Appendice 5

Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
A7.1
Appendice 7
In generale la soluzione di un problema di Lapace in forma chiusa non è cosa molto semplice.
La difficoltà principale è nel fatto che non esiste una teoria che fornisca l'integrale generale dell'equazione alle derivate parziali che alla base del problema, così come accade per le equazioni
differenziali ordinarie che abbiamo fin qui affrontato. Se fosse noto l' integrale generale si
potrebbero impor re le condizioni al contorno e determinare la particolar e soluzione del proble ma in esame. Come vedremo dovremo limitarci a considerar e classi di soluzioni, che non rappresentano la totalità delle soluzioni, ma che, per motivi specifici del problema particolare allo studio, si ritiene debbano contanere la soluzione richiesta. Cominciamo con il considerare il caso in
cui le particolari simmetrie del problema - e quindi delle condizioni al contorno - ci consentono
di trasformare l'equazione alle derivate parziali in una alle derivate totali.
Geometria piana
Se le condizioni al contorno stabiliscono che il
potenziale è costante su due piani paralleli posti a
distanza d, per simmetria potremo dedurre che la
funzione potenziale, nel dominio compreso tra i
due piani, deve necessarimente dipendere soltanto
da una coordinata, x per esempio, di un sistema di
coor dinate cartesiane x,y,z
In tali condizioni l'equazione da risolvere è:
z
d2 V = 0.
dx2
x
d
y
Fig. A7.1
(A7.1)
L'integrale generale di tale equazione, che è alle
derivate totali - si noti il simbolo adottato per le
derivate - in quanto la funzione dipende da una
sola variabile, è, evidentemente:
V(x) = Ax + B,
(A7.2)
Luciano De Menna
A7.2
Corso di Elettrotecnica
dove A e B sono le costanti da determinare in base alle condizioni al contorno.
Nel caso si sia assunto il piano ad x=0 a potenziale nullo, come in figura, B = 0 ed A = V/d, con
V potenziale del secondo piano a distanza d e quindi anche differenza di potenziale applicata tra
i due piani.
Questa soluzione ci consente di calcolare anche la capacità di un condensatore piano le cui
armature abbiano una sezione S e siano poste ad una distanza d. Nella ipotesi in cui S sia molto
maggiore di d2, infatti, sarà possibile utilizzare ancora la A7.2 per calcolare il campo elettrico
all'interno del condensatore, E = -A = - V/d. La carica elettrica presente su ogni armatura sarà,
Q = S = ES = VS/d, e la capacità C = S/d.
Con un procedimento del tutto analogo si possono affrontare i casi della simmetria cilindrica e
piana per i quali nel seguito riportiamo i risultati.
Geometria cilindrica
In tal caso l'equazione da risolvere è:
1 d rd V = 0 .
r dr dr
r
r1
(A7.3)
Da cui si ottiene,
r2
dV =A ,
r
dr
e quindi:
V (r) = A ln r + B .
Fig. A7.2
(A7.4)
Se si assume nullo il potenziale in r1 e pari a V in r2 , si determinano agevolmente le costanti A e
B:
A = V/(ln r2 - ln r 1) = V/ln( r2 /r1);
B = - V ln r1 /(ln r2 - ln r1 ).
Anche in questo caso è possibile calcolare la capacità di un condensatore cilindrico di lunghezza
L. Il campo elettrico, infatti, tra i due cilindri è pari - in modulo - a E= A/r, e quindi la carica
sull'armatura di raggio r1 e:
Q = S = 2 r 1L = E(r 1 )2 r 1L = 2 LV/ln( r2 /r1).
Per unità di lunghezza la capacità di un condensatore cilindrico è dunque:
C= 2 r .
ln r2
(A7.5)
1
Geometria sferica
In questo caso l'equazione e:
1 d r2 d V = 0 ,
r2 dr dr
(A7.6)
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
A7.3
da cui:
dV = A ,
dr r2
r2
e quindi:
Vr =-A
r + B,
r1
(A7.7)
Fig. A7.3
Detta V la differenza di potenziale tra le due armature, e
assumendo nullo il potenziale di quella interna, si ha:
A = rVr-1 rr2 ,
2
1
B = r Vr- 2r .
2
(A7.8)
1
E per il condensatore sferico si ha:
C=
Q
4 r21
E r1 4 r21
=
=
=4
V
V
V
r1 r2
r2 - r1 ,
(A7.9)
Condensatore a più dielettrici
Fino ad ora abbiamo supposto il dielettrico omogeneo ed isotropo. In altri termini abbiamo
assunto che nella regione di interesse assume lo stesso valore in ogni punto. Infatti solo in questo caso l’equazione risultante è quella di Laplace. Se supponiamo che (P) è funzione del punto,
dalle due relazioni:
xE = 0
e
D=
E = 0,
(A7.10)
si ottiene:
E =
E+E
=-
V +E
= 0,
(A7.11)
e quindi:
2
V=
E
.
(A7.12)
che non è l’equazione di Laplace.
Il caso in cui il dielettrico non sia omogeneo può essere risolto approssimativamente suddivi dendo il dielettrico in regioni in cui può ritenersi praticamente costante. Per semplicità consideriamo il caso di due sole regioni in simmetria sferica come descritto dalla fig.A7.4.
In ognuna delle due regioni, tra r1 ed r2 e tra r2 ed r3, l’equazione di Laplace è soddisfatta e
quindi per le considerazioni del paragrafo precedente le soluzioni in tali regioni sono:
V ' r = Ar1 + B1
tra r1 ed r2
(A7.13)
A
"
2
V r = r + B2 .
tra r2 ed r3
Luciano De Menna
A7.4
Corso di Elettrotecnica
r3
V3 = V
r2
2
1
r1
V1 = 0
Fig. A7.4
Con quattro costanti da determinare: A1,B 1,A2 e B 2.
