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Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Elettrotecnica I
1
Cosa c’è nell’unità 1/2
Multipoli resistivi
Trasformatore ideale
Amplificatore operazionale ideale e prime
applicazioni
Calcolo di reti con amplificatori operazionali ideali
Rappresentazioni Thevenin, Norton ed ibride
Reciprocità
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1
1
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Cosa c’è nell’unità 2/2
Generatori pilotati
Calcolo di reti resistive contenenti generatori pilotati
Thevenin e Norton di bipoli con pilotati
Generatori pilotati per modellare multiporta
Generatori pilotati e metodo dei nodi
Diodi
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Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
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2
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Multipoli resistivi
I principali multipoli resistivi ideali sono:
il trasformatore ideale
l’amplificatore operazionale ideale
il giratore
i convertitori di impedenza negativa
ad inversione di tensione
ad inversione di corrente
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Multipoli resistivi
Questa unità considera solo
il trasformatore ideale
l’amplificatore operazionale ideale
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3
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Multipoli resistivi
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Definizioni e proprietà
È un circuito a due porte, o doppio bipolo, il
cui simbolo circuitale è riportato in figura
insieme alle convenzioni di misura
standard, solitamente adottate per misurare
correnti e tensioni di porta
i1
v1
i2
K
v2
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Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Definizioni e proprietà
Il parametro K, adimensionato, prende il nome
di rapporto di trasformazione
i1
v1
i2
K
v2
9
Definizioni e proprietà
Il trasformatore ideale è un doppio bipolo :
intrinseco
lineare
privo di memoria
inerte
passivo e privo di perdite
i1
v1
i2
K
v2
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5
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Definizioni e proprietà
i1
i2
v1
v2
K
Secondo la convenzione di misura standard,
le due relazioni costitutive del trasformatore
ideale sono:
v1 = K v2
i1 = −
1
i2
K
11
Definizioni e proprietà
In forma matriciale le relazioni costitutive (vedi
unità 2) si scrivono
i1
i2
v1 = K v2
1
i2
K
+
+
0A
C
Biv
i1 = −
v1
=
1 − K   v1  0
⇒
   +
 0 0   v2  1
K
v2
0   i1  0 
   = 
1/ K   i2   0 
dove il vettore C è nullo
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6
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Definizioni e proprietà
I multipoli e multiporta sono definiti inerti se si ha C=0
Il trasformatore ideale è quindi un doppio bipolo
intrinseco
lineare
privo di memoria
inerte
13
Definizioni e proprietà
La potenza entrante nel trasformatore ideale risulta
nulla:
i1
i2
v1 = K v2
i1 = −
1
i2
K
v1
K
v2
iv
p(t) =
t
implica:
= v1 i1 +v2 i2 = 0
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7
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Definizioni e proprietà
Quindi il trasformatore
ideale è un dispositivo
passivo, che non
dissipa né accumula
potenza
i1
i2
v1
v2
K
In ogni istante la
potenza che entra in una
porta uguaglia quella
che esce dall’altra porta
15
Definizioni e proprietà
La realizzazione tecnologica del trasformatore
(ideale) è difficoltosa e viene considerata in altri
corsi
i2
i1
v1 = K v2
1
i1 = − i2
K
v1
K
v2
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8
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Definizioni e proprietà
La sua principale applicazione è quella di trasferire
la potenza elettrica da una porta all’altra, con livelli
di tensione e corrente alterati a seconda del valore
del rapporto di trasformazione K
i2
i1
v1 = K v2
i1 = −
v1
1
i2
K
v2
K
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Definizioni e proprietà
Convenzione di segno
non standard per il
trasformatore ideale
v1 = − K v2 



1

i1 = K i2 
i2
i1
v1
K
v2
v1 = K (− v2 ) 


ottenuto da 
1

i1 = − K (− i2 ) 
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9
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Definizioni e proprietà
K 2 Rc
Rc
K
Ri
Ri
K2
K
Il trasformatore ideale altera di un fattore K2 il
valore delle resistenze viste (misurate) su ciascuna
porta
v1 = K v2 
v1
v


