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Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Elettrotecnica I 1 Cosa c’è nell’unità 1/2 Multipoli resistivi Trasformatore ideale Amplificatore operazionale ideale e prime applicazioni Calcolo di reti con amplificatori operazionali ideali Rappresentazioni Thevenin, Norton ed ibride Reciprocità 2 © 2005 Politecnico di Torino 1 1 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Cosa c’è nell’unità 2/2 Generatori pilotati Calcolo di reti resistive contenenti generatori pilotati Thevenin e Norton di bipoli con pilotati Generatori pilotati per modellare multiporta Generatori pilotati e metodo dei nodi Diodi 3 Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi 4 © 2005 Politecnico di Torino 2 2 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Multipoli resistivi I principali multipoli resistivi ideali sono: il trasformatore ideale l’amplificatore operazionale ideale il giratore i convertitori di impedenza negativa ad inversione di tensione ad inversione di corrente 5 Multipoli resistivi Questa unità considera solo il trasformatore ideale l’amplificatore operazionale ideale 6 © 2005 Politecnico di Torino 3 3 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Multipoli resistivi 7 Definizioni e proprietà È un circuito a due porte, o doppio bipolo, il cui simbolo circuitale è riportato in figura insieme alle convenzioni di misura standard, solitamente adottate per misurare correnti e tensioni di porta i1 v1 i2 K v2 8 © 2005 Politecnico di Torino 4 4 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Definizioni e proprietà Il parametro K, adimensionato, prende il nome di rapporto di trasformazione i1 v1 i2 K v2 9 Definizioni e proprietà Il trasformatore ideale è un doppio bipolo : intrinseco lineare privo di memoria inerte passivo e privo di perdite i1 v1 i2 K v2 10 © 2005 Politecnico di Torino 5 5 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Definizioni e proprietà i1 i2 v1 v2 K Secondo la convenzione di misura standard, le due relazioni costitutive del trasformatore ideale sono: v1 = K v2 i1 = − 1 i2 K 11 Definizioni e proprietà In forma matriciale le relazioni costitutive (vedi unità 2) si scrivono i1 i2 v1 = K v2 1 i2 K + + 0A C Biv i1 = − v1 = 1 − K v1 0 ⇒ + 0 0 v2 1 K v2 0 i1 0 = 1/ K i2 0 dove il vettore C è nullo 12 © 2005 Politecnico di Torino 6 6 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Definizioni e proprietà I multipoli e multiporta sono definiti inerti se si ha C=0 Il trasformatore ideale è quindi un doppio bipolo intrinseco lineare privo di memoria inerte 13 Definizioni e proprietà La potenza entrante nel trasformatore ideale risulta nulla: i1 i2 v1 = K v2 i1 = − 1 i2 K v1 K v2 iv p(t) = t implica: = v1 i1 +v2 i2 = 0 14 © 2005 Politecnico di Torino 7 7 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Definizioni e proprietà Quindi il trasformatore ideale è un dispositivo passivo, che non dissipa né accumula potenza i1 i2 v1 v2 K In ogni istante la potenza che entra in una porta uguaglia quella che esce dall’altra porta 15 Definizioni e proprietà La realizzazione tecnologica del trasformatore (ideale) è difficoltosa e viene considerata in altri corsi i2 i1 v1 = K v2 1 i1 = − i2 K v1 K v2 16 © 2005 Politecnico di Torino 8 8 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Definizioni e proprietà La sua principale applicazione è quella di trasferire la potenza elettrica da una porta all’altra, con livelli di tensione e corrente alterati a seconda del valore del rapporto di trasformazione K i2 i1 v1 = K v2 i1 = − v1 1 i2 K v2 K 17 Definizioni e proprietà Convenzione di segno non standard per il trasformatore ideale v1 = − K v2 1 i1 = K i2 i2 i1 v1 K v2 v1 = K (− v2 ) ottenuto da 1 i1 = − K (− i2 ) 18 © 2005 Politecnico di Torino 9 9 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Definizioni e proprietà K 2 Rc Rc K Ri Ri K2 K Il trasformatore ideale altera di un fattore K2 il valore delle resistenze viste (misurate) su ciascuna porta v1 = K v2 v1 v = −K 2 2 1 ⇒ i = − i i i2 1 1 2 K Notare come il “segno ” di K sia ininfluente 19 Definizioni e proprietà Il trasformatore ideale altera di un fattore K 2 il valore delle