Problems Set V: Additional Problems
1. Si consideri il seguente gioco in forma normale:
S
A
B
9
8
D
9
0
0
7
8
7
(a) Quali sono gli equilibri di Nash in strategie pure?
(b) Si disegnino le funzioni di reazione dei due giocatori e si determini l’equilibrio di Nash in strategie miste.
2. Si consideri un mercato duopolistico in cui imprese identiche competono à
la Bertrand. Ciascuna impresa può scegliere se fissare un prezzo alto pH , oppure
un prezzo basso pL , dove pH > pL . I profitti delle due impese, in funzione dei
prezzi fissati, sono rappresentati nella seguente matrice:
pL
pH
pH
pL
100
120
100
0
0
70
120
70
(a) Si supponga che le imprese fissino i prezzi simultaneamente, e in un sol
periodo. Esiste una strategia dominante per le imprese? Qual’è l’equilibrio
di Nash? Esiste un profilo strategico che domina, nel senso di Pareto, quello
di equilibrio?
(b) Si supponga ora che le imprese muovano in sequenza. Nel primo stadio,
l’impresa 1 fissa il suo prezzo p1 . Nel secondo stadio, l’impresa 1 non può
modificare p1 , mentre l’impresa 2 osserva p1 e fissa il suo prezzo p2 . A
questo punto, le imprese ottengono i loro profitti (in funzione dei prezzi
fissati, come rappresentati nella matrice precedente). Si rappresenti il gioco
in forma estesa, e si determini l’equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi
(specificando con precisione la strategia dell’impresa 2).
(c) Si modifichi il gioco sequenziale descritto nel punto (b), e si assuma che
l’impresa 1 offra a tutti suoi clienti una clausola cosidetta “meet the competition”. In base a tale clausola, l’impresa 1 si impegna a vendere al prezzo
più basso offerto nel mercato. Si determini l’equilibrio di Nash di questo
gioco. [Suggerimento: si modifichi l’albero del gioco, inserendo un terzo
stadio nel quale l’impresa 1 fissa un prezzo pari a quello più basso offerto
nel mercato.] Commentare brevemente il risultato.
3. Gibbons, esercizio 3.4, p. 173.
4. Gibbons, esercizio 4.1 parte (b), p. 247.
5. Gibbons, esercizio 4.4 parte (a), p. 249.
6. Si consideri il seguente gioco di segnalazione (dove t1 e t2 rappresentano i
possibili tipi del giocatore A):
3
0
Alto
Alto
0
Sinistra
0
Destra
B
A
B
1
4
Basso
t1
1
0.5
Basso
0.5
Alto
1
N
3
1
t2
Alto
3
2
B
0
A
Sinistra
B
Destra
Basso
2
Basso
1
0
(a) Si descriva l’equilibrio Bayesiano Perfetto di separazione in cui solo il tipo
t1 del giocatore A sceglie Destra.
(b) Esiste un equilibrio di imitazione in cui entrambi i tipi del giocatore A
scelgono Destra? Perché?
(c) Si descriva l’equilibrio di imitazione in cui entrambi i tipi del giocatore A
scelgono Sinistra.
7. Due amici vanno a cena insieme. Il menù del risorante propone due soli
piatti: un piatto di carne al prezzo di 10 ed un piatto di pesce al prezzo di 16.
Ciascuno dei due amici deve scegliere uno solo dei due piatti. Gli amici hanno le
stesse preferenze: ciascuno di loro valuta 20 il consumo di carne, e 25 il consumo
di pesce. L’utilità totale che ciascun amico ottiene dal consumo di un piatto è
pari al valore del consumo meno il prezzo pagato.
(a) Si assuma che i due amici chiedano conti separati, e pertanto che ciascuno
paghi solo il piatto che sceglie. Si rappresenti il gioco in forma normale e si
determini l’equilibrio di Nash.
2
(b) Si assuma ora che i due amici decidano di dividere il conto a metà (se il
prezzo totale dei piatti scelti è x, ciascuno paga x/2). Si rappresenti il gioco
in forma normale e si determini l’equilibrio di Nash.
(c) In entrambe le situazioni (a) e (b) i due amici pagano metà del conto totale.
Tuttavia la loro scelta è diversa nelle due situazioni. Perchè?
8. Si analizzi il seguente gioco mediante backward induction. Tre giocatori
devono scegliere tra tre possibili opzioni: A, B e C. Riccardo preferisce A a B, e
B a C. Salvatore preferisce B a C, e C ad A. Marco preferisce C a A, ed A a B.
In sintesi:
Riccardo: A
Salvatore: B
Marco:
C
B
C
A
C,
A,
B.
In un primo stadio, i giocatori votano per scegliere tra l’opzione A e l’opzione
B. Successivamente, in un secondo stadio, i giocatori votano per scegliere tra
l’opzione C e l’opzione che ha ricevuto più voti nel primo stadio. L’opzione che
riceve più voti nel secondo stadio viene adottata.
Come voteranno i giocatori in ciascuno stadio? Quale opzione sarà adottata?
9. Due giocatori, 1 e 2, contrattano durante tre periodi su come ripartire tra
loro un euro. I giocatori effettuano proposte in modo alternato.
1. Nel primo periodo il giocatore 1 propone di appropriarsi di una quota s1
dell’euro, e di lasciare 1 − s1 al giocatore 2. Il giocatore 2 può accettare
oppure rifiutare la proposta. Se il giocatore 2 accetta, la contrattazione
termina e i giocatori ricevono rispettivamente s1 e 1 − s1 . Se invece il
giocatore 2 rifiuta, il gioco procede nel secondo periodo.
2. Nel seconde periodo il giocatore 2 propone di appropriarsi di una quota
1 − s2 dell’euro, e di lasciare s2 al giocatore 1. Se il giocatore 1 accetta,
allora la contrattazione termina e i giocatori ricevono rispettivamente s2 e
1 − s2 . Se invece il giocatore 1 rifiuta, allora la contrattazione procede nel
terzo periodo. (Si noti che st rappresenta la quota spettante al giocatore 1 se
il gioco termina nel periodo t, indipendentemente da chi effettua l’offerta.)
3. Nel terzo periodo la contrattazione si interrompe, il giocatore 1 riceve una
quota S dell’euro (determinata esogenamente) e il giocatore 2 riceve una
quota 1 − S, dove 0 < S < 1.
I giocatori scontano i payoff ricevuti nei periodi futuri al tasso di sconto δ
per periodo, dove 0 < δ < 1. Si assuma che un giocatore accetti sempre una
proposta se indifferente tra accettare e rifiutare. Determinare, mediante backward
induction, l’equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi; vale a dire le offerte s1 ed
s2 (in funzione di S) effettuate in equilibrio dai due giocatori.
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