= −K 2 2

1 ⇒
i
=
−
i
i
i2
1
1
2

K 
Notare come il “segno ” di K sia ininfluente
19
Definizioni e proprietà
Il trasformatore ideale
altera di un fattore K 2 il
valore delle resistenze i
viste (misurate) su
ciascuna porta
v1 / i = Re
i = i1 = −
v2 = − Rc i2
i2
v1
v2
v1 = Kv2
v1 = K ( − Rci2 ) = K 2 Rc i1
Re
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Rc
}
1
i2
K
i1
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10
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Definizioni e proprietà
Equivalenti Thevenin e Norton dei bipoli visti ai
morsetti di una data porta del trasformatore
ideale vengono determinati in modo del tutto
analogo
1
2
R
1
+
+
e
v0 = ke
2'
1'
Re = k 2 R
1'
21
Definizioni e proprietà
Se si collega un solo bipolo tra un morsetto della
prima porta del trasformatore ideale ad un morsetto
della seconda porta del trasformatore ideale tale
bipolo è attraversato da corrente nulla, in quanto il
trasformatore ideale è un doppio bipolo intrinseco
R
ir = 0
A
Re = K 2 Rc
K
B
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Rc
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11
11
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Definizioni e proprietà
Questo bipolo può quindi essere sostituito sia da
un generatore di corrente spento come da un
generatore di tensione spento
ir = 0
R
A
Re = K 2 Rc
Rc
K
B
23
Definizioni e proprietà
Occorre sempre ricordare che il trasformatore
ideale è un doppio bipolo intrinseco
i − i1 R1
A i
i1
i − i1
1
Re
i
B
v1
2
K
v2
1'
R
2'
i1
i1 − i R2
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i − i1 − i 2
i2
i2
− i2 − i1 + i
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Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Definizioni e proprietà
Nel caso di figura i resistori R1 ed R2 sono
attraversati dalla stessa corrente (a parte il segno),
e la resistenza equivalente ai morsetti 1-1’ vale:
K2 R
Re =
R
2
1+
(1 − K )
R1 + R2
A i
Re
B
i
i − i1 R1
i − i1
i1
i2
i − i1 − i2
1
2
v1 K
v2
R
1'
2'
i1
i2 − i 2 − i1 + i
i1 − i
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Trasformatore ideale
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13
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Esempio
a) Rappresentare con Norton il bipolo a sinistra dei
terminali M-N indicati
b) Utilizzando la rappresentazione trovata, calcolare
(per la rete di figura) la corrente i e la potenza
entrante nel generatore di tensione da 180 volt
c) Calcolare infine la tensione indicata vg, sul
generatore di corrente da 3 ampere
M
vg 3 A
30Ω
60Ω
K =3
i
30Ω
30Ω
+
180V
N
27
Esempio
a) Rappresentare con Norton il bipolo a sinistra dei
terminali M-N indicati
M
vg
3A
30Ω
60 Ω
60 + 30
= 10 Ω.
K2
60
=−
3 = −2A;
60 + 30
K =3
i
30Ω
30Ω
+
180V
N
Rmn =
i1cc
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i2cc = −Ki1cc = +6A
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Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Esempio
b) Utilizzando la rappresentazione trovata, calcolare
(per la rete di figura) la corrente i e la potenza
entrante nel generatore di tensione da 180 volt
i2 cc
M
30Ω
Rmn
10 Ω
6A
180 V
i
30 Ω
+
N
vmn
180
−6
180
30
=
= 0V; i =
= 6A;
1
1
1
30
+ +
10 30 30
p = −5 ,4 KW
29
Esempio
c) Calcolare infine la tensione indicata vg, sul
generatore di corrente da 3 ampere
M
vg
30Ω
3A
60 Ω
K =3
30Ω
3A
vg
60 Ω
v g = −60V
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i
30Ω
30Ω
+
180V
N
v1 = Kv2 = 0
30
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15
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Multipoli resistivi
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Amplificatore operazionale ideale
È un quadrupolo (3 equazioni costitutive) definito
come idealizzazione di un amplificatore
operazionale reale
L’amplificatore operazionale ideale ha il simbolo
circuitale indicato in figura
i+
+
v d i−
i0
0
−
v0
v−
v+
g
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Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Amplificatore operazionale ideale
Le equazioni costitutive sono:
i+
i+ = 0
i− = 0
+
v d i−
v+ − v− = vd = 0
i0
0
−
v0
v−
v+
g
33
Amplificatore operazionale ideale
La potenza entrante nell’amplificatore operazionale
ideale risulta espressa da:
pe = v+ i+ + v−i − − v0i0 = −v0i0
i+
+
v d i−
v+
i0
0
−
v0
v−
g
Poiché pe solitamente è negativa questo multipolo si
comporta come un elemento attivo nella rete in cui
viene inserito
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Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Amplificatore di tensione invertente
Rf
i
1 R i
vd
vi
ii
−
+
iu
vu
g
1'
2
2'
Le relazioni costitutive del doppio bipolo con
porte 1-1’ e 2-2’ sono:
vu = −
Rf
R
vi ; v i = R i i
35
Circuito sommatore
Rf
R1
R2
v1
−
v2
i0
+
Rn
v0
vn
g
Qualunque sia la corrente io , la tensione vo vale:
vo = −
Rf
R1
v1 −
Rf
R2
v2 − LL −
Rf
Rn
vn
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Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Amplificatore di tensione non invertente
Rf
i
v
i= i
R
vd
R
vi
−
i0
+
+
v0
Qualunque sia la corrente io , la tensione vo vale:
vo = R f
 R 
vi
+ vi = vi 1 + f 
R
R 