resistenze i viste (misurate) su ciascuna porta v1 / i = Re i = i1 = − v2 = − Rc i2 i2 v1 v2 v1 = Kv2 v1 = K ( − Rci2 ) = K 2 Rc i1 Re © 2005 Politecnico di Torino Rc } 1 i2 K i1 20 10 10 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Definizioni e proprietà Equivalenti Thevenin e Norton dei bipoli visti ai morsetti di una data porta del trasformatore ideale vengono determinati in modo del tutto analogo 1 2 R 1 + + e v0 = ke 2' 1' Re = k 2 R 1' 21 Definizioni e proprietà Se si collega un solo bipolo tra un morsetto della prima porta del trasformatore ideale ad un morsetto della seconda porta del trasformatore ideale tale bipolo è attraversato da corrente nulla, in quanto il trasformatore ideale è un doppio bipolo intrinseco R ir = 0 A Re = K 2 Rc K B © 2005 Politecnico di Torino Rc 22 11 11 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Definizioni e proprietà Questo bipolo può quindi essere sostituito sia da un generatore di corrente spento come da un generatore di tensione spento ir = 0 R A Re = K 2 Rc Rc K B 23 Definizioni e proprietà Occorre sempre ricordare che il trasformatore ideale è un doppio bipolo intrinseco i − i1 R1 A i i1 i − i1 1 Re i B v1 2 K v2 1' R 2' i1 i1 − i R2 © 2005 Politecnico di Torino i − i1 − i 2 i2 i2 − i2 − i1 + i 24 12 12 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Definizioni e proprietà Nel caso di figura i resistori R1 ed R2 sono attraversati dalla stessa corrente (a parte il segno), e la resistenza equivalente ai morsetti 1-1’ vale: K2 R Re = R 2 1+ (1 − K ) R1 + R2 A i Re B i i − i1 R1 i − i1 i1 i2 i − i1 − i2 1 2 v1 K v2 R 1' 2' i1 i2 − i 2 − i1 + i i1 − i 25 Trasformatore ideale 26 © 2005 Politecnico di Torino 13 13 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Esempio a) Rappresentare con Norton il bipolo a sinistra dei terminali M-N indicati b) Utilizzando la rappresentazione trovata, calcolare (per la rete di figura) la corrente i e la potenza entrante nel generatore di tensione da 180 volt c) Calcolare infine la tensione indicata vg, sul generatore di corrente da 3 ampere M vg 3 A 30Ω 60Ω K =3 i 30Ω 30Ω + 180V N 27 Esempio a) Rappresentare con Norton il bipolo a sinistra dei terminali M-N indicati M vg 3A 30Ω 60 Ω 60 + 30 = 10 Ω. K2 60 =− 3 = −2A; 60 + 30 K =3 i 30Ω 30Ω + 180V N Rmn = i1cc © 2005 Politecnico di Torino i2cc = −Ki1cc = +6A 28 14 14 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Esempio b) Utilizzando la rappresentazione trovata, calcolare (per la rete di figura) la corrente i e la potenza entrante nel generatore di tensione da 180 volt i2 cc M 30Ω Rmn 10 Ω 6A 180 V i 30 Ω + N vmn 180 −6 180 30 = = 0V; i = = 6A; 1 1 1 30 + + 10 30 30 p = −5 ,4 KW 29 Esempio c) Calcolare infine la tensione indicata vg, sul generatore di corrente da 3 ampere M vg 30Ω 3A 60 Ω K =3 30Ω 3A vg 60 Ω v g = −60V © 2005 Politecnico di Torino i 30Ω 30Ω + 180V N v1 = Kv2 = 0 30 15 15 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Multipoli resistivi 31 Amplificatore operazionale ideale È un quadrupolo (3 equazioni costitutive) definito come idealizzazione di un amplificatore operazionale reale L’amplificatore operazionale ideale ha il simbolo circuitale indicato in figura i+ + v d i− i0 0 − v0 v− v+ g 32 © 2005 Politecnico di Torino 16 16 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Amplificatore operazionale ideale Le equazioni costitutive sono: i+ i+ = 0 i− = 0 + v d i− v+ − v− = vd = 0 i0 0 − v0 v− v+ g 33 Amplificatore operazionale ideale La potenza entrante nell’amplificatore operazionale ideale risulta espressa da: pe = v+ i+ + v−i − − v0i0 = −v0i0 i+ + v d i− v+ i0 0 − v0 v− g Poiché pe solitamente è negativa questo multipolo si comporta come un elemento attivo nella rete in cui viene inserito 34 © 2005 Politecnico di Torino 17 17 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Amplificatore di tensione invertente Rf i 1 R i vd vi ii − + iu vu g 1' 2 2' Le relazioni costitutive del doppio bipolo con porte 1-1’ e 2-2’ sono: vu = − Rf R vi ; v i = R i i 35 Circuito sommatore Rf R1 R2 v1 − v2 i0 + Rn v0 vn g Qualunque sia la corrente io , la tensione vo vale: vo = − Rf R1 v1 − Rf R2 v2 − LL − Rf Rn vn 36 © 2005 Politecnico di Torino 18 18 