Ed infatti allele condizioni al contorn:
V ' r1 = 0,
V " r3 = V,
bisogna aggiunger e le condizioni di raccordo a cavallo della superficie di discontinuità ad r 2:
V ' r2 = V " r2 ,
1
V'
n
=
r = r2
2
V"
n
.
r = r2
che impongono appunto la continuità della componente tangenziale del campo elettrico e di
quella normale del vettore D. D a queste quattro condizioni si possono ricavare le quattro
costanti incognite. In modo analogo si ragiona per le simmetrie piane e cilindriche.
Supponiamo ora che, nella stessa geometria descritta dalla figura A7.1, lo spazio tra le due armature conduttrici sia riempito da un materiale di resistività (conducibilità ) invece che da un
dielettrico di costante dielettrica . Per effetto della differenza di potenziale V tra le armature,
che converrà ora chiamar elettrodi, il mezzo interposto sarà sede di un campo di densità di corrente J stazionario che sarà governato dalle equazioni A6.9 che per comodità riportiamo di
seguito:
xE = 0
·J = 0
J= E
(A7.14)
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
A7.5
Introducendo il potenziale scalare V (r) anche in questo caso, come è noto, perveniamo ad una
equazione di Laplace:
2
V = 0.
(A7.15)
La soluzione di tale equazione nella geometria di figura A7.1 è stata già determinata nelle pagine precedenti:
V(x) = Ax + B,
e quindi il campo elettrico in modulo sarà dato da:
E= A=V
d
Dalla terza delle A7.15 possiamo calcolare la densità di corrente e quindi la corrente I che interessa una area S degli elettrodi:
I = J S = ES = S V.
d
Ne consegue che la resistenza R relativa ad una porzione di area S degli elettrodi è:
R=V= d =
I
S
d.
S
Con un analogo ragionamento si trovano la resistenza per un tratto di lunghezza L di due cilindri concentrici:
ln rr2 ,
(A7.16)
r2 - r1
1 1
r1 - r2 = 4 r2 r1 .
(A7.17)
R=
2 L
1
e di due sfere concentriche:
R=
4
Si noti che in tutti i casi trattati risulta:
RC=
.
(A7.18)
È facile dimostrare che questa relazione è del tutto generale e vale per qualsiasi geometria; basta
considerare (vedi figura A7.5) un elemento di volume infinitesimo del generico tubo di flusso
racchiuso tra due superfici equipotenziali per il quale si ha:
2
E· dr
R=V=
I
1
e
E · dS
S
E · dS
Q
C= =
V
S
,
2
E· dr
1
(A7.19)
Luciano De Menna
A7.6
Corso di Elettrotecnica
tubo di flusso
equipotenziali
Fig. A7.5
da cui la A7.18, integrando lungo il tubo di flusso e sommando per tutti i tubi di flusso.
Infine si osservi che la A7.17 non perde di significato se il raggio della sfera esterna tende all’infinito; ne consegue che la resistenza di una sfera isolata immersa in un materiale di resistività
rispetto ai punti all’infinito è data dalla formula:
R=
1.
4 r1
(A7.20)
Questa formula può caratterizzare il comportamento di una sfera conduttrice posta ad una certa
profondità nel terreno, così come descritto in figura A7.6 ed essere utilizzata per il calcolo della
resistenza di terra di un dispersore sferico.
dispersore sferico
Fig. A7.6
A7.7
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
Nel paragrafo precedente abbiamo esaminato tre casi tipici in cui la particolare simmetria del problema - e cioè delle condizioni al contorno - ci ha consentito di ridurre l’equazione di Laplace ad
una equazione differenziale ordinaria. In queste condizioni l’integrazione dell’equazione è stata
particolarmente agevole. Ad un risultato analogo si può giungere, in casi più complessi, utilizzando la tecnica della separazione delle variabili.
Consideriamo l’equazione di Laplace nel piano in coordinate cartesiane:
2V
+
2V
= 0,
(A7.21)
x2
y2
e cerchiamo per essa una soluzione del tipo X(x)Y(y), dove le funzioni X ed Y sono appunto funzioni della sola x ed y rispettivamente.
Inserendo questa ipotesi nella soluzione si ottiene:
2
2
Y d X + X d Y = 0,
dx2
dy2
(A7.22)
che può anche essere scritta nella forma:
1 d2 X = - 1 d2 Y ,
X dx2
Y dy2
(A7.23)
Dato che X è solo funzione di x ed Y solo funzione di y i due membri dell’equazione (A7.24) debbono ridursi ad una costante che chiameremo k2.
Avremo dunque un sistema di equazioni differenziali ordinarieper le due funzioni incognite:
d2 X - k2 X = 0,
dx2
d2 Y + k2 Y = 0,
dy2
(A7.24)
La seconda equazione è l’equazione dell’oscillatore armonico e ha come soluzione generale:
Y = Acosky + Bsenky
(A7.25)
Mentre la prima equazione ha soluzione:
X = A1 coshkx + B1 senhkx
(A7.26)
dove cosh e senh sono rispettivamente il coseno ed il seno iperbolico.
Quindi una possibile famiglia di funzioni armoniche è quella descritta dalla relazione:
V(x,y) = (A1 coshkx + B1 senhkx)(Acosky + Bsenky)
(A7.27)
Giocando sui valori delle costanti e di k è possible determinare quali tipologie di condizioni al
contorno possono essere soddisfatte da questa famiglia di soluzioni.