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Multipoli resistivi
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19
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Reti con amplificatori operazionali ideali
Esempio 1
Per l’analisi di circuiti più complicati contenenti
amplificatori operazionali ideali, a volte conviene
utilizzare un procedimento inverso per l’analisi
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Reti con amplificatori operazionali ideali
Esempio 1
Per l’analisi di circuiti più complicati contenenti
amplificatori operazionali ideali, a volte conviene
utilizzare un procedimento inverso per l’analisi
R3
R1
R
vi
R2
−
+
v0
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20
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Reti con amplificatori operazionali ideali
R1
R
+
R2
−
R3
+
vi
R1 + R2 // R3
R
+
v0
+
vi
vd
−
+
+
v0
 vi

R3
 + v0

R
R2 R3 + R1 ( R2 + R3 ) 
vd = 0 = − 
1
1
+
R R1 + R2 // R3
 R + R2 R1R2 
v0 = −  1
+
 vi
RR3 
 R
Millman:
Porge
R3
R2 + R3
41
Reti con amplificatori operazionali ideali
R3
Rf
R
A
vi
−
+
+
−
vx
B
Esempio 2
v0
R1 R2
B
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Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Reti con amplificatori operazionali ideali
R3
Rf
R
A
vi
−
+
+
−
vx
B
Esempio 2
v0
R1 R2
B
vd 2 = 0
A
R
+
R1
vx =
v0
R1 + R2
R3
vd 1
+
R2
v0
vi
Rf
vd 2
R1
+
vx
B
43
Reti con amplificatori operazionali ideali
A
R
+
vd 1
Rf
R3
+
R2
v0
vi
vd 2
R1
+
vx
vAB = 0 ⇒
vi vo vo
R1
+
+
=0
R R3 R f (R 1 + R2 )
B
vd 2 = 0 ⇒
vx =
R1
v0
R1 + R2
vo = −vi
A
R
R3
+
+
vi
v0
B
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da cui si ottiene
Rf
+
R1
v
R1 R2 0
R3
1
R 
R1R3
 1 +
 ( R1 +R 2 ) R f



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Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Reti con amplificatori operazionali ideali
R3
Rf
R
A
vi
−
+
B
+
−
vx
R1
v0
R2
B
vo = −vi
R3
1
R 
R1 R3
1 +
 ( R1 +R 2 ) R f



