7.5. STABILITÀ DI UN SISTEMA CON REAZIONE
Consideriamo il circuito di fig.7.39. Un commutatore consente di collegare l’ingresso “-“
dell’operazionale a un generatore di tensione esterno V, oppure a un morsetto da cui è possibile
Z3
+
Ad Vi
ro
Vi
Z2
Vu
V
Vr
Z1
Fig.7.39:Circuito equivalente dell’amplificatore operazionale.
prelevare la tensione di reazione Vr. Supponiamo di chiudere il commutatore su V:
Vu AdVi AdV
VZ
Z1
Vr u 1 Ad
V TV
Z1 Z 2
Z1 Z 2
dove T è la trasferenza di anello.
Si vede che, se la rete di reazione è resistiva e l’amplificatore Ad non sfasa, Vr è in opposizione di
fase rispetto a V (la reazione è negativa). Tuttavia al crescere della frequenza si introducono
sfasamenti nell’anello, per cui può capitare che esista una frequenza per la quale lo sfasamento sia
di altri 180° rispetto a quello iniziale. In queste condizioni Vr ritorna in fase con V. A questa
frequenza valutiamo il modulo dell’amplificazione di anello:
Vr
T
V
Alla stessa frequenza la fase dell’amplificazione di anello è 0.
Possono verificarsi tre casi: T 1 .
Consideriamo il caso, puramente teorico, T = 1, cioè
Vr V e Vr V .
A questo punto possiamo anche spostare il commutatore in modo da prelevare Vr. L’anello di
reazione può essere aperto o chiuso senza che si modifichi nulla. E’ anche possibile togliere V: V u
si automantiene: abbiamo creato un oscillatore alla frequenza per la quale Vr V . Il sistema è
instabile: abbiamo un segnale in uscita in assenza di ingresso.
In realtà il caso T 1 è puramente teorico. Se T 1 il segnale Vr è di ampiezza minore di V.
Senza il generatore Vu diminuisce nel tempo, con un tempo di smorzamento tanto maggiore quanto
più è grande T. Il sistema è stabile. Se T 1 , ritorna un segnale Vr >V, quindi ritorna un segnale
più ampio di quello iniziale: Vu cresce esponenzialmente, il sistema è instabile. L’instabilità è
dovuta al fatto che la reazione è diventata positiva.
La funzione di trasferimento del sistema con reazione viene scritta come:
K
KT
AF
1 1T
1
T
Essa è stabile se non ha poli con parte reale positiva. I poli di A F sono gli zeri di 1+T. Per la
stabilità occorre quindi verificare che 1+T non abbia zeri con parte reale positiva. Su questo
principio è basato il criterio di Nyquist. Noi useremo un. altro criterio, il criterio di stabilità di
Bode, che permette la verifica della stabilità attraverso i diagrammi di Bode. Per eseguire questa
verifica occorre:
1. Valutare T e riportarla sui diagrammi di Bode.
2. Cercare la frequenza per la quale la fase di T è uguale a 0, cioè Vr è in fase con V.
3. Se a questa frequenza T 1 (0 dB) il sistema è stabile.
4. Individuare il margine di guadagno, cioè quel valore di T, negativo in dB, che corrisponde alla
frequenza per la quale T 0 . Il margine di guadagno ci dice quanto il sistema è lontano
dall’instabilità. Un sistema che sia vicino all’instabilità può diventarlo facilmente e presenta una
risposta turbolenta alle variazioni dell’ingresso.
Un metodo alternativo consiste nel cercare la frequenza alla quale T 1 (0 dB) e verificare che, a
tale frequenza, lo sfasamento del segnale che percorre l’anello non sia ancora arrivato a 0. In questo
caso il sistema è stabile. Si definisce margine di fase quanto manca, a questa frequenza, per
raggiungere la fase zero.
I margini assicurano la stabilità in presenza di tolleranze dei componenti e risposte nei transitori
sufficientemente smorzate.
Esempio. Supponiamo che i diagrammi di Bode di T in un sistema reazionato siano quelli di
fig.7.40.
T dB
Sistema instabile
Margine di guadagno
0 dB
T
180°
°
45°\dec.
decade
0°
Margine di fase
Fig. 7.40: Margini di guadagno e di fase.
Ricordiamo che in corrispondenza alla frequenza di un polo il diagramma di fase scende di 90°; la
discesa inizia una decade prima del polo e finisce una decade dopo. La figura riporta il margine di
guadagno, in corrispondenza a 0° della fase, e il margine di fase, in corrispondenza a 0 dB del
guadagno. In figura viene anche riportata, in grigio, la situazione in cui T sia maggiore e il sistema
diventa instabile. Si vede dunque come un valore di T molto grande può provocare l’instabilità.
Un buon margine di fase garantisce risposte sufficientemente smorzate Si dimostra che un margine
di fase soddisfacente è intorno a 60°.
Osserviamo che, una volta progettato un amplificatore con una certa banda, la verifica della stabilità
deve avvenire a tutte le frequenze, perché il sistema “sceglie lui” se e a che frequenza entrare in
oscillazione. Se il sistema non è stabile bisogna ricorrere a tecniche dette di compensazione. Di
solito si agisce su Ad . Uno dei sistemi di compensazione più semplici è quello a polo dominante:
si introduce un polo a frequenza così bassa che ai poli successivi sia certamente T 1 . Quindi, se
la conseguente rotazione di fase fa andare la fase di T verso 0° o al di sotto, non si verifica
comunque l’instabilità. Se la rete di reazione è resistiva, T non ha poli se non quelli di A d: quando
T 1 , la fase di T è 90° e assicura un buon margine (fig.7.41). Spesso la compensazione degli AO
viene effettuata internamente dal costruttore. Altri AO prevedono una compensazione esterna. Gli
AO compensati internamente sono stabili con qualunque rete resistiva. Il discorso non vale per reti
di reazione con elementi reattivi.
Ad
T
0 dB
Altri poli
T
180°
°
Margine di fase
90°
0°
Fig. 7.41: Compensazione a polo dominante
Esercizio1
Mediante un amplificatore operazionale (AO) si progetti un amplificatore di tensione non invertente
che amplifichi 10. Si supponga che la resistenza di ingresso dell’AO sia ri = 100 k. Si calcoli il
valore di Ad in modo che la resistenza di ingresso dell’amplificatore di tensione realizzato sia di
109.
Si supponga ancora che l’AO impiegato abbia due poli, uno a 103 e uno a 105 Hz. L’amplificatore è
stabile?. A che frequenza tende a oscillare?
Si esegua una compensazione a polo dominante in modo che l’amplificatore abbia un margine di
fase di 22,5°.
Esercizio 2
Un amplificatore operazionale reazionato con rete di reazione puramente resistiva presenta una
trasferenza di anello T con un polo a 104 Hz e uno a 106 Hz e una T0 82dB . L’amplificatore è
stabile? Se non lo è, a che frequenza entra in oscillazione?
Si esegua una compensazione a polo dominante, in modo da ottenere un margine di guadagno di 20
dB.
