Introduzione al calcolo delle probabilità Datei

16 aprile 2014
Elementi di calcolo delle probabilità
Dott.ssa Rita Allais PhD
Dipartimento di scienze economico-sociali e matematico-statistiche
Università degli Studi di Torino
Statistica Descrittiva
Collezionare i dati
Presentare i dati
Esempio: sondaggio
Esempio: tabelle e grafici
Sintetizzare i dati
Esempio: media campionaria =
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Elementi di calcolo delle probabilità
1 n
∑ x
n i=1
i
2
Statistica Inferenziale
Laddove ve ne siano le condizioni, la Statistica elabora i principi e
le metodologie che presiedono alla generalizzazione delle evidenze
osservate
Calcolo delle probabilità
Stima
Ad esempio, stimare il peso medio
della popolazione usando il peso medio
campionario
Verifica delle ipotesi
Ad esempio, verificare l’affermazione
che il peso medio della popolazione è
70 Kg
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Elementi di calcolo delle probabilità
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Programma di calcolo delle probabilità e
variabili casuali (9cfu)
Introduzione al calcolo delle probabilità. Esperimenti casuali. Insieme dei
possibili esiti ed eventi. Algebra degli eventi. Differenti definizioni di
probabilità (classica, frequentista, Bayesiana, assiomatica).
La probabilità come funzione di insieme. Probabilità semplice e
condizionata. Indipendenza stocastica. Teorema di Bayes.
Variabili casuali univariate. Funzione di ripartizione di variabili casuali
discrete e continue. Funzione di probabilità e funzione di densità di
probabilità. Momenti di una variabile casuale.
Variabili casuali discrete: distribuzione di Bernoulli, Binomiale.
Variabili casuali continue: distribuzione Normale.
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Elementi di calcolo delle probabilità
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Cenni storici
1654: nascita della teoria delle probabilità come disciplina e scienza
autonoma grazie a Pierre de Fermat e Blaise Pascal
(problemi di divisione delle vincite e probabilità di vincere nel gioco d’azzardo)
1657: primo trattato sulla probabilità scritto da Christiaan Huygens: “De
ratiociniis in ludo aleae”
1718: primi concetti della teoria classica della probabilità di Pierre-Simone
de Laplace
1763: Thomas Bayes dimostra il suo teorema sugli eventi condizionati.
XIX secolo: Bernoulli, Lagrange, Gauss e Poisson introducono il calcolo
infinitesimale nella teoria della probabilità
1933: Andrej Kolmogorov pone le basi della moderna teoria delle
probabilità fondata sull’impostazione assiomatica.
1935: Bruno de Finetti sviluppa l’impostazione soggettivista
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Elementi di calcolo delle probabilità
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Esperimento deterministico vs casuale
Esperimento deterministico: il suo risultato è regolato da leggi
(fisiche e chimiche) note ed il suo esito non cambia se ripetuto sotto
condizioni sperimentali immutate.
Es: ebollizione dell’acqua a 100°C
Esperimento casuale:
⋆può essere ripetuto
sostanzialmente identiche;
indefinitamente
sotto
condizioni
⋆è possibile descrivere, in modo esaustivo prima di eseguirlo, i
suoi possibili esiti, ma non è possibile conoscere con certezza quale
di essi si verificherà.
Es: lancio di un dado o moneta non truccati
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Elementi di calcolo delle probabilità
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Insieme dei possibili esiti.
L’insieme Ω costituito dai possibili risultati ωα di un
esperimento casuale E viene detto insieme dei possibili esiti
dell’esperimento o spazio degli eventi.
I singoli elementi di Ω, possibili risultati dell’esperimento,
verranno detti eventi elementari. Da notare che non sempre
sono numeri.
Si dirà evento un qualsiasi sottoinsieme proprio o improprio di
Ω.
Esempio: lancio di una moneta
Eventi elementari:
ω1 Testa
Ω
ω2 Croce
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Elementi di calcolo delle probabilità
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Cardinalità di Ω
L’insieme dei possibili esiti può essere finito, infinito numerabile
(spazi campionari discreti) o possedere la potenza del continuo
(spazi campionari continui).