45
Thevenin e Norton di bipoli con operazionali
Per calcolare equivalenti Thevenin o Norton ai
due morsetti di “uscita” di un circuito con
operazionale ideale
Ricordare che la resistenza equivalente (di uscita)
si misura supponendo spenti tutti i generatori
ideali di tensione e di corrente, ed inserendo un
opportuno generatore di prova
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Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Thevenin e Norton di bipoli con operazionali
R3 R
2
R1
Esempio 1
R
−
+
vi = 0
ip
vp
ip
ip
v p = 0 ∀i p
Ru = 0
47
Thevenin e Norton di bipoli con operazionali
Esempio 2
R3
Rf
R
A
vi = 0
−
+
+
−
vx
B
R1 R2
ip
vp
+
ip
B
v p = 0 ∀i p
Ru = 0
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Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Multipoli resistivi
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Rappresentazione Thevenin
Abbiamo visto che per i multiporta ed i multipoli,
se lineari e privi di memoria, vale la seguente
forma vettoriale della relazione costitutiva:
A v + B i + C=0
Se la matrice A è invertibile questa relazione
porge:
R è la matrice di resistenza, v0 è la tensione a
vuoto del multiporta (o del multipolo)
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Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Rappresentazione Thevenin
vRiv
=
+
o
Un multiporta (o multipolo) è rappresentabile
Thevenin se la sua relazione costitutiva si può
porre nella forma:
I multiporta rappresentabili Thevenin hanno
l’equivalente Thevenin di figura a destra
n
n'
2
2'
1
1'
v
n + 0n
R
+
e
n'
a
2 + v02
2'
v
1 + 01
R
1'
51
Rappresentazione Norton
I multiporta ed i multipoli lineari e privi di
memoria hanno la seguente forma vettoriale della
relazione costitutiva:
A v + B i + C=0
Se la matrice B è invertibile questa relazione porge:
G è la matrice di conduttanza, i 0 è la corrente di
cortocircuito del multiporta (o del multipolo)
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Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Rappresentazione Norton
o
Gv
i i
Un multiporta (o multipolo) è rappresentabile
Norton se la sua relazione costitutiva si può porre
nella forma:
=
+
I multiporta rappresentabili Norton hanno
l’equivalente Norton di figura a destra
n
n
R
n'
n'
2
2
2'
1
1'
i0 n
e
2'
+
a
i0 2
G
1
1'
i01
53
Legami tra Thevenin e Norton
Mentre i bipoli lineari ammettono sicuramente una
delle due rappresentazioni (Thevenin o Norton),
questo non è sempre vero per i multiporta od i
multipoli
Ad esempio il trasformatore ideale non è
rappresentabile né secondo Thevenin né secondo
Norton
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Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Legami tra Thevenin e Norton
-1
=
=−
55
o
0
Ri v GR
Quando un multiporta (multipolo) ammette sia la
rappresentazione Thevenin che quella Norton,
valgono le seguenti relazioni tra la matrice delle
resistenze e la matrice delle conduttanze, e tra il
vettore tensione a vuoto ed il vettore corrente di
corto circuito:
Rappresentazioni ibride
Con l’aumentare del numero di terminali di un
dato dispositivo cresce il numero di possibili
rappresentazioni
In molti casi risulta conveniente utilizzare le
cosiddette rappresentazioni ibride, che
verranno considerate nel modulo di
Elettrotecnica II
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28
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Multipoli resistivi
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Definizione
t
=
ab
t
ba
iv iv
Consideriamo un multiporta (o un multipolo)
generico e supponiamo che le due coppie (va, i a)
e (vb, i b) siano compatibili con il multiporta
(multipolo). Il multiporta (multipolo) si dice
reciproco se vale la proprietà (uguaglianza di due
scalari):
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Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Teorema di reciprocità
Il teorema di reciprocità assicura che un
multiporta (multipolo) ottenuto da nodi accessibili
di una rete costituita da elementi tutti reciproci è
reciproco
Il viceversa non è garantito, cioè se un multiporta
(multipolo) risulta essere reciproco non è detto
che lo siano i suoi elementi
59
Teorema di reciprocità
È facile dimostrare che il resistore ideale, l’induttore
ideale, il condensatore ideale, il trasformatore ideale
sono elementi reciproci
Dal teorema di reciprocità segue che un multipolo
(o multiporta) costitutito da resistori e trasformatori
è reciproco
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30
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Teorema di reciprocità
=
t
RR
È facile dimostrare che per i multiporta (od i
multipoli) reciproci inerti rappresentabili
Thevenin la matrice delle resistenze è
simmetrica
61
Teorema di reciprocità
=
t
G
G
È facile dimostrare che per i multiporta (od i
multipoli) reciproci inerti rappresentabili Norton
la matrice delle conduttanze è simmetrica
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31
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Doppi bipoli reciproci, circuiti a T e ?
Poiché per i doppi bipoli reciproci inerti
rappresentabili Thevenin e/o Norton risulta:
R12 = R21
G12 = G21
Questi doppi bipoli sono equivalenti
ad un doppio bipolo a T quando rappresentabili
mediante matrici di resistenza
ad un doppio bipolo a ? (pi greca) quando
rappresentabili mediante matrici di conduttanza
63
Doppi bipoli reciproci, circuiti a T e ?
2
1
1
R1
R = Rt
1'
R2 2
R3
2'
R R 
R =  11 12 
 R12 R22 
1'
2'
R3 = R12
R1 = R11 − R12
R2 = R22 − R12
Equivalenza di un doppio bipolo reciproco inerte con un circuito a T
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Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Doppi bipoli reciproci, circuiti a T e ?
1
2
1
G = Gt
1'
2'
G11 G12 
G=

