Regolatori

Corso di laurea in Informatica
Regolatori
Marta Capiluppi
[email protected]
Dipartimento di Informatica
Università di Verona
Scelta delle specifiche
1. Picco di risonanza e massima sovraelongazione percentuale: alto valore
picco ! alto valore sovraelongazione % => per limitare sovraelongazione,
imporre basso coefficiente di smorzamento dei poli dominanti
2. Pulsazione di risonanza e pulsazione di oscillazione della risposta al
gradino: vicine ! pulsazione di oscillazione del transitorio si può trovare con
la pulsazione di risonanza
3. Larghezza di banda e tempo di salita: la prima misura sia l’abilità del sistema
in retroazione nel riprodurre il segnale di ingresso, sia la capacità di
eliminare il rumore in alta frequenza. Aumentare la larghezza di banda !
diminuire il tempo di salita della risp. al gradino ! rendere più veloce il
transitorio iniziale. Valutazione approssimata della larghezza di banda è data
dalla pulsazione di crossover di guadagno della risposta in frequenza di
anello.
4. Margini di stabilità e distanza dei poli dall’asse immaginario: per sistemi di
secondo ordine o con poli complessi coniugati dominanti vale
Coefficiente di smorzamento ≈ 0.01 * Margine di fase (in gradi)
2
Sistema controllato in retroazione
U(s)
+
Gc(s)
Gp(s)
Y(s)
-
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Rete ritardatrice
La rete ritardatrice introduce un’attenuazione alle frequenze di interesse.
Non introduce variazioni di fase né attenuazione alla pulsazione ω=0.
Per aumentare il margine di fase, si potrebbe semplicemente ridurre il
guadagno della f.d.t della catena diretta, ma comporterebbe una diminuzione
della precisione (aumento dell’errore a regime e riduzione della sensibilità ai
disturbi e alle variazioni parametriche).
GR (s) =
1 + ↵⌧ s
,
1 + ⌧s
⌧ > 0,
0<↵<1
Il diagramma delle ampiezze è traslato verso il basso di 20log10α dB per ω"∞,
mentre quello delle fasi rimane invariato alle basse e alte pulsazioni (ritardo di
fase alle pulsazioni intermedie), aumentando il margine di fase.
Compensazione:
1. Si fissa il guadagno statico della f.d.t. di anello in base alla specifica
sull’errore a regime
2. Si costruiscono i diagrammi di Bode della f.d.t. di anello e si impostano le
specifiche sulla stabilità relativa e larghezza di banda, definendo il progetto
di massima della rete
3. Si opera una eventuale messa a punto della rete progettata con i diagrammi
di Bode
4. Si effettua la verifica delle specifiche
4
Progetto Rete ritardatrice (I)
Dato il sistema
100
G(s) =
1
(1 + 30
s)(1 +
1
500 s)
Determinare i margini di stabilità del sistema chiuso in retroazione (margin)
Si imponga un margine di fase di almeno 60°
Si provi prima a diminuire il guadagno del sistema d’anello
Successivamente, si progetti una rete ritardatrice imponendo un margine di fase
di circa 66°
Ad esempio α=0.2 e τ=1. Diminuire il valore di α se necessario.
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Progetto Rete ritardatrice (II)
Progettare una rete ritardatrice significa determinare la costante di tempo τ del
polo della rete e il valore di α. Il valore di α si sceglie in modo da spostare nella
posizione desiderata la nuova pulsazione di crossover di guadagno, che deve
essere sufficientemente più alta della pulsazione del polo della rete, per non
essere influenzata dal ritardo introdotto sul nuovo margine di fase.
Controindicazioni: la rete ritardatrice può comportare un’eccessiva diminuzione
della larghezza di banda ! diminuzione della prontezza di risposta del sistema
! il valore di α non deve essere troppo basso.
Metodologia di progetto coi diagrammi di Bode:
1. Sia KG(jω) la f.d.t. della catena diretta
2. Si fissa il valore di K (reale) in base alla specifica sull’errore a regime
3. Si disegnano i diagrammi di Bode di KG(jω)
4. Sia Mfr il margine di fase minimo richiesto. Se il sistema ha un margine di fase
minore di Mfr, fissato un coefficiente di tolleranza ε, si determina dal
diagramma di Bode del sistema KG(jω) la pulsazione ωc t.c. la fase della f.d.t.
della rete sia -180°+Mfr+ ε
5. Si fa in modo che ωc sia la nuova pulsazione di crossover del sistema
|G(j!c )|dB
compensato 20log10|G(jωc)|+20log10α=0. Perciò
↵ = 10
20
6. La pulsazione di zero si pone almeno una decade sotto ωc, da cui τ=10/(α ωc)
7. Si verificano le specifiche.
6
Progetto Rete ritardatrice (III)
Dato il sistema
100K
G(s) =
s(s + 20)(s + 100)
Progettare una rete ritardatrice con
Mfr=60°
Errore = 0.01
7
Rete anticipatrice
La rete anticipatrice introduce un anticipo di fase che può aumentare il margine
di fase se inserito a pulsazioni opportune.
In molti sistemi, non si può usare una rete ritardatrice, perché la fase della f.d.t è
troppo bassa a tutte le pulsazioni di interesse.
La rete anticipatrice ha guadagno statico unitario, perciò non varia la precisione
a regime
Introduce una amplificazione ad alta frequenza, aumentando l’ampiezza di
banda ! maggiore prontezza di risposta in transitorio.
Non eccedere nella larghezza di banda, per non rendere il sistema vulnerabile
ad alte frequenze ! se il margine di fase desiderato è maggiore di 60° è
conveniente usare più reti anticipatrici.