Esempi:
1. Lancio di una moneta regolare Ω = {T , C} FINITO
2. Lancio ripetuto di una moneta finché non compare per la prima volta
testa Ω ={T, CT, CCT, CCCT, CCCCT, CCCCCT,…} INFINITO
NUMERABILE
3. Distanza da un punto prefissato a cui cade una moneta lanciata su un
tavolo Ω = { [0,x]}
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INFINITO con POTENZA del CONTINUO
Elementi di calcolo delle probabilità
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Spazio campionario ed eventi
Esperimento: lancio di un dado non truccato
Ω
1
2
3
Eventi elementari
4
Possibili eventi:
Esce una faccia pari
5
E 1 = {2 , 4 , 6 }
6
Esce un numero maggiore di 4 E2 = {5, 6}
Un evento E ⊆ Ω si realizza se l’esito dell’esperimento casuale coincide
con uno qualsiasi degli eventi elementari contenuti in E
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Elementi di calcolo delle probabilità
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Operazioni su eventi
Ω
E
Nota: se
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F
E≡Ω
⇒
E = evento certo
E ≡ O/ ⇒ E = evento impossibile
Elementi di calcolo delle probabilità
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Evento complementare
Ω
EE
E
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Elementi di calcolo delle probabilità
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Unione
Ω
EUF
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Intersezione
Ω
E
F
E∩F
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Elementi di calcolo delle probabilità
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Eventi incompatibili (E ∩ F = Ø)
Ω
E
F
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Elementi di calcolo delle probabilità
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Eventi compatibili
Ω
F
E
L’espressione E ⊆ F significa che il verificarsi di E implica il
verificarsi di F
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Elementi di calcolo delle probabilità
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Definizioni di probabilità
•CONCEZIONE CLASSICA
La probabilità del verificarsi di un evento E può essere valutata
eseguendo il rapporto tra il numero degli eventi elementari
favorevoli al verificarsi di E ed il numero degli esiti possibili
(favorevoli e non favorevoli all’evento stesso) supposto che questi
siano equipossibili.
•CONCEZIONE FREQUENTISTA
la probabilità di un evento E è il limite a cui tende la frequenza
relativa fn (E), cioè il numero di volte che si verifica l’evento E
diviso il numero delle prove stesse, in una serie infinita di prove
ripetute ed indipendenti dell’esperimento in oggetto
P (E ) = lim f n ( E )
n→ ∞
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Elementi di calcolo delle probabilità
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Stabilizzazione della frequenza relativa
Lancio 10
monete
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Lancio 20
monete
Elementi di calcolo delle probabilità
Lancio 50
monete
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Definizioni di probabilità
•CONCEZIONE SOGGETTIVISTA
Fissato comunque un evento, si riconosce a ciascun soggetto la
possibilità di esprimere una propria personale valutazione sulla
probabilità che si verifichi l’evento in questione e si suggerisce
che tale valutazione coincida con la posta che il soggetto è
disposto a rischiare a fronte di una vincita unitaria.
Si aggiunge tuttavia che, in questa valutazione, il soggetto deve
avere un comportamento coerente, ad esempio accettando, dopo
aver emesso la valutazione di probabilità, indifferentemente sia la
posizione di scommettitore che quella di banco.
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Elementi di calcolo delle probabilità
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Punti di debolezza delle tre concezioni
CLASSICA: gli esiti di un esperimento devono considerarsi
equipossibili (inoltre “equipossibili” = “equiprobabili”)
FREQUENTISTA: non è possibile ripetere un esperimento un
numero illimitato di volte mantenendo le condizioni sperimentali
immutate
SOGGETTIVISTA: la libertà concessa al soggetto
nell’esprimere valutazioni di probabilità rende le stesse prive di un
qualsiasi valore oggettivo. Ad esempio si ammette che due
soggetti, pur essendo in possesso delle stesse informazioni e
conoscenze, assegnino differenti probabilità allo stesso evento.
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Elementi di calcolo delle probabilità
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Algebra
Definito l’esperimento casuale e individuato l’insieme dei possibili esiti, è necessario
attribuire una probabilità agli eventi. Nell’impostazione assiomatica è necessario
definire ed elencare a priori tutti gli eventi, ovvero si deve associare ad Ω un insieme di
suoi sottoinsiemi che racchiuda in se tutti i possibili modi in cui si vorrà interpretare
l’esito dell’esperimento.