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Amplificatore di tensione non invertente Rf i v i= i R vd R vi − i0 + + v0 Qualunque sia la corrente io , la tensione vo vale: vo = R f R vi + vi = vi 1 + f R R 37 Multipoli resistivi 38 © 2005 Politecnico di Torino 19 19 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Reti con amplificatori operazionali ideali Esempio 1 Per l’analisi di circuiti più complicati contenenti amplificatori operazionali ideali, a volte conviene utilizzare un procedimento inverso per l’analisi 39 Reti con amplificatori operazionali ideali Esempio 1 Per l’analisi di circuiti più complicati contenenti amplificatori operazionali ideali, a volte conviene utilizzare un procedimento inverso per l’analisi R3 R1 R vi R2 − + v0 40 © 2005 Politecnico di Torino 20 20 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Reti con amplificatori operazionali ideali R1 R + R2 − R3 + vi R1 + R2 // R3 R + v0 + vi vd − + + v0 vi R3 + v0 R R2 R3 + R1 ( R2 + R3 ) vd = 0 = − 1 1 + R R1 + R2 // R3 R + R2 R1R2 v0 = − 1 + vi RR3 R Millman: Porge R3 R2 + R3 41 Reti con amplificatori operazionali ideali R3 Rf R A vi − + + − vx B Esempio 2 v0 R1 R2 B 42 © 2005 Politecnico di Torino 21 21 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Reti con amplificatori operazionali ideali R3 Rf R A vi − + + − vx B Esempio 2 v0 R1 R2 B vd 2 = 0 A R + R1 vx = v0 R1 + R2 R3 vd 1 + R2 v0 vi Rf vd 2 R1 + vx B 43 Reti con amplificatori operazionali ideali A R + vd 1 Rf R3 + R2 v0 vi vd 2 R1 + vx vAB = 0 ⇒ vi vo vo R1 + + =0 R R3 R f (R 1 + R2 ) B vd 2 = 0 ⇒ vx = R1 v0 R1 + R2 vo = −vi A R R3 + + vi v0 B © 2005 Politecnico di Torino da cui si ottiene Rf + R1 v R1 R2 0 R3 1 R R1R3 1 + ( R1 +R 2 ) R f 44 22 22 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Reti con amplificatori operazionali ideali R3 Rf R A vi − + B + − vx R1 v0 R2 B vo = −vi R3 1 R R1 R3 1 + ( R1 +R 2 ) R f 45 Thevenin e Norton di bipoli con operazionali Per calcolare equivalenti Thevenin o Norton ai due morsetti di “uscita” di un circuito con operazionale ideale Ricordare che la resistenza equivalente (di uscita) si misura supponendo spenti tutti i generatori ideali di tensione e di corrente, ed inserendo un opportuno generatore di prova 46 © 2005 Politecnico di Torino 23 23 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Thevenin e Norton di bipoli con operazionali R3 R 2 R1 Esempio 1 R − + vi = 0 ip vp ip ip v p = 0 ∀i p Ru = 0 47 Thevenin e Norton di bipoli con operazionali Esempio 2 R3 Rf R A vi = 0 − + + − vx B R1 R2 ip vp + ip B v p = 0 ∀i p Ru = 0 © 2005 Politecnico di Torino 48 24 24 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Multipoli resistivi 49 Rappresentazione Thevenin Abbiamo visto che per i multiporta ed i multipoli, se lineari e privi di memoria, vale la seguente forma vettoriale della relazione costitutiva: A v + B i + C=0 Se la matrice A è invertibile questa relazione porge: R è la matrice di resistenza, v0 è la tensione a vuoto del multiporta (o del multipolo) © 2005 Politecnico di Torino 50 25 25 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Rappresentazione Thevenin vRiv = + o Un multiporta (o multipolo) è rappresentabile Thevenin se la sua relazione costitutiva si può porre nella forma: I multiporta rappresentabili Thevenin hanno l’equivalente Thevenin di figura a destra n n' 2 2' 1 1' v n + 0n R + e n' a 2 + v02 2' v 1 + 01 R 1' 51 Rappresentazione Norton I multiporta ed i multipoli lineari e privi di memoria hanno la seguente forma vettoriale della relazione costitutiva: A v + B i + C=0 Se la matrice B è invertibile questa relazione porge: G è la matrice di conduttanza, i 0 è la corrente di cortocircuito del multiporta (o del multipolo) 52 © 2005 Politecnico di Torino 26 26 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Rappresentazione Norton o Gv i i Un multiporta (o multipolo) è rappresentabile Norton se la sua relazione costitutiva si può porre nella forma: = + I multiporta rappresentabili Norton hanno l’equivalente Norton di figura a destra n n R n' n' 2 2 2' 1 1' i0 n e 2' + a i0 2 G 1 1' i01 53 Legami tra Thevenin e Norton Mentre i bipoli lineari ammettono sicuramente una delle due rappresentazioni (Thevenin o Norton), questo non è sempre vero per i multiporta od i multipoli Ad esempio il trasformatore ideale non è rappresentabile né secondo Thevenin né secondo Norton 54 © 2005 Politecnico di Torino 27 27 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Legami tra Thevenin e Norton -1 = =− 55 o 0 Ri v GR Quando un multiporta (multipolo) ammette sia la rappresentazione Thevenin che quella Norton, valgono le seguenti relazioni tra la matrice delle resistenze e la matrice delle conduttanze, e tra il vettore tensione a vuoto ed il vettore corrente di corto circuito: Rappresentazioni ibride Con l’aumentare del numero di terminali di un dato dispositivo cresce il numero di possibili rappresentazioni In molti casi risulta conveniente utilizzare le cosiddette rappresentazioni ibride, che verranno considerate nel modulo di Elettrotecnica II 56 © 2005 Politecnico di Torino 28 28 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Multipoli resistivi 57 Definizione t = ab t ba iv iv Consideriamo un multiporta (o un multipolo) generico e supponiamo che le due coppie (va, i a) e (vb, i b) siano compatibili con il multiporta (multipolo). Il multiporta (multipolo) si dice reciproco se vale la proprietà (uguaglianza di due scalari): 58 © 2005 Politecnico di Torino 29 29 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Teorema di reciprocità Il teorema di reciprocità assicura che un multiporta (multipolo) ottenuto da nodi accessibili di una rete costituita da elementi tutti reciproci è reciproco Il viceversa non è garantito, cioè se un multiporta (multipolo) risulta essere reciproco non è detto che lo siano i suoi elementi 59 Teorema di reciprocità È facile dimostrare che il resistore ideale, l’induttore ideale, il condensatore ideale, il trasformatore ideale sono elementi reciproci Dal teorema di reciprocità segue che un multipolo (o multiporta) costitutito da resistori e trasformatori è reciproco 60 © 2005 Politecnico di Torino 30 30 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Teorema di reciprocità = t RR È facile dimostrare che per i multiporta (od i multipoli) reciproci inerti rappresentabili Thevenin la matrice delle resistenze è simmetrica 61 Teorema di reciprocità = t G G È facile dimostrare che per i multiporta (od i multipoli) reciproci inerti rappresentabili Norton la matrice delle conduttanze è simmetrica 62 © 2005 Politecnico di Torino 31 31 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Doppi bipoli reciproci, circuiti a T e ? Poiché per i doppi bipoli reciproci inerti rappresentabili Thevenin e/o Norton risulta: R12 = R21 G12 = G21 Questi doppi bipoli sono equivalenti ad un doppio bipolo a T quando rappresentabili mediante matrici di resistenza ad un doppio bipolo a ? (pi greca) quando rappresentabili mediante matrici di conduttanza 63 Doppi bipoli reciproci, circuiti a T e ? 2 1 1 R1 R = Rt 1' R2 2 R3 2' R R R = 11 12 R12 R22 1' 2' R3 = R12 R1 = R11 − R12 R2 = R22 − R12 Equivalenza di un doppio bipolo reciproco inerte con un circuito a T 64 © 2005 Politecnico di Torino 32 32 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Doppi bipoli reciproci, circuiti a T e ? 1 2 1 G = Gt 1' 2' G11 G12 G= G12 G22 1' G3 G1 2 G2 2' G3 = −G12 G1 = G11 + G12 G2 = G22 + G12 Equivalenza di un doppio bipolo reciproco inerte con un circuito a ? 65 Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi 66 © 2005 Politecnico di Torino 33 33 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Definizioni Molti dispositivi sono modellati mediante relazioni costitutive in cui le tensioni o le correnti dei loro terminali dipendono dalle tensioni e/o correnti presenti in altri elementi della rete in cui questi dispositivi sono inseriti Questi dispositivi si dicono pilotati 67 Definizioni Nel seguito considereremo i quattro modelli più semplici di: generatore generatore generatore generatore di di di di tensione pilotato da tensione tensione pilotato da corrente corrente pilotato da tensione corrente pilotato da corrente 68 © 2005 Politecnico di Torino 34 34 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Generatore di tensione pilotato Ai suoi morsetti si stabilisce una tensione ê (tensione del generatore) che