Fd.t. rete anticipatrice
1 + ⌧s
GA (s) =
,
1 + ↵⌧ s
⌧ > 0,
0<↵<1
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Progetto Rete anticipatrice (I)
Progetto coi diagrammi di Bode:
1. Sia KG(jω) la f.d.t. della catena diretta
2. Si fissa il valore di K (reale) in base alla specifica sull’errore a regime
3. Si disegnano i diagrammi di Bode di KG(jω)
4. Sia Mfr il margine di fase richiesto. Se il sistema ha un margine di fase Mf
minore di Mfr, fissato un coefficiente di tolleranza ε, si determina l’anticipo da
introdurre in corrispondenza della nuova pulsazione di crossover ωc pari a
φm=Mfr-Mf+ ε
1 sin m
↵
=
5. Se φm<60° è sufficiente una sola rete anticipatrice e si calcola
1 + sin m
6. Si individua graficamente la nuova ωc tale che l’ampiezza del sistema non
compensato valga 10log10α dB.
p
7. Si calcola 1
= !c ↵
⌧
9. Si verificano le specifiche.
Nel caso in cui al punto 5 sia φm>=60°, si determina una prima rete
considerando un primo anticipo da introdurre φm1<60° e si esegue la sintesi. Si
itera il procedimento fino ad ottenere il margine di fase desiderato.
9
Progetto Rete anticipatrice (II)
Dato il sistema
100K
G(s) =
s(s + 20)(s + 100)
Progettare due reti anticipatrici in cascata per ottenere
Mfr=60°
Errore = 0.01
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Regolatori standard
Regolatore ad azione Proporzionale, Integrale, Derivativa (PID)
Z t
de(t)
1
u(t) = KP (e(t) + TD
+
dt
TI
Tipi di regolatori standard:
e(t)d⌧ )
0
Regolatore proporzionale (P): Gc (s) = KP
1
Regolatore proporzionale integrale (PI): Gc (s) = KP (1 +
)
TI s
Regolatore proporzionale derivativo (PD): Gc (s) = KP (1 + TD s)
Regolatore PID:
1
Gc (s) = KP (1 + TD s +
)
TI s
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Regolatore Proporzionale P
Si impiega quando il sistema da controllare consente un’elevata costante di
guadagno d’anello, garantendo comunque la stabilità ! sistemi con una sola
costante di tempo dominante.
Compensare il seguente sistema con un regolatore P per renderlo più preciso a
regime ! migliorare il tempo di assestamento (sistema più pronto).
Kp=10
0.1
G(s) =
s(1 + 0.1s)(1 + s)
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Regolatore PI
Introduce nella funzione di anello un polo nell’origine e uno zero reale negativo
! rete ritardatrice ! migliora la precisione a regime di sistemi di tipo 0 e 1,
garantendo la stabilità ! migliora il margine di fase per effetto dello zero, ma
determina una riduzione della larghezza di banda del sistema in retroazione.
Compensare il seguente sistema con un regolatore PI che cancelli uno dei poli
del sistema in s = -1.
Kp=0.1
Ti=1
20
G(s) =
(1 + s)2 (1 + 0.1s)
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Regolatore PD
Si usa in sistemi di tipo 1 o 0 per migliorare la stabilità relativa e la prontezza
della risposta, senza alterarne il tipo ! rete anticipatrice ! modifica il
guadagno statico e introduce (zero) un anticipo di fase per ogni valore di
pulsazione ! aumenta l’ampiezza di banda del sistema in retroazione.
Compensare il seguente sistema con un regolatore PD. (NB: il regolatore non è
fisicamente realizzabile in Matlab, perciò è necessario aggiungere un polo di
valore assoluto molto elevato, in modo che il suo effetto sia trascurabile).
Kp=0.01
Td=2
20
G(s) =
s(1 + s)2 (1 + 0.1s)
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Regolatore PID
Garantisce una correzione completa, che include quella di tutti i precedenti
regolatori ! il polo nell’origine migliora la precisione a regime, aumentando il
tipo del sistema, i due zeri migliorano la stabilità e la prontezza di risposta,
grazie all’anticipo di fase, l’azione proporzionale migliore l’errore a regime.
Compensare il seguente sistema con un regolatore PID che cancelli i poli più
vicini all’asse immaginario (s=-1 e s=-10), per ottenere margine di stabilità
migliore per il sistema compensato.
Kp=0.5
Ti=11/10
Td=1/11
20
G(s) =
(1 + s)(1 + 0.1s)(1 + 0.05s)(1 + 0.01s)
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Taratura parametri: modello di Ziegler-Nichols
in anello aperto (I)
Questo metodo fornisce i valori di primo tentativo dei parametri del PID, in
funzione di alcune misure sulla risposta a gradino del sistema in anello aperto.
1. Si registra la risposta del sistema in anello aperto ad un gradino di ampiezza
M0
2. Si approssima il sistema da compensare con un modello del primo ordine
con ritardo
t0 s
e
G(s) ' K
1 + Ts
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Taratura parametri: modello di Ziegler-Nichols
in anello aperto (II)
3. Per via grafica si ricavano i valori dei parametri caratteristici del sistema
approssimato, tracciando la tangente nel punto di flesso della risposta al
gradino.
K=C0/M0
4. Si scelgono i parametri seguendo la tabella.
Kp
Ti
P
T/(K*t0)
PI
0.9T/(K*t0)
3t0
PID
1.2T/(K*t0)
2t0
Td
0.5t0
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Taratura parametri: modello di Ziegler-Nichols
in anello aperto (III)
Progettare un PID per il seguente sistema
1
G(s) =
(s + 1)3
Si noti che è possibile usare la funzione pid di Matlab
Simulink>Continuous>PID
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