Dato Ω, si dice algebra ad esso associata un qualsiasi insieme non
vuoto A chiuso rispetto alle operazioni insiemistiche, ovvero che
soddisfi le seguenti condizioni:
∀ E ∈ A
E ∈ A
∀ E 1 , E 2 , E 3 ,K , E n ∈ A
n
U
Ei ∈ A
i=1
A si dice sigma-algebra se la seconda condizione è verificata per n = ∞
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Elementi di calcolo delle probabilità
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Spazio probabilizzabile
Dato un esperimento casuale E ed individuato l’insieme Ω dei possibili
esiti, associando ad esso un’algebra A si costruisce lo spazio
probabilizzabile (Ω,
Ω, A ) sul quale è possibile definire la probabilità.
NOTA:
Dato Ω, l’algebra A non è univocamente determinata.
Solitamente sceglieremo come algebra, se Ω è finito o infinito
numerabile, l’insieme delle parti P (Ω) che contiene 2n sottoinsiemi.
Se Ω ≡ ℜ sceglieremo l’algebra di Borel generata a partire dagli
intervalli reali di tipo ]a , b].
16/04/2014
Elementi di calcolo delle probabilità
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Impostazione assiomatica di Kolmogorov:
definizione di probabilità
Si considera la probabilità come una funzione d’insieme avente
dominio un’algebra A associata ad Ω, codominio l’insieme R dei
numeri reali, ed operante in modo da soddisfare tre assiomi:
1. Assioma della non negatività: la probabilità di un evento è
sempre maggiore o uguale a zero
2. Assioma dell’additività: la probabilità dell’unione di eventi
mutuamente disgiunti (cioè incompatibili) corrisponde alla
somma delle loro probabilità
3. Assioma della norma: la probabilità dell’evento certo è 1
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Elementi di calcolo delle probabilità
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Proprietà derivanti dagli assiomi
•Probabilità dell’evento complementare
P (E ) = 1 − P ( E )
•Probabilità dell’evento impossibile
P (O/ ) = 0
ne consegue
∀E
0 ≤ P (E ) ≤ 1
•Se il verificarsi di E1 implica il verificarsi di E2 allora
E1 ⊆ E2 ⇒ P(E1 ) ≤ P(E2 )
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Elementi di calcolo delle probabilità
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Proprietà derivanti dagli assiomi
•Se il verificarsi di E1 implica il verificarsi di E2 allora la probabilità
E2
che si verifichi E2 ma non si verifichi E1 risulta
∀ E1 , E 2 ∈ A
/
E1 ⊆ E 2
E2\ E1
E1
⇒ P (E 2 − E1 ) = P (E 2 ) − P (E1 )
•Probabilità dell’unione di due eventi
∀ E1 , E2 ∈ A
P ( E1 U E2 ) = P (E1 ) + P (E2 ) − P (E1 I E2
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Elementi di calcolo delle probabilità
)
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Probabilità dell’unione di eventi
P(E U F) = P(E) + P(F) - P(E ∩ F)
Ω
E
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F
Elementi di calcolo delle probabilità
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Probabilità dell’unione di eventi
incompatibili (2° assioma)
P(E U F) = P(E) + P(F) - P(E ∩ F)
Se E ed F disgiunti, E ∩ F = Ø, P(E U F) = P(E) + P(F)
Ω
E
F
16/04/2014
Elementi di calcolo delle probabilità
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Spazio probabilizzato
Dato
un
esperimento
casuale
E
e
definito
lo
spazio
probabilizzabile (Ω,
Ω, A ) si tratta di individuare la misura di
probabilità P che si intende adottare in modo da definire
univocamente la terna ordinata (Ω,
Ω, A , P) che verrà detta spazio
probabilizzato .
Generalmente si procede attribuendo la probabilità agli eventi elementari in
modo da rispettare gli assiomi e successivamente si attribuisce la probabilità
ad un qualsiasi evento dell’algebra considerandolo come unione di eventi
elementari. Se si assegna ugual probabilità a ciascun evento elementare, lo
spazio è detto equiprobabile.