G12 G22 
1'
G3
G1
2
G2
2'
G3 = −G12
G1 = G11 + G12
G2 = G22 + G12
Equivalenza di un doppio bipolo reciproco inerte con un circuito a ?
65
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
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33
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Definizioni
Molti dispositivi sono modellati mediante relazioni
costitutive in cui le tensioni o le correnti dei loro
terminali dipendono dalle tensioni e/o correnti
presenti in altri elementi della rete in cui questi
dispositivi sono inseriti
Questi dispositivi si dicono pilotati
67
Definizioni
Nel seguito considereremo i quattro modelli più
semplici di:
generatore
generatore
generatore
generatore
di
di
di
di
tensione pilotato da tensione
tensione pilotato da corrente
corrente pilotato da tensione
corrente pilotato da corrente
68
© 2005 Politecnico di Torino
34
34
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Generatore di tensione pilotato
Ai suoi morsetti si stabilisce una tensione ê
(tensione del generatore) che dipende da una
tensione tra una coppia di nodi, o da una corrente
in un altro elemento della rete in cui l’elemento
pilotato stesso è inserito
pilotato da tensione
pilotato da corrente
)
e =α v
)
e = Rm i
+
ê
69
Generatore di corrente pilotato
Ai suoi morsetti si stabilisce una corrente â
(corrente del generatore) che dipende da una
tensione tra una coppia di nodi, o da una corrente
in un altro elemento della rete in cui l’elemento
pilotato stesso è inserito
)
pilotato da tensione a = Gm v
pilotato da corrente a) = β i
â
70
© 2005 Politecnico di Torino
35
35
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Generatori pilotati: realizzazioni pratiche
Molti dispositivi realizzati praticamente sono
modellati da questi generatori
Ad esempio, in prima approssimazione:
un triodo è modellato da un generatore di tensione
pilotato da tensione
una dinamo da un generatore di tensione pilotato
da corrente
un transistore da un generatore di corrente
pilotato da corrente
un transistore ad effetto di campo (FET) da un
generatore di corrente pilotato da tensione
71
Generatori pilotati: osservazioni
Se in una rete compaiono generatori pilotati occorre
specificare a parte quali sono le loro relazioni
costitutive, ed indicare esplicitamente nella rete
quali sono le grandezze pilotanti (o pilota)
I generatori pilotati sono elementi attivi e non
reciproci
Pertanto, introducendo questi elementi in una rete
passiva e reciproca, di solito si ottiene una rete
attiva e non reciproca
72
© 2005 Politecnico di Torino
36
36
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Generatori pilotati
73
Reti resistive contenenti generatori pilotati
Il procedimento di calcolo più semplice avviene
in tre fasi:
1. supponendo noti i valori dei generatori pilotati,
calcola dapprima le grandezze pilotanti (o pilota)
della rete
2. nelle relazioni ottenute al punto 1, sostituisci alle
grandezze pilotate le relazioni costitutive che
esprimono tali grandezze in funzione dei piloti.
Ottieni così delle relazioni che hanno come
incognite solo i piloti (equazioni dei piloti) e che
risolte determinano i valori dei generatori pilotati
3. noti i generatori indipendenti ed i pilotati, passa
infine a calcolare le uscite richieste
© 2005 Politecnico di Torino
74
37
37
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Esempio 1
Calcolare la tensione v2 per la rete di figura.
Dati: R1=R2=R 3=R4=Rm=1K ohm; a=10 mA, e=5V
ê +
R3
R4
R1
a
e
R2
v2
ip
+
)
e = Rm i p
75
Esempio 1
Fase 1, valuto ip supponendo noto il generatore
pilotato
Sovrapposizione effetti
dati: R1=R 2=R3=R4=Rm=1K ohm; a=10 mA, e=5V;
)
e = Rm i p
R3
a
+
R4
R1
e
R2
ip
© 2005 Politecnico di Torino
ê
v2
+
76
38
38
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Esempio 1
Fase 1, valuto ip supponendo noto il generatore
pilotato
Sovrapposizione effetti
R3
R1
a
R2
R4
i 'p
i 'p = −
R3 + R2 R4
3
a = − a = −6mA
R1 + R3 + R2 R4
5
77
Esempio 1
Fase 1, valuto ip supponendo noto il generatore
pilotato
Sovrapposizione effetti
R3
R4
e
R1
i 'p'
i"p = −
© 2005 Politecnico di Torino
R2 ( R1 + R3 )
R4 + R2 ( R1 + R3 )
R2
+
e
e
= − = −1mA
R1 + R3
5
78
39
39
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Esempio 1
Fase 1, valuto ip supponendo noto il generatore
pilotato
Sovrapposizione effetti
R3
ê
R1
i
+
R4
R2
''
p
)
e
2)
i =−
=− e
R1 + R3 + R2 R4
5
'''
p
79
Esempio 1
Fase 2, Equazione del pilota
i p = ( i 'p + i " p ) + i "' p = − 7 −
2)
2
2
e = − 7 − Rm i p = − 7 − i p
5
5
5
da cui si ottiene
 2
i p 1 +  = −7; i p = − 5mA
 5
80
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40
40
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Esempio 1
Fase 3, Calcolo l’uscita v2 (equazione KVL):
ê +
R3
R4
e
R1
a
R2
v2
+
ip
)
v2 = R1i p + R3 ( i p + a ) + e = −5 + 5 + Rmi p = −5 V
81
Esempio 2
Calcolare la tensione va per la rete di figura.
Dati: R1=R2=1K ohm; a=10 mA, a=2, ß=1
R1
+ ê
va
a
â
)
e = α va ;
© 2005 Politecnico di Torino
R2
)
a = β i2
i 2 v2
82
41
41
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Esempio 2
Fase 1, valuto i piloti va ed i2
R1
+ ê
va
a
R2
â
i2 v2
)
)
va = ( R1 + R 2 ) a + e + R2 a
)
i2 = − ( a + a )
83
Esempio 2
Fase 2, equazione dei piloti
)
)
v a = ( R1 + R 2 ) a + e + R 2 a =
=
i2 =
( R1 + R 2 ) a + α v a + R 2