dipende da una tensione tra una coppia di nodi, o da una corrente in un altro elemento della rete in cui l’elemento pilotato stesso è inserito pilotato da tensione pilotato da corrente ) e =α v ) e = Rm i + ê 69 Generatore di corrente pilotato Ai suoi morsetti si stabilisce una corrente â (corrente del generatore) che dipende da una tensione tra una coppia di nodi, o da una corrente in un altro elemento della rete in cui l’elemento pilotato stesso è inserito ) pilotato da tensione a = Gm v pilotato da corrente a) = β i â 70 © 2005 Politecnico di Torino 35 35 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Generatori pilotati: realizzazioni pratiche Molti dispositivi realizzati praticamente sono modellati da questi generatori Ad esempio, in prima approssimazione: un triodo è modellato da un generatore di tensione pilotato da tensione una dinamo da un generatore di tensione pilotato da corrente un transistore da un generatore di corrente pilotato da corrente un transistore ad effetto di campo (FET) da un generatore di corrente pilotato da tensione 71 Generatori pilotati: osservazioni Se in una rete compaiono generatori pilotati occorre specificare a parte quali sono le loro relazioni costitutive, ed indicare esplicitamente nella rete quali sono le grandezze pilotanti (o pilota) I generatori pilotati sono elementi attivi e non reciproci Pertanto, introducendo questi elementi in una rete passiva e reciproca, di solito si ottiene una rete attiva e non reciproca 72 © 2005 Politecnico di Torino 36 36 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Generatori pilotati 73 Reti resistive contenenti generatori pilotati Il procedimento di calcolo più semplice avviene in tre fasi: 1. supponendo noti i valori dei generatori pilotati, calcola dapprima le grandezze pilotanti (o pilota) della rete 2. nelle relazioni ottenute al punto 1, sostituisci alle grandezze pilotate le relazioni costitutive che esprimono tali grandezze in funzione dei piloti. Ottieni così delle relazioni che hanno come incognite solo i piloti (equazioni dei piloti) e che risolte determinano i valori dei generatori pilotati 3. noti i generatori indipendenti ed i pilotati, passa infine a calcolare le uscite richieste © 2005 Politecnico di Torino 74 37 37 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Esempio 1 Calcolare la tensione v2 per la rete di figura. Dati: R1=R2=R 3=R4=Rm=1K ohm; a=10 mA, e=5V ê + R3 R4 R1 a e R2 v2 ip + ) e = Rm i p 75 Esempio 1 Fase 1, valuto ip supponendo noto il generatore pilotato Sovrapposizione effetti dati: R1=R 2=R3=R4=Rm=1K ohm; a=10 mA, e=5V; ) e = Rm i p R3 a + R4 R1 e R2 ip © 2005 Politecnico di Torino ê v2 + 76 38 38 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Esempio 1 Fase 1, valuto ip supponendo noto il generatore pilotato Sovrapposizione effetti R3 R1 a R2 R4 i 'p i 'p = − R3 + R2 R4 3 a = − a = −6mA R1 + R3 + R2 R4 5 77 Esempio 1 Fase 1, valuto ip supponendo noto il generatore pilotato Sovrapposizione effetti R3 R4 e R1 i 'p' i"p = − © 2005 Politecnico di Torino R2 ( R1 + R3 ) R4 + R2 ( R1 + R3 ) R2 + e e = − = −1mA R1 + R3 5 78 39 39 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Esempio 1 Fase 1, valuto ip supponendo noto il generatore pilotato Sovrapposizione effetti R3 ê R1 i + R4 R2 '' p ) e 2) i =− =− e R1 + R3 + R2 R4 5 ''' p 79 Esempio 1 Fase 2, Equazione del pilota i p = ( i 'p + i " p ) + i "' p = − 7 − 2) 2 2 e = − 7 − Rm i p = − 7 − i p 5 5 5 da cui si ottiene 2 i p 1 + = −7; i p = − 5mA 5 80 © 2005 Politecnico di Torino 40 40 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Esempio 1 Fase 3, Calcolo l’uscita v2 (equazione KVL): ê + R3 R4 e R1 a R2 v2 + ip ) v2 = R1i p + R3 ( i p + a ) + e = −5 + 5 + Rmi p = −5 V 81 Esempio 2 Calcolare la tensione va per la rete di figura. Dati: R1=R2=1K ohm; a=10 mA, a=2, ß=1 R1 + ê va a â ) e = α va ; © 2005 Politecnico di Torino R2 ) a = β i2 i 2 v2 82 41 41 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Esempio 2 Fase 1, valuto i piloti va ed i2 R1 + ê va a R2 â i2 v2 ) ) va = ( R1 + R 2 ) a + e + R2 a ) i2 = − ( a + a ) 83 Esempio 2 Fase 2, equazione dei piloti ) ) v a = ( R1 + R 2 ) a + e + R 2 a = = i2 = ( R1 + R 2 ) a + α v a + R 2 ) − ( a + a ) = − ( a + β i2 ) β i2 , da cui si ottiene: a R2 β R1 + R 2 − = − 15 V 1−α 1+ β a i2 = − = −5 m A 1+ β va = © 2005 Politecnico di Torino 84 42 42 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Esempio 2 Fase 3, calcolo l’uscita R1 + ê va a â R2 i 2 v2 va = − 15 V 85 Generatori pilotati 86 © 2005 Politecnico di Torino 43 43 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Casi possibili Sono possibili due casi: 1. i piloti si trovano all’esterno del bipolo che si vuole rappresentare. In questo caso il generatore di tensione a vuoto (Thevenin) ed il generatore di corrente di cortocircuito (Norton) risultano essere dei generatori pilotati 2. i piloti si trovano all’interno del bipolo che si vuole rappresentare; e questo è il caso che consideriamo di seguito in dettaglio 87 Piloti all’interno del bipolo considerato Piloti all’interno del bipolo di morsetti A-B che si vuole rappresentare secondo Thevenin o Norton P R i A v B ê + e a + â 88 © 2005 Politecnico di Torino 44 44 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Piloti all’interno del bipolo considerato È possibile applicare il principio di equivalenza e quello di sovrapposizione degli effetti, ed ottenere le equazioni di Thevenin e Norton del bipolo i A P R v ê + + B e v = v0 + Re i i = Ge v − i0 a â 89 Piloti all’interno del bipolo considerato v = v0 + Re i i = Ge v − i0 Le due precedenti equazioni corrispondono ai bipoli equivalenti Thevenin (a sinistra) e Norton (a destra) in figura i A Re A i + v B © 2005 Politecnico di Torino v0 v B i0 Ge 90 45 45 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Tensione a vuoto e corrente di corto circuito P A La tensione a vuoto si calcola ponendo i=0 + v0 B La corrente di corto circuito si calcola ponendo v=0 + P A i0 B + + 91 Tensione a vuoto e corrente di corto circuito La rete lavora in condizioni diverse per queste due diverse condizioni di carico e quindi le grandezze pilota hanno valori diversi nei due casi P A v0 B + + P A i0 B + + 92 © 2005 Politecnico di Torino 46 46 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Calcolo della resistenza equivalente La resistenza equivalente Re (o la conduttanza equivalente Ge ) si calcola utilizzando le formule: Re = v0 i0 Ge = i0 1 = v0 Re Oppure in maniera diretta come segue 93 Calcolo della resistenza equivalente La resistenza equivalente Re è espressa dal rapporto tensione v su corrente i , purché sia nulla la tensione a vuoto v 0 (e la corrente di cortocircuito i0 ) Per annullare la tensione a vuoto e la corrente di cortocircuito occorre spegnere tutti i generatori indipendenti all’interno del bipolo (rendere il bipolo inerte) Non bisogna assolutamente mai spegnere i generatori pilotati 94 © 2005 Politecnico di Torino 47 47 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Calcolo della resistenza equivalente I generatori pilotati sono infatti attivati da un generatore (fittizio) di prova, di corrente o di tensione, collegato in ingresso ai due morsetti A-B del bipolo P A + v B P A i + + B 95 Calcolo della resistenza equivalente Il valore dei parametri dei generatori pilotati può dar luogo a valori di Re, Ge negativi Le rappresentazioni Thevenin e Norton testé discusse si possono estendere per trattare multipoli e multiporta contenenti generatori pilotati 96 © 2005 Politecnico di Torino 48 48 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Esempio Ricavare la rappresentazione Thevenin e Norton del bipolo di morsetti A-B riportato in figura, dove il generatore di corrente, pilotato in ) corrente, ha la relazione costitutiva a = β i In questo caso conviene ricavare prima l’equivalente Thevenin o Norton del bipolo a sinistra dei morsetti A_ e B_ , e poi reintrodurre in seguito la resistenza Rl 97 Esempio Tensione a vuoto. Nella prova a vuoto, la corrente pilota i è anche la corrente che attraversa il resistore R2 e vale i=e/(R1+R2) ) ( R − β R3 ) La tensione vale v0 = v A _ B _ = R 2 i − R3 a = 2 e R1 + R2 â i R1 ip A− + e © 2005 Politecnico di Torino R2 ip = 0 R3 B− 98 49 49 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Esempio Corrente di corto circuito. Nella prova di corto circuito, la corrente pilota i= e R1 +R 2 R 3 (1 + β ) â