16/04/2014
Elementi di calcolo delle probabilità
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Come individuare P(E) se Ω è finito e A = P (Ω)
Esempio: probabilità di una determinata faccia di un dado non truccato
Ω= {ω1, ω2, …, ω6,} P(ωι) = pi = p
 6

P (Ω ) = 1 = P  U ω i  =
 i =1 
6
∑
p =6p⇒ p=
i =1
1
6
P(esce faccia pari) = 3* (1/6) = ½ = 0,5
Esempio: probabilità di una determinata faccia di un dado se il dado è truccato in
modo che le facce si presentino in modo proporzionale al numero su di esse impresso.
P(ωι) = pi = c i con c > 0
6
 6

P (Ω ) = 1 = P  U ω i  = ∑ c ⋅ i = c ⋅ (1 + K + 6 ) = 21 c
 i =1  i =1
⇒ c= 1
⇒ P (ω 1 ) = 1
P (ω 2 ) = 2
P (ω 6 ) = 6
21
21
21
21
P(esce faccia pari) = 2/21 + 4/21 + 6/21 = 12/21 = 0,57
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Elementi di calcolo delle probabilità
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Esempio Regola Additiva
Calcolare la probabilità di estrarre da un mazzo di 52 carte un asso
oppure una carta di cuori o quadri
Mazzo di 52 carte, con i quattro semi:
♥♣♦♠
Evento A = la carta è un asso
Evento B = la carta è rossa
P(AUB)=?
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Elementi di calcolo delle probabilità
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Esempio Regola Additiva
P(E U F) = P(E) + P(F) - P(E ∩ F)
P(Rossa U Asso) = P(Rossa) + P(Asso) - P(Rossa ∩ Asso)
= 26/52 + 4/52 - 2/52 = 28/52
Tipo
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Colore
Rossa Nera
Totale
Asso
2
2
4
Non-Asso
24
24
48
Totale
26
26
52
Elementi di calcolo delle probabilità
Non contare
due volte i
due assi rossi!
30
Probabilità condizionata
Frequentemente occorre trattare eventi associati ad esperimenti
casuali i cui esiti finali risultano parzialmente noti. Pertanto
occorre introdurre una nuova misura di probabilità, detta
probabilità condizionata, che consenta di determinare la
probabilità di un qualsiasi evento A di Ω nel caso in cui si
possegga l’informazione certa che si è verificato un secondo
evento B di Ω.
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Elementi di calcolo delle probabilità
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Probabilità condizionata
Siamo interessati alla probabilità che si verifichi A, dato
che si è verificato B: P(A|B)
Ω
A
B
Si è verificato B, quindi tutto quello che non è B non ci interessa
più. B “sostituisce” lo spazio campionario Ω
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Elementi di calcolo delle probabilità
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Probabilità condizionata
Si è verificato B, quindi tutto quello che non è B non ci interessa
più. B “sostituisce” lo spazio campionario Ω
Ci interessa la parte di A che è dentro B: che porzione di B
rappresenta?
B
A∩B
P(A|B) = P(A∩B)/P(B)
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Elementi di calcolo delle probabilità
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Probabilità Condizionata
Dato uno spazio probabilizzato (Ω,
Ω, A , P), fissato un qualsiasi
evento B∈ A di probabilità non nulla, P(B)≠0, si definisce
probabilità condizionata la funzione di insieme
P(· | B) : A →R tale che per ogni A∈ A sia
P(A ∩ B)
P(A | B) =
P(B)
La probabilità
condizionata di A
dato che B si è
verificato
Si può dimostrare che tale funzione è funzione di probabilità
in quanto soddisfa i tre assiomi di Kolmogorov
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Elementi di calcolo delle probabilità
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Probabilità dell’intersezione e probabilità composte
P(A
| B) =
P(A ∩ B)
P(B)
La probabilità condizionata di A dato
che B si è verificato
P(A ∩ B) = P(A | B) P(B)
P(B
| A) =
P(A ∩ B)
P(A)
La probabilità condizionata di B dato
che A si è verificato
P(A
∩ B) = P(B
| A) P(A)
Probabilità composte:
P(A
∩ B) = P(A
P (A B
16/04/2014
)=
| B) P(B)
= P(B
| A) P(A)
P(A ∩ B)
P(B | A) P(A)
=
P(B)
P(B)
Elementi di calcolo delle probabilità
35
Esempio Probabilità composte
Calcolare la probabilità di estrarre da un mazzo di 52 carte un asso
di cuori o quadri
Mazzo di 52 carte, con i quattro semi:
♥♣♦♠
Evento A = la carta è un asso
Evento B = la carta è rossa
P(A∩B)=?
