VARI - Analisi I

Esercizi vari di Analisi I
Si determini e si rappresenti nel piano di Gauss l’insieme degli
z  C tali che:
2
z
R
z 1
1
x
x   e t dt
2
2
Si calcoli: lim
0
x3
Si determini e si rappresenti nel piano di Gauss l’insieme degli z  C tali che:
z z2  i  z z2  i
dove z indica il coniugato del numero complesso z.
Sia:
a
1

se  x  1
2ax  x  b
2
con a, b  R
f x   
3
log x  2 x  2
se 1  x 

2
1 3
Si determinino a, b  R in modo tale che f sia di classe C 1 sull’intervallo  ;  e si trovi il
2 2
1 3
massimo assoluto di f su  ;  .
2 2
Sia:
2iz
f z  
1  i  z  1 z
dove |w| e w indicano rispettivamente il modulo e il coniugato del numero complesso w. Si
determini e si rappresenti nel piano di Gauss l’insieme degli z  C tali che f ( z)  1 .
x 0
3
4
5
6
7
8

 

Si provi per induzione che, per ogni n  N  , si ha:
1
1
1
1
n


 ... 

1 2 2  3 3  4
n n  1 n  1
Si ponga:
se x  0
ax  b

f x    x 1  x 
se 0  x  1 con a, b, c, d  R
cx  d
se x  1

Si determinino a, b, c, d in modo che :
 f sia continua su R
 f sia di classe C 1 su R
 f sia continua su R e gli asintoti di f a   e a   coincidano.
Sia:
con   R
f ( x)  cos x  sin x   x 2
1
Si dimostri che se  
, allora f non ha punti di flesso.
2
1
Si dimostri che se  
, allora f ha infiniti punti di flesso.
2
Studiare al variare del parametro k  R la continuità e derivabilità della seguente funzione
nei punti x1  1 e x2  4 :
9
10
11
12
per x  1
 log 2 x
k
per x  1

f ( x)  log 2 x
per 1  x  4

 1 x  4
per x  4
 2
Inoltre, determinarne gli estremi della funzione, per quel valore di k per cui la funzione risulta
continua.
Studiare la continuità e derivabilità della seguente funzione e calcolarne gli estremi:
1

per x  1
 x  2

1
 1
f ( x )  
per
 x 1
2
 x
1
 2 9
per x 
x  4
2


n 1 
Provare che la successione log 1 2
 è monotona e trovarne gli estremi.
 2 n  1
Studiare il carattere, la monotonia e gli estremi della successione n 2  3 e n .

 
Considerato il binomio 1  n  , determinare n (n  0) sapendo che un addendo dello
sviluppo di tale potenza vale 45x 2 .
 10  n 
Data la successione 
 , verificare se è monotona e calcolarne gli estremi.
n

3


n
13
14
15
Approssimare mediante la formula di Taylor di ordine 3 la funzione f ( x, y)  log x  y 
nell’intorno del punto x0  2,1 .
16
Provare per induzione che n  4 risulta n ! n 2  1
17
18
19
Determinare l’area della regione di piano limitata dalle curve di equazione y1  x 2 e
y 2  x  2 nell’intervallo 0,3 .
Data la funzione:
2
x 1
ax  b
f ( x)  
2
x 1
4 x  x
determinare per quali valori dei parametri a, b  R , f(x) risulterà concava.
 5n  1
Data la successione log
 , dire se è monotona e determinarne il carattere.
n 



20
Data la successione  2 log n  7  , dire se essa contiene successioni subordinate
divergenti a   o a   .
21
 x  x2
Determinare gli asintoti della funzione: 

 x 1
22
 n 2  1
Dimostrare che la successione log
 è crescente e studiarne il carattere.
n 

n
1
23
Ricercare gli estremi della funzione.
x0

2
f ( x)  
2

altrove
x 1  x
24
Trovare gli asintoti della funzione: f ( x)  log x 
25
Discutere la monotonia ed il carattere della successione a n  sapendo che a n  a n 1 
0  x 1
2 x
1
.
n
ax  b
, a, b  R  , trovare i valori di a e b tali
2
x
che il grafico di f(x) abbia nel punto di ascissa x  1 un flesso con tangente parallela alla
prima bisettrice.
Trovare l’insieme dei punti del piano P(a, b) , tali che:
Data la funzione definita dalla legge f ( x) 
26
2
27
a2  b2  
1
Si determini se l’equazione e  y  3x  0 definisce implicitamente una funzione y=y(x) in
un intorno del punto di ascissa x  0 ; in caso positivo calcolare le prime due derivate di tale
funzione nel punto x0  0
Data la successione:
n 

3
 1  n 2 1 
 

 5 



verificare se è monotona e calcolarne gli estremi.
Verificare la monotonia e ricercare gli estremi della successione:
2n 

log 0,5 2

n  3

 n 
Trovare gli estremi della successione 
 e provare che è monotona.
1  n 
xy
28
29
30
31
32
a 2 x3  b
dx  1
x2
2