)
− ( a + a ) = − ( a + β i2 )
β i2 ,
da cui si ottiene:
a 
R2 β 
 R1 + R 2 −
 = − 15 V
1−α 
1+ β 
a
i2 = −
= −5 m A
1+ β
va =
© 2005 Politecnico di Torino
84
42
42
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Esempio 2
Fase 3, calcolo l’uscita
R1
+ ê
va
a
â
R2
i 2 v2
va = − 15 V
85
Generatori pilotati
86
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43
43
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Casi possibili
Sono possibili due casi:
1. i piloti si trovano all’esterno del bipolo che si
vuole rappresentare. In questo caso il generatore
di tensione a vuoto (Thevenin) ed il generatore di
corrente di cortocircuito (Norton) risultano essere
dei generatori pilotati
2. i piloti si trovano all’interno del bipolo che si vuole
rappresentare; e questo è il caso che consideriamo
di seguito in dettaglio
87
Piloti all’interno del bipolo considerato
Piloti all’interno del bipolo di morsetti A-B che si
vuole rappresentare secondo Thevenin o Norton
P
R
i A
v
B
ê
+
e
a
+
â
88
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44
44
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Piloti all’interno del bipolo considerato
È possibile applicare il
principio di
equivalenza e quello di
sovrapposizione degli
effetti, ed ottenere le
equazioni di Thevenin
e Norton del bipolo
i A
P
R
v
ê +
+
B
e
v = v0 + Re i
i = Ge v − i0
a
â
89
Piloti all’interno del bipolo considerato
v = v0 + Re i
i = Ge v − i0
Le due precedenti equazioni corrispondono ai
bipoli equivalenti Thevenin (a sinistra) e Norton
(a destra) in figura
i
A
Re
A
i
+
v
B
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v0
v
B
i0
Ge
90
45
45
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Tensione a vuoto e corrente di corto circuito
P
A
La tensione a vuoto si
calcola ponendo i=0
+
v0
B
La corrente di corto
circuito si calcola
ponendo v=0
+
P
A
i0
B
+
+
91
Tensione a vuoto e corrente di corto circuito
La rete lavora in condizioni diverse per queste
due diverse condizioni di carico e quindi le
grandezze pilota hanno valori diversi nei due casi
P
A
v0
B
+
+
P
A
i0
B
+
+
92
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46
46
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Calcolo della resistenza equivalente
La resistenza equivalente Re (o la conduttanza
equivalente Ge ) si calcola utilizzando le formule:
Re =
v0
i0
Ge =
i0
1
=
v0 Re
Oppure in maniera diretta come segue
93
Calcolo della resistenza equivalente
La resistenza equivalente Re è espressa dal
rapporto tensione v su corrente i , purché sia
nulla la tensione a vuoto v 0 (e la corrente di
cortocircuito i0 )
Per annullare la tensione a vuoto e la corrente di
cortocircuito occorre spegnere tutti i generatori
indipendenti all’interno del bipolo (rendere il
bipolo inerte)
Non bisogna assolutamente mai spegnere i
generatori pilotati
94
© 2005 Politecnico di Torino
47
47
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Calcolo della resistenza equivalente
I generatori pilotati sono infatti attivati da un
generatore (fittizio) di prova, di corrente o di
tensione, collegato in ingresso ai due morsetti
A-B del bipolo
P
A
+
v
B
P
A i
+
+
B
95
Calcolo della resistenza equivalente
Il valore dei parametri dei generatori pilotati può
dar luogo a valori di Re, Ge negativi
Le rappresentazioni Thevenin e Norton testé
discusse si possono estendere per trattare
multipoli e multiporta contenenti generatori
pilotati
96
© 2005 Politecnico di Torino
48
48
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Esempio
Ricavare la rappresentazione Thevenin e Norton
del bipolo di morsetti A-B riportato in figura,
dove il generatore di corrente, pilotato in
)
corrente, ha la relazione costitutiva a = β i
In questo caso conviene ricavare prima
l’equivalente Thevenin o Norton del bipolo a
sinistra dei morsetti A_ e B_ , e poi reintrodurre
in seguito la resistenza Rl
97
Esempio
Tensione a vuoto.
Nella prova a vuoto, la corrente pilota i è anche
la corrente che attraversa il resistore R2 e vale
i=e/(R1+R2)
) ( R − β R3 )
La tensione vale v0 = v A _ B _ = R 2 i − R3 a = 2
e
R1 + R2
â
i
R1
ip
A−
+
e
© 2005 Politecnico di Torino
R2
ip = 0
R3
B−
98
49
49
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Esempio
Corrente di corto circuito.
Nella prova di corto circuito, la corrente pilota
i=
e
R1 +R 2 R 3 (1 + β )
â
si trova sostituendo
+
l’equazione costitutiva
)
a = β i nell’equazione e
(sovrapposizione degli
effetti):
i=
i R1
icc
A−
R2
icc
R3
B−
e
) R2 R3
−a
R1 +R 2 R3
R1 + R2 R3
99
Esempio
Trovato il pilota valido per la prova in corto
circuito, si determina poi la corrente di corto
circuito con una equazione al nodo A_:
icc =
=
e − R1 i
−β i =
R3
R2 − β R3
e
R1 + R2 R3 (1 + β ) R2 + R3
i R1
â
icc
A−
+
e
© 2005 Politecnico di Torino
R2
R3
B−
icc
100
50
50
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Esempio
La resistenza equivalente è data dal rapporto
tensione a vuoto su corrente di corto-circuito
Re = ( R1 R2 + R3 ) + β
R2 R3
R1 + R2
che si calcola però assai più facilmente in
maniera diretta, come segue
101
Esempio
Spegnendo i
generatori
indipendenti (c’è solo
quello di tensione) ed i
alimentando i
R1
morsetti del bipolo
con un generatore di
prova (in questo caso
conviene di corrente)
Re =
βi
ip
ip
R2
i= −
R3
vp
R2
i
R1 + R2 p

