Corso di Statistica: ESERCITAZIONI

Corso di Statistica:
ESERCITAZIONI
Nicole Triunfo
a.a: 2013/2014
Università degli Studi di Napoli Federico II
Esercitazioni di STATISTICA
Potenza del test e p-value
Potenza del test
La potenza di un test statistico è la probabilità di prendere la decisione giusta,
cioè la probabilità di rifiutare l’ipotesi nulla quando è falsa.
𝜋 = 1 − 𝛽 = 𝑃 𝑟𝑖𝑓𝑖𝑢𝑡𝑎𝑟𝑒 𝐻0 𝐻0 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑎)
Esercizio n.1
Esercizio n.1
Esercizio n.1
Esercizio n.2
La popolazione ha legge normale di media 𝜇 e varianza nota: X~𝑁 𝜇; 𝜎2 .
Le ipotesi di un test sono:
𝐻0: 𝜇 = 50
𝐻1: 𝜇 = 70
𝜎
Il livello di significatività del test è pari al 5% e si ha che 𝑛 = 10
Calcolare la potenza del test.
Esercizio n.2
L’errore di II specie 𝛽 = 1 − 𝜋
𝜋 = 𝑃 𝑟𝑖𝑓𝑖𝑢𝑡𝑎𝑟𝑒 𝐻0 𝐻0 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑎) = P Y~𝑁 = 𝑃 𝑍~𝑁(0,1) >
𝑥−𝜇0
𝜎
𝑛
Il test considerato è un test unilaterale destro e quindi la regione di rifiuto è:
𝑅 = 𝜇0 + 𝑧1 − 𝛼
𝜎
,+∝ = 50 + 1,65 ∗ 10,+∝= (66.5, ∝)
𝑛
Sotto l’ipotesi 𝐻1 la statistica 𝑇 = 𝑋 n ~𝑁 70,102 e la potenza del test vale:
66,5 − 70
= 𝑃 𝑍 > 0,35 ≅ 0,637
10
L’errore di II specie è pari a (1-0,637)=0,363
𝑃 𝑍~
Il p-value
Data una ipotesi nulla H0 questa la si può accettare o rifiutare in base al
valore del p-value. In genere il suo valore è un numero molto piccolo, vicino
allo zero.Volendo dare una definizione, si può dire che:
è il livello di significatività assegnato, ossia una misura di evidenza contro
l’ipotesi nulla.
Quindi assegnato un valore soglia si ha:
1) 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 > 𝛼 𝑎𝑐𝑐𝑒𝑡𝑡𝑜 𝐻0
2) 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼 𝑟𝑖𝑓𝑖𝑢𝑡𝑜 𝐻0
Il p-value si calcola si calcola utilizzando la normale standard.
𝐻1: 𝜇 > 𝜇0
𝑃 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 = 𝑃(𝑍 ≥ 𝑧)
𝐻1: 𝜇 < 𝜇0
𝑃 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 = 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧)
𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇0
𝑃 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 = 𝑃(|𝑍| ≥ |𝑧|)
Esercizio n.3
Esercizio n.3
Esercizio n.4