A.A. 2013/2014
Programma del corso di
Calcolo Numerico n. 2
prof. Luciano Galeone - dott. Roberto Garrappa
Interpolazione
Interpolazione polinomiale: esistenza e unicità. Metodo dei coefficienti indeterminati: problemi di
stabilità. Formula di Lagrange e sue rappresentazioni efficienti (formule baricentriche). Problemi
di stabilità: funzioni e costanti di Lebesgue. Resto del polinomio di interpolazione. Formula di
Newton alle differenze divise. Calcolo differenze divise e polinomio di Newton. Nodi equidistanti
e fromula di Newton–Gregory. Studio del resto per nodi equidistanti. Discussione su convergenza
del polinomio di interpolazione su nodi equidistanti e fenomeno di Runge. Nodi di Chebyshev.
Proprietà di minimo dei nodi di Chebyshev. Nodi di Chebyshev-Lobatto e formula baricentrica.
Interpolazione di Birkhoff e Hermite: generalizzazione della formula di Lagrange e della formula di
Newton. Interpolazione polinomiale a tratti. Spline lineari: costruzione, stabilità e convergenza.
Spline cubiche: condizioni aggiuntive, costruzione e cenni su convergenza e regolarità. Polinomi
generalizzati. Introduzione ed aspetti di esistenza ed unicità. I polinomi trigonometrici: esistenza e
calcolo. Algoritmo DFT
Approssimazione
Approssimazione ai minimi quadrati, polinomi generalizzati; matrice normale; inversa generalizzata
nel senso dei minimi quadrati, metodo di decomposizione ai valori singolari. Polinomi ortogonali
rispetto a una funzione peso e relative proprietà; formula ricorrente; polinomi di Legendre, Chebyshev, Hermite e Laguerre; approssimazione nel discreto; polinomi di Gram. Approssimazione di
Padè. Approssimazione non lineare; forme riconducibili al caso lineare; linearizzazione e metodo
delle approssimazioni successive.
Quadratura
Formule interpolatorie; formule del rettangolo, del punto medio, del trapezio, parabolica di Simpson.
Valutazione dell’errore. Formule composte. Controllo automatico del passo. Metodi di NewtonCotes e relative proprietà. Metodi di estrapolazione di Richardson-Romberg. Metodi di Gauss;
proprietà e valutazione dell’errore. Applicazioni e integrazione su intervalli infiniti.
Soluzione di equazioni differenziali
Costruzione dei metodi di Eulero esplicito e implicito; consistenza, ordine e convergenza. Metodo
del mid-point, del trapezio, di Simpson. Metodi predittore–correttore. 0-stabilità e condizioni sulle
radici; relazioni tra convergenza, consistenza e 0-stabilità. Assoluta e relativa stabilità; A-stabilità;
problemi stiff.
Programmazione in Matlab
Lo studente per sostenere l’esame è tenuto ad implementare in Matlab i metodi e gli algoritmi
studiati dal punto di vista teorico.
Testi di riferimento
• L. N. Trefethen, Approximation Theory and Approximation Practice, SIAM, 2012 (vedere
anche su http://www2.maths.ox.ac.uk/chebfun/ATAP/)
• K. E. Atkinson, An introduction to numerical analysis, Second edition, Wiley, 1989
• R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani e O. Menchi, Metodi Numerici, Zanichelli, 1997
• D. Bini, M. Capovani e O. Menchi, Metodi Numerici per l’Algebra Lineare, Zanichelli, 1988
• D. M. Young e R. T. Gregory, A survey of numerical mathematics. Vol. I, Dover, 1988