R2 
= R1 R2 + R3 1 + β

ip
R1 + R2 

vp
102
© 2005 Politecnico di Torino
51
51
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Esempio
Trovato l’equivalente ai morsetti A_- B_ si
reintroduce la resistenza Rl , e si trova poi
facilmente l’equivalente Thevenin o Norton ai
morsetti A-B
â
A−
i
+
e
R1
R2
R3
B−
A
+
Rl
B v0
Re
A
Rl
B
103
Generatori pilotati
104
© 2005 Politecnico di Torino
52
52
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Motivazioni
I metodi generali visti nell’unità 4 sono formulati
per reti di bipoli
Se la rete in esame contiene multipoli o
multiporta occorre modellare questi multipoli e/o
multiporta con sotto-reti di bipoli
Queste sotto-reti contengono dei generatori
pilotati
105
Esempio: doppio bipolo inerte - matrice R
Modello con generatori pilotati di un doppio
bipolo inerte caratterizzato dalla matrice R
i1 1
v1
1'
2 i2
R
i1 1
R11
v2
2'
1'
© 2005 Politecnico di Torino
2 i2
+
+
ê1
ê2
R22
ê1 = R12i 2
ê2 = R21i1
2'
106
53
53
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Esempio: doppio bipolo inerte - matrice G
Modello con generatori pilotati di un doppio
bipolo inerte caratterizzato dalla matrice G
i1 1
2 i2
v 2 v1
G
v1
2
1
â1
G11
2'
1'
G22
â2
â1 = G12 v 2
â2 = G21v1
1'
v2
2'
107
Esempio: trasformatore ideale
Modello con generatori pilotati di un trasformatore
ideale con rapporto di trasformazione K
i1
i2
v1
K
v2
i2
i1
v1
+
Kv 2
Ki1
v2
v1 = Kv2
i1 = −
© 2005 Politecnico di Torino
1
i
K 2
108
54
54
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Generatori pilotati
109
Modifiche richieste
Conviene illustrare il metodo sull’esempio di figura
3
R3
ê
R4
+
ip
R5
1
R1
â
vp
R0
2
+
R2
e
110
© 2005 Politecnico di Torino
55
55
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Modifiche richieste
Occorre per prima cosa esprimere le grandezze
pilota in funzione delle tensioni nodali
3
R3
ê
R4
+
ip
R5
1
R0
2
vp
R1
â
+
e
R2
111
Modifiche richieste
Supponendo che le grandezze pilota siano la
tensione v p e/o la corrente ip
si ha v p= (v2-v 1); ip = (v2-v 1)/R5
3
R3
ê
R4
+
R1
â
© 2005 Politecnico di Torino
ip
R5
1
vp
R0
2
+
R2
e
112
56
56
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Modifiche richieste
1)
)
v1 v1 − v2 v1 − v3 ) e
+
+
=a−
R1
R5
R3
R3
v − v 1 v 2 v2 − v3
2) 2
+
+
=0
R5
R2
R4
)
v − v 1 v 3− v 2 v 3 e
e
3) 3
+
+
=
+
R3
R4
R0 R 0 R 3
3
R3
ê
R4
+
R5
1
ip
R0
2
R1 v p
â
+
e
R2
A queste equazioni occorre aggiungere le costitutive
dei pilotati, riscritte utilizzando le tensioni nodali
113
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
114
© 2005 Politecnico di Torino
57
57
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Diodi e diodo ideale
Il diodo reale è (in prima approssimazione) un
resistore non ideale con caratteristica
tensione-corrente simile a quella indicata in figura
v
i
0
Il diodo ideale è un resistore non lineare che
idealizza il comportamento del diodo reale
115
Diodo ideale
Il diodo ideale è un resistore non lineare che
idealizza il comportamento del diodo reale
Il suo simbolo circuitale è indicato in figura (a)
La caratteristica tensione-corrente è riportata in
figura (b)
v
i
v
0
(a)
© 2005 Politecnico di Torino
(b)
i
116
58
58
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Diodo ideale
Escluso il punto origine (v=0, i=0) il diodo ha solo
due possibilità di funzionamento
On – diodo conduce: v=0 e corrente i positiva
(semiasse ascisse positive) ⇒ corto circuito
Off – diodo interdetto: i=0 e tensione v negativa
(semiasse ordinate negative) ⇒ circuito aperto
v
i
v
0
(a)
i
117
(b)
Diodo ideale
Data una rete con uno o più diodi si ipotizza la
fase di funzionamento di ciascun diodo di modo
che ciascun diodo può essere sostituito con un
cortocircuito (se in fase on) o con un circuito
aperto (fase off )
(n diodi = 2n possibilità di funzionamento)
