Università degli Studi di Perugia
A.A. 2006-2007
C.d.L. Ing. Meccanica
Fisica Generale
ESERCITAZIONI N°5 e N°6: DINAMICA DEI SISTEMI RIGIDI
1) Una sbarretta omogenea di lunghezza L e massa m e’ incernierata intorno a un asse orizzontale O. Essa
viene portata in posizione orizzontale e lasciata andare da ferma. Quando passa per la posizione verticale, il
suo estremo compie un urto completamente anelastico contro una massa puntiforme m. Quale elongazione
massima θ compie il pendolo dopo l’urto? Si trascurino gli attriti.
[Risposta: cosθ=11/12]
2) Un disco, di raggio r e massa m, scende srotolando un filo, che non slitta rispetto al bordo del disco (JOJO). Determinare l’accelerazione del centro di massa e la tensione del filo. (N.B.: Risolvere l’esercizio
applicando le equazioni cardinali della dinamica, oppure applicando la legge di conservazione dell’energia.
Si ricordi che il momento di inerzia di un disco rispetto al suo asse passante per il baricentro e’ IG=mr2/2).
[Risposta: aC=2g/3; T=mg/3]
3) Una particella di massa m viene lanciata con velocità v0 contro un
cilindro di massa M e raggio R, lungo una direzione rettilinea che dista b
v0
x
dal centro del cilindro. Il cilindro, inizialmente fermo, è vincolato a ruotare
m
attorno a un asse fisso orizzontale privo di attrito, passante per il suo
b
centro. Quando la particella colpisce il cilindro resta attaccata sul suo
bordo (urto completamente anelastico). A seguito dell’urto, il sistema
M
cilindro più particella inizia a ruotare. Si calcoli:
R
a) la velocità angolare del sistema (cilindro + particella) dopo l’urto;
b) l’energia cinetica finale del sistema;
c) l’energia meccanica persa nell’urto.
(Si ricordi che il momento di inerzia del disco rispetto all’asse passante per il centro di massa e’ I=MR2/2)
.
[Risposta: ω=mv0b/[R2(m+M/2)]; Kfin=m2v02b2/[R2(M+2m); ∆K=KfinKin=[(b/R)2*m2/(M+2m)-m/2]v02]
4) Una sbarretta omogenea di lunghezza L e massa M e’ incernierata intorno a
un asse orizzontale passante per il punto P. Essa viene ruotata di un certo
angolo θ e lasciata andare da ferma. Quando passa per la posizione verticale, il
suo estremo compie un urto completamente elastico contro una massa
puntiforme m.
Dopo l’urto la sbarra rimane ferma in posizione verticale mentre la massa parte
con velocità v.
Ricordando che il momento di inerzia di una sbarretta rispetto ad un asse
perpendicolare alla sbarretta e passante per il centro di massa è Ic=ML2/12, si
calcoli il rapporto tra le due masse, m ed M.
5) Una massa m = 12 kg è fissata ad una corda che è avvolta
su di una puleggia di raggio r = 10 cm, e scivola lungo un piano
inclinato di pendenza θ = 30°, privo di attrito, con un
accelerazione a = 2 m s-2. Assumendo che il moto inizi da
fermo, e che anche l’asse della puleggia sia privo di attrito, si
calcoli:
(a) la tensione della corda;
(b) il momento d’inerzia della puleggia;
(c) la velocità angolare della puleggia dopo un
intervallo ∆t = 2 s dall’inizio del moto.
1
P
.
θ
L
M
m
m
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6) Un’asta omogenea di sezione costante, lunghezza l e massa M è posta su di un piano
orizzontale privo di attrito, e non è soggetta ad alcun altro vincolo. L’asta, che è inizialmente
in quiete, viene ad un certo istante urtata, in modo perfettamente elastico, da una pallina di
massa m, che si muove con velocità v0 ortogonale all'asta, in un punto distante d dal suo
centro.
Determinare l'espressione di m affinchè la pallina si arresti dopo l’urto.
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M
L
d
m
v0
7) I due dischi in figura sono accoppiati da una cinghia che non slitta sulla
loro superficie laterale. Il disco A ha raggio rA pari al doppio del raggio del
disco B, rB=50 cm, e massa mA pari al triplo della massa del disco B, mB=2
rB
rA
Kg.
Si calcoli:
a) il momento di inerzia di ciascun disco;
b) il rapporto tra le velocità angolari dei due dischi, ωA e ωB;
c) il lavoro necessario per portare i due dischi, partendo da fermo, a ruotare in modo che sia ωA=5 rad s-1.
8) Un cilindro omogeneo e’ incernierato ad un asse orizzontale attorno al quale puo’ ruotare senza attrito; il
cilindro ha raggio r e momento di inerzia I rispetto all’asse