16/04/2014
Elementi di calcolo delle probabilità
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Esempio Regola Moltiplicativa
P(A ∩ B) = P(A | B) P(B)
P(Rossa ∩ Asso) = P(Rossa| Asso) P(Asso)
 2  4  2
=    =
 4  52  52
Tipo
Asso
16/04/2014
Colore
Rossa
Totale
Nera
Non-Asso
2
24
2
24
4
48
Totale
26
26
52
Elementi di calcolo delle probabilità
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Esempio calcolo probabilità
Si immagini che un esperimento consista nell’estrazione
casuale di una pallina da un’urna contenente dieci
palline numerate progressivamente a partire da uno.
Definiti gli eventi:
A: {il numero impresso sulla pallina è pari}
B: {il numero impresso sulla pallina è non
calcolare:
P
P
P
P
16/04/2014
[A ]
[B ]
[A
[A
I B
U B
minore di 9}
]
]
Elementi di calcolo delle probabilità
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Calcolo delle probabilità
1
3
B
2
A
Ω
4
5
6
7
8
9
10
CONCEZIONE CLASSICA
P[E] = # casi favorevoli / # casi possibili
P[A] = 5/10 = 0.5
P[B] = 2/10 = 0.2
16/04/2014
Elementi di calcolo delle probabilità
39
P  A B  =
P
P
[A
[A
I B
I B
]=
]
P
[A
I B
P [B ]
]
P  A B  ⋅ P
[B ]
1
2
1
=
⋅
=
= 0 .1
2 10
10
P  A 1 U A 2  = P  A 1  + P  A 2  − P  A 1 I A 2 
P
[E ] =
1 − P
[E ]
4 8
4
P  A I B  = P  A B  ⋅ P  B  = ⋅ =
= 0.4
8 10 10
P  B  = 1 − P [ B ] = 1 − 0.2 = 0.8
P  A U B  = P [ A ] + P  B  − P  A I B  = 0.5 + 0.8 − 0.4 = 0.9
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Elementi di calcolo delle probabilità
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Indipendenza stocastica
Qualunque siano gli eventi A,B con P(A) > 0 e P(B) > 0,
l’evento A risulta stocasticamente indipendente dall’evento B
se la conoscenza del fatto che si è verificato B non modifica la
probabilità di A
P (A B ) = P ( A )
Se A è stocasticamente indipendente da B, allora anche B è
stocasticamente indipendente da A, ovvero
P (B A ) = P (B )
Proprietà di fattorizzazione
Due eventi A e B sono stocasticamente indipendenti se e solo se
P( A ∩ B ) = P( A)⋅ P(B )
16/04/2014
con P( A) ≠ 0
Elementi di calcolo delle probabilità
P(B ) ≠ 0
41
Assiomi e proprietà
Siano A e B due eventi a probabilità non nulla definiti su un
medesimo spazio di probabilità e tali che:
P[A] = 0.4
P[B] = p
P[AUB] = 0.7
Determinare il valore di p in modo che gli eventi A e B risultino:
1) Incompatibili
2) Stocasticamente indipendenti
3) Stocasticamente dipendenti con P[A|B]=0.2
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Elementi di calcolo delle probabilità
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Assiomi e proprietà
EVENTI INCOMPATIBILI: A∩B = Ø
P[AUB] = P[A] + P[B]
P[A] + P[B] = P[AUB]
0.4 + p = 0.7
p = 0.7- 0.4 = 0.3
EVENTI STOCASTICAMENTE INDIPENDENTI:
P[A|B] = P[A]
P[A∩B] = P[A] P[B]
P[AUB] = P[A]+P[B]- P[A∩B]
P[A∩B] = P[A]+P[B]-P[AUB]