Si ottiene così una rete lineare che può essere
studiata con i metodi visti in precedenza
Occorre per prima cosa verificare le ipotesi sullo
stato dei diodi
118
© 2005 Politecnico di Torino
59
59
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Diodo ideale
Per verificare l’ipotesi di diodo off occorre
valutare la tensione v sul diodo, che deve
essere negativa secondo la convenzione di
figura
v
i
v
0
(a)
i
(b)
119
Diodo ideale
Per verificare l’ipotesi di diodo on occorre
valutare la corrente i nel diodo, che deve essere
positiva secondo la convenzione di figura
v
i
v
0
(a)
i
(b)
120
© 2005 Politecnico di Torino
60
60
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Diodo ideale
Nel caso in cui nella rete siano presenti degli
ingressi variabili nel tempo può succedere
che in determinati istanti di tempo un diodo
passi dalla fase on alla fase off, o viceversa
In questi casi si dice che il diodo commuta. Le
commutazioni dei diodi sono sfruttate in
importanti applicazioni
121
Esempio: rete con un diodo ideale
Calcolare la
tensione v A B ai
+
capi del diodo
per la rete di
e (t )
figura, dove i
generatori di
tensione e
corrente hanno
v
le forme d’onda
di figura, ed
100 V
Ri (i=1,6)=10
ohm
R1
R3 A
R2
R5
B
R4
R6
a (t )
0
i
e(t )
a (t )
10 A
5A
0
1 ms
t
0
1 ms
t
122
© 2005 Politecnico di Torino
61
61
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Esempio: rete con un diodo ideale
Equivalente Thevenin ai morsetti A-B del diodo (si
ricorda che l’equivalente Thevenin e/o Norton
esistono solo per bipolo lineare)
R1
R3 A
B
R5
R4
R6
+
Re = ( R1 R2 + R3 ) +R4
( R5 + R6 ) =
R2
e(t )
13
130
Ri =
Ω
6
6
R2
R6
ve ( t ) = e( t )
− R4
a(t ) =
R1 + R2
R6 + R5 + R 4
a (t )
=
=
A
+
e(t) Ri
− a(t )
2
3
Re
ve
123
B
Esempio: rete con un diodo ideale
ve (t )
e(t ) Ri
ve (t ) =
− a(t )
2
3
τ≅
16, 6V
Il diodo commuta al
tempo t=2/3 ms
τ
33 ,3
ms
50
1 ms
t
− 16, 6V
− 33,3V
v
i
e (t )
a (t )
10 A
100 V
5A
0
© 2005 Politecnico di Torino
1 ms
t
0
1 ms
t
124
62
62
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Esempio: rete con un diodo ideale
ve (t )
τ≅
16,6V
τ
A
33,3
ms
50
1 ms
+
Re
ve
t
B
− 16,6V
Il diodo commuta al
tempo t=2/3 ms
− 33 ,3V
id (t )
v AB (t )
τ 1 ms
τ 1 ms
− 16 ,6V
− 33 ,3V
125
Esempio: limitatore di tensione
Trovare la relazione
fra tensione di uscita
v o e tensione di
ingresso vi per il
v i (t )
circuito limitatore
di tensione di figura
Ea ≥ 0, Eb ≥ 0,
Ea + Eb > 0.
D1
D2
R
D1
D2
+
Ea
on
on
+
on
off
Eb
off
on
v 0 (t )
off
off
126
© 2005 Politecnico di Torino
63
63
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Esempio: limitatore di tensione
I diodi non possono essere entrambi on perché
per non violare la KVL occorrerebbe porre
Ea+Eb =0
R
D1
vi
+
Ea
D2
v0
+
Eb
127
Esempio: limitatore di tensione
Se D1 è on,
D2 è certamente off perché
v d2=-(Ea+Eb)<0
In questo caso si ha v 0=Ea, D1 on se v i=Ea
R
D1
vi
+
Ea
vd 2
v0
+ Eb
128
© 2005 Politecnico di Torino
64
64
Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Esempio: limitatore di tensione
Se D2 è on,
D1 è certamente off perché
v d1=-(Ea+Eb)<0
In questo caso si ha v 0=-Eb , D2 on se v i=-Eb
R
vd1
vi
D2
v0
+
Ea
+ Eb
129
Esempio: limitatore di tensione
Per esclusione,
il caso D1 e D2 entrambi off si ottiene
per -Eb =v i=+Ea
In questo caso si ha v0=vi
R
vi
v0 = vi
+
Ea
+ Eb
130
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Elettrotecnica I
Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi
Esempio: limitatore di tensione
R
v i (t )
D1
D2
+
Ea
Eb
+
v0
v 0 (t )
− Eb
Ea
Ea
vi
− Eb
La relazione vo -v i viene graficamente riassunta nel
diagramma riportato, che ben illustra il
comportamento del circuito come limitatore di
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tensione
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