si trova sostituendo + l’equazione costitutiva ) a = β i nell’equazione e (sovrapposizione degli effetti): i= i R1 icc A− R2 icc R3 B− e ) R2 R3 −a R1 +R 2 R3 R1 + R2 R3 99 Esempio Trovato il pilota valido per la prova in corto circuito, si determina poi la corrente di corto circuito con una equazione al nodo A_: icc = = e − R1 i −β i = R3 R2 − β R3 e R1 + R2 R3 (1 + β ) R2 + R3 i R1 â icc A− + e © 2005 Politecnico di Torino R2 R3 B− icc 100 50 50 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Esempio La resistenza equivalente è data dal rapporto tensione a vuoto su corrente di corto-circuito Re = ( R1 R2 + R3 ) + β R2 R3 R1 + R2 che si calcola però assai più facilmente in maniera diretta, come segue 101 Esempio Spegnendo i generatori indipendenti (c’è solo quello di tensione) ed i alimentando i R1 morsetti del bipolo con un generatore di prova (in questo caso conviene di corrente) Re = βi ip ip R2 i= − R3 vp R2 i R1 + R2 p R2 = R1 R2 + R3 1 + β ip R1 + R2 vp 102 © 2005 Politecnico di Torino 51 51 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Esempio Trovato l’equivalente ai morsetti A_- B_ si reintroduce la resistenza Rl , e si trova poi facilmente l’equivalente Thevenin o Norton ai morsetti A-B â A− i + e R1 R2 R3 B− A + Rl B v0 Re A Rl B 103 Generatori pilotati 104 © 2005 Politecnico di Torino 52 52 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Motivazioni I metodi generali visti nell’unità 4 sono formulati per reti di bipoli Se la rete in esame contiene multipoli o multiporta occorre modellare questi multipoli e/o multiporta con sotto-reti di bipoli Queste sotto-reti contengono dei generatori pilotati 105 Esempio: doppio bipolo inerte - matrice R Modello con generatori pilotati di un doppio bipolo inerte caratterizzato dalla matrice R i1 1 v1 1' 2 i2 R i1 1 R11 v2 2' 1' © 2005 Politecnico di Torino 2 i2 + + ê1 ê2 R22 ê1 = R12i 2 ê2 = R21i1 2' 106 53 53 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Esempio: doppio bipolo inerte - matrice G Modello con generatori pilotati di un doppio bipolo inerte caratterizzato dalla matrice G i1 1 2 i2 v 2 v1 G v1 2 1 â1 G11 2' 1' G22 â2 â1 = G12 v 2 â2 = G21v1 1' v2 2' 107 Esempio: trasformatore ideale Modello con generatori pilotati di un trasformatore ideale con rapporto di trasformazione K i1 i2 v1 K v2 i2 i1 v1 + Kv 2 Ki1 v2 v1 = Kv2 i1 = − © 2005 Politecnico di Torino 1 i K 2 108 54 54 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Generatori pilotati 109 Modifiche richieste Conviene illustrare il metodo sull’esempio di figura 3 R3 ê R4 + ip R5 1 R1 â vp R0 2 + R2 e 110 © 2005 Politecnico di Torino 55 55 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Modifiche richieste Occorre per prima cosa esprimere le grandezze pilota in funzione delle tensioni nodali 3 R3 ê R4 + ip R5 1 R0 2 vp R1 â + e R2 111 Modifiche richieste Supponendo che le grandezze pilota siano la tensione v p e/o la corrente ip si ha v p= (v2-v 1); ip = (v2-v 1)/R5 3 R3 ê R4 + R1 â © 2005 Politecnico di Torino ip R5 1 vp R0 2 + R2 e 112 56 56 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Modifiche richieste 1) ) v1 v1 − v2 v1 − v3 ) e + + =a− R1 R5 R3 R3 v − v 1 v 2 v2 − v3 2) 2 + + =0 R5 R2 R4 ) v − v 1 v 3− v 2 v 3 e e 3) 3 + + = + R3 R4 R0 R 0 R 3 3 R3 ê R4 + R5 1 ip R0 2 R1 v p â + e R2 A queste equazioni occorre aggiungere le costitutive dei pilotati, riscritte utilizzando le tensioni nodali 113 Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi 114 © 2005 Politecnico di Torino 57 57 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Diodi e diodo ideale Il diodo reale è (in prima approssimazione) un resistore non ideale con caratteristica tensione-corrente simile a quella indicata in figura v i 0 Il diodo ideale è un resistore non lineare che idealizza il comportamento del diodo reale 115 Diodo ideale Il diodo ideale è un resistore non lineare che idealizza il comportamento del diodo reale Il suo simbolo circuitale è indicato in figura (a) La caratteristica tensione-corrente è riportata in figura (b) v i v 0 (a) © 2005 Politecnico di Torino (b) i 116 58 58 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Diodo ideale Escluso il punto origine (v=0, i=0) il