P[A]P[B] = P[A]+P[B]-P[AUB]
0.4 p = 0.4+p-0.7
16/04/2014
0.6p = 0.3
p = 0.3/0.6 = 0.5
Elementi di calcolo delle probabilità
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Assiomi e proprietà
3) Stocasticamente dipendenti con P[A|B]=0.2
P[AUB] = P[A] + P[B] - P[A∩B] =
= P[A] + P[B] – P[A|B] P[B]
0.7 = 0.4 + p - 0.2 p
0.3 = 0.8 p
p = 0.3 / 0.8 = 3/8 = 0.375
16/04/2014
Elementi di calcolo delle probabilità
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Dall’esercizio precedente, si può notare come cambi il calcolo di P( A∪
∪B ) a
seconda della natura degli eventi …
P ( A∪B )
Eventi incompatibili
A∩B = ∅
Eventi compatibili
A∩B ≠ ∅
P ( A∪B ) = P(A) + P(B)
P ( A∪B ) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
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Eventi indipendenti
P(A∩B) = P(A) P(B)
Eventi dipendenti
P(A∩B)= P(A|B) P(B)= P(B|A) P(A)
P ( A∪B ) = P(A) + P(B) – P(A) P(B)
P ( A∪B ) = P(A) + P(B) – P(A|B) P(B)
P( A∪B ) = P(A) + P(B) – P(B|A) P(A)
Elementi di calcolo delle probabilità
45
Probabilità Condizionata
Dato uno spazio probabilizzato (Ω,
Ω, A , P), fissato un qualsiasi
evento B∈ A di probabilità non nulla, P(B)≠0, si definisce
probabilità condizionata la funzione di insieme
P(· | B) : A →R tale che per ogni A∈ A sia
P(A ∩ B)
P(A | B) =
P(B)
La probabilità
condizionata di A
dato che B si è
verificato
Si può dimostrare che tale funzione è funzione di probabilità
in quanto soddisfa i tre assiomi di Kolmogorov
16/04/2014
Elementi di calcolo delle probabilità
46
Probabilità dell’intersezione e probabilità composte
P(A
| B) =
P(A ∩ B)
P(B)
La probabilità condizionata di A dato
che B si è verificato
P(A ∩ B) = P(A | B) P(B)
P(B
| A) =
P(A ∩ B)
P(A)
La probabilità condizionata di B dato
che A si è verificato
P(A
∩ B) = P(B
| A) P(A)
Probabilità composte:
P(A
∩ B) = P(A
P (A B
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)=
| B) P(B)
= P(B
| A) P(A)
P(A ∩ B)
P(B | A) P(A)
=
P(B)
P(B)
Elementi di calcolo delle probabilità
47
Teorema delle probabilità totali
Dati gli eventi
A1 , A2 , A3 ,K, An ∈ A costituenti una partizione
di Ω e un qualsiasi evento B∈ A , si ha:
P (B ) = ∑ P (B Aj )⋅ P (Aj )
n
j =1
Ω
A1
B∩
∩A2
B∩
∩A3
A3
…
B
A2
16/04/2014
Elementi di calcolo delle probabilità
B∩
∩An
An
48
Teorema delle probabilità totali
Una compagnia di assicurazioni ha classificato i clienti che hanno
stipulato una polizza RC auto in tre categorie: il 35% dei clienti è stato
classificato a basso rischio di incidente (categoria B), il 45% a medio
rischio (categoria M) ed i rimanenti ad alto rischio (categoria A).
In base a precedenti indagini, si sa che la probabilità che si verifichi un
incidente è pari a:
0.004 per la categoria B
0.123 per la categoria M
0.195 per la categoria A
Si chiede di calcolare la probabilità che un cliente abbia un incidente.
