Esercizi vari di Analisi I
Si determini e si rappresenti nel piano di Gauss l’insieme degli
z C tali che:
2
z
R
z 1
1
x
x e t dt
2
2
Si calcoli: lim
0
x3
Si determini e si rappresenti nel piano di Gauss l’insieme degli z C tali che:
z z2 i z z2 i
dove z indica il coniugato del numero complesso z.
Sia:
a
1
se x 1
2ax x b
2
con a, b R
f x
3
log x 2 x 2
se 1 x
2
1 3
Si determinino a, b R in modo tale che f sia di classe C 1 sull’intervallo ; e si trovi il
2 2
1 3
massimo assoluto di f su ; .
2 2
Sia:
2iz
f z
1 i z 1 z
dove |w| e w indicano rispettivamente il modulo e il coniugato del numero complesso w. Si
determini e si rappresenti nel piano di Gauss l’insieme degli z C tali che f ( z) 1 .
x 0
3
4
5
6
7
8
Si provi per induzione che, per ogni n N , si ha:
1
1
1
1
n
...
1 2 2 3 3 4
n n 1 n 1
Si ponga:
se x 0
ax b
f x x 1 x
se 0 x 1 con a, b, c, d R
cx d
se x 1
Si determinino a, b, c, d in modo che :
f sia continua su R
f sia di classe C 1 su R
f sia continua su R e gli asintoti di f a e a coincidano.
Sia:
con R
f ( x) cos x sin x x 2
1
Si dimostri che se
, allora f non ha punti di flesso.
2
1
Si dimostri che se
, allora f ha infiniti punti di flesso.
2
Studiare al variare del parametro k R la continuità e derivabilità della seguente funzione
nei punti x1 1 e x2 4 :
9
10
11
12
per x 1
log 2 x
k
per x 1
f ( x) log 2 x
per 1 x 4
1 x 4
per x 4
2
Inoltre, determinarne gli estremi della funzione, per quel valore di k per cui la funzione risulta
continua.
Studiare la continuità e derivabilità della seguente funzione e calcolarne gli estremi:
1
per x 1
x 2
1
1
f ( x )
per
x 1
2
x
1
2 9
per x
x 4
2
n 1
Provare che la successione log 1 2
è monotona e trovarne gli estremi.
2 n 1
Studiare il carattere, la monotonia e gli estremi della successione n 2 3 e n .
Considerato il binomio 1 n , determinare n (n 0) sapendo che un addendo dello
sviluppo di tale potenza vale 45x 2 .
10 n
Data la successione
, verificare se è monotona e calcolarne gli estremi.
n
3
n
13
14
15
Approssimare mediante la formula di Taylor di ordine 3 la funzione f ( x, y) log x y
nell’intorno del punto x0 2,1 .
16
Provare per induzione che n 4 risulta n ! n 2 1
17
18
19
Determinare l’area della regione di piano limitata dalle curve di equazione y1 x 2 e
y 2 x 2 nell’intervallo 0,3 .
Data la funzione:
2
x 1
ax b
f ( x)
2
x 1
4 x x
determinare per quali valori dei parametri a, b R , f(x) risulterà concava.
5n 1
Data la successione log
, dire se è monotona e determinarne il carattere.
n
20
Data la successione 2 log n 7 , dire se essa contiene successioni subordinate
divergenti a o a .
21
x x2
Determinare gli asintoti della funzione:
x 1
22
n 2 1
Dimostrare che la successione log
è crescente e studiarne il carattere.
n
n
1
23
Ricercare gli estremi della funzione.
x0
2
f ( x)
2
altrove
x 1 x
24
Trovare gli asintoti della funzione: f ( x) log x
25
Discutere la monotonia ed il carattere della successione a n sapendo che a n a n 1
0 x 1
2 x
1
.
n
ax b
, a, b R , trovare i valori di a e b tali
2
x
che il grafico di f(x) abbia nel punto di ascissa x 1 un flesso con tangente parallela alla
prima bisettrice.
Trovare l’insieme dei punti del piano P(a, b) , tali che:
Data la funzione definita dalla legge f ( x)
26
2
27
a2 b2
1
Si determini se l’equazione e y 3x 0 definisce implicitamente una funzione y=y(x) in
un intorno del punto di ascissa x 0 ; in caso positivo calcolare le prime due derivate di tale
funzione nel punto x0 0
Data la successione:
n
3
1 n 2 1
5
verificare se è monotona e calcolarne gli estremi.
Verificare la monotonia e ricercare gli estremi della successione:
2n
log 0,5 2
n 3
n
Trovare gli estremi della successione
e provare che è monotona.
1 n
xy
28
29
30
31
32
a 2 x3 b
dx 1
x2
2