diodo ha solo due possibilità di funzionamento On – diodo conduce: v=0 e corrente i positiva (semiasse ascisse positive) ⇒ corto circuito Off – diodo interdetto: i=0 e tensione v negativa (semiasse ordinate negative) ⇒ circuito aperto v i v 0 (a) i 117 (b) Diodo ideale Data una rete con uno o più diodi si ipotizza la fase di funzionamento di ciascun diodo di modo che ciascun diodo può essere sostituito con un cortocircuito (se in fase on) o con un circuito aperto (fase off ) (n diodi = 2n possibilità di funzionamento) Si ottiene così una rete lineare che può essere studiata con i metodi visti in precedenza Occorre per prima cosa verificare le ipotesi sullo stato dei diodi 118 © 2005 Politecnico di Torino 59 59 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Diodo ideale Per verificare l’ipotesi di diodo off occorre valutare la tensione v sul diodo, che deve essere negativa secondo la convenzione di figura v i v 0 (a) i (b) 119 Diodo ideale Per verificare l’ipotesi di diodo on occorre valutare la corrente i nel diodo, che deve essere positiva secondo la convenzione di figura v i v 0 (a) i (b) 120 © 2005 Politecnico di Torino 60 60 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Diodo ideale Nel caso in cui nella rete siano presenti degli ingressi variabili nel tempo può succedere che in determinati istanti di tempo un diodo passi dalla fase on alla fase off, o viceversa In questi casi si dice che il diodo commuta. Le commutazioni dei diodi sono sfruttate in importanti applicazioni 121 Esempio: rete con un diodo ideale Calcolare la tensione v A B ai + capi del diodo per la rete di e (t ) figura, dove i generatori di tensione e corrente hanno v le forme d’onda di figura, ed 100 V Ri (i=1,6)=10 ohm R1 R3 A R2 R5 B R4 R6 a (t ) 0 i e(t ) a (t ) 10 A 5A 0 1 ms t 0 1 ms t 122 © 2005 Politecnico di Torino 61 61 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Esempio: rete con un diodo ideale Equivalente Thevenin ai morsetti A-B del diodo (si ricorda che l’equivalente Thevenin e/o Norton esistono solo per bipolo lineare) R1 R3 A B R5 R4 R6 + Re = ( R1 R2 + R3 ) +R4 ( R5 + R6 ) = R2 e(t ) 13 130 Ri = Ω 6 6 R2 R6 ve ( t ) = e( t ) − R4 a(t ) = R1 + R2 R6 + R5 + R 4 a (t ) = = A + e(t) Ri − a(t ) 2 3 Re ve 123 B Esempio: rete con un diodo ideale ve (t ) e(t ) Ri ve (t ) = − a(t ) 2 3 τ≅ 16, 6V Il diodo commuta al tempo t=2/3 ms τ 33 ,3 ms 50 1 ms t − 16, 6V − 33,3V v i e (t ) a (t ) 10 A 100 V 5A 0 © 2005 Politecnico di Torino 1 ms t 0 1 ms t 124 62 62 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Esempio: rete con un diodo ideale ve (t ) τ≅ 16,6V τ A 33,3 ms 50 1 ms + Re ve t B − 16,6V Il diodo commuta al tempo t=2/3 ms − 33 ,3V id (t ) v AB (t ) τ 1 ms τ 1 ms − 16 ,6V − 33 ,3V 125 Esempio: limitatore di tensione Trovare la relazione fra tensione di uscita v o e tensione di ingresso vi per il v i (t ) circuito limitatore di tensione di figura Ea ≥ 0, Eb ≥ 0, Ea + Eb > 0. D1 D2 R D1 D2 + Ea on on + on off Eb off on v 0 (t ) off off 126 © 2005 Politecnico di Torino 63 63 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Esempio: limitatore di tensione I diodi non possono essere entrambi on perché per non violare la KVL occorrerebbe porre Ea+Eb =0 R D1 vi + Ea D2 v0 + Eb 127 Esempio: limitatore di tensione Se D1 è on, D2 è certamente off perché v d2=-(Ea+Eb)<0 In questo caso si ha v 0=Ea, D1 on se v i=Ea R D1 vi + Ea vd 2 v0 + Eb 128 © 2005 Politecnico di Torino 64 64 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Esempio: limitatore di tensione Se D2 è on, D1 è certamente off perché v d1=-(Ea+Eb)<0 In questo caso si ha v 0=-Eb , D2 on se v i=-Eb R vd1 vi D2 v0 + Ea + Eb 129 Esempio: limitatore di tensione Per esclusione, il caso D1 e D2 entrambi off si ottiene per -Eb =v i=+Ea In questo caso si ha v0=vi R vi v0 = vi + Ea + Eb 130 © 2005 Politecnico di Torino 65 65 Elettrotecnica I Multipoli resistivi, generatori pilotati, diodi Esempio: limitatore di tensione R v i (t ) D1 D2 + Ea Eb + v0 v 0 (t ) − Eb Ea Ea vi − Eb La relazione vo -v i viene graficamente riassunta nel diagramma riportato, che ben illustra il comportamento del circuito come limitatore di 131 tensione © 2005 Politecnico di Torino 66 66