16/04/2014
Elementi di calcolo delle probabilità
49
Probabilità totali
Clienti
M
B
A
I
Clienti
0.45
P(B)
P(I | B)
B
I
M
No I
P ( B ∩
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I
A
No I
I ) = P
No I
I
(I
Elementi di calcolo delle probabilità
B
)
P
(B )
50
Teorema delle probabilità totali
Dati gli eventi A1,…,An costituenti una partizione di Ω ed un qualsiasi evento E si ha:
n
P
(E ) = ∑
j=1
P
(E
A
j
)⋅ P ( A )
j
La probabilità che un cliente abbia un incidente risulta:
P (I
)=
P (I B ) P (B )+ P (I M
) P (M )+ P (I
A) P (A)
= 0 , 0 0 4 ⋅ 0 , 3 5 + 0 ,1 2 3 ⋅ 0 , 4 5 + 0 ,1 9 5 ⋅ 0 , 2 0
= 0, 09575
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Elementi di calcolo delle probabilità
51
Teorema di Bayes
Dati gli eventi
A1 , A2 , A3 , K , An ∈ A
costituenti una
partizione di Ω e un qualsiasi evento B∈ A , si ha:
P(A i | B) =
=
P(B | A i )P(A i )
P(B)
P(B | A i )P(A i )
P(B | A 1 )P(A 1 ) + P(B | A 2 )P(A 2 ) + K + P(B | A n )P(A n )
dove:
Ai = imo evento di n eventi mutuamente esclusivi e
collettivamente esaustivi (partizione di Ω)
B = nuovo evento che può avere un impatto su P(Ai)
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Elementi di calcolo delle probabilità
52
Teorema di Bayes
La probabilità che una donna di quaranta anni
abbia un cancro al seno è pari all’1%.
Se è malata, la probabilità che una mammografia
dia esito positivo è del 90%, altrimenti se non è
malata la probabilità che l’esito dell’esame sia
comunque positivo è del 9%.
Quale
probabilità
ha
una
donna
con
mammogramma positivo di avere davvero il
cancro al seno?
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Elementi di calcolo delle probabilità
53
Tabella delle Probabilità
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M
S
T+
0.90
0.09
T-
0.10
0.91
0.01
0.99
Elementi di calcolo delle probabilità
0.0981
1
54
Teorema delle probabilità totali
Donne 40-enni
Malate
Test +
Sane
Test -
Test +
Test -
Teorema delle probabilità totali
P (T e s t +
)=
P (T e s t + M
) P (M )+
P (T e s t + S
) P (S )
= 0 .9 0 ⋅ 0 .0 1 + 0 .0 9 ⋅ 0 .9 9
= 0 .0 9 8 1
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Elementi di calcolo delle probabilità
55
Teorema di Bayes
P
( Ai
E
P (M T est + ) =
=
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)=
(E
P
∑
n
j=1
P
Ai
(E
) P ( Ai )
A
j
) P (A )
j
P (T e s t + M
P (T e s t + M
0, 9 ⋅ 0, 01
0, 0981
) P (M
=
) P (M )
) + P (T e s t + S ) P ( S )
0, 092
Elementi di calcolo delle probabilità
56
Teorema di Bayes
Una ditta commissiona uno spot pubblicitario ad una televisione locale. In
seguito, per ogni cliente, viene rilevato se ha visto lo spot e se ha effettuato
l’acquisto.
Si considerino gli eventi:
V = { il cliente ha visto lo spot }
A = { il cliente ha effettuato l’acquisto }
Essendo noto che, in base alle rilevazioni, è risultato:
P(A) = 0.6
P(V) = 0.5
P(V|A ) = 0.2
È lecito affermare che la pubblicità è risultata efficace?
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Elementi di calcolo delle probabilità
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Clienti
Teorema di Bayes
A
?
?
V
P
P
(V
V
(A )
A
A
= 1 − P
)=
1 − P
(A )
(V
V
V
= 1 −
A
)
0 .6 =
0 .4
= 1 − 0 .2 =
0 .8
T e o re m a d e lle p ro b a b ilità to ta li
P
P
P
(V
(A
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(V )
=
P
0 .5 =
P
A
V
)
)
(V
(V
) P (A ) +
)⋅ 0 .6 + 0
A
A
P
(V
A
)P (A )
.2 ⋅ 0 .4
0 .2 ⋅ 0 .4
=
0 .7
0 .6
T e o re m a d i B a y e s
=
=
0 .5 −
P
(V
A
P
)
P
(V )
(A )
=
0 .7 ⋅ 0 .6
0 .5
Elementi di calcolo delle probabilità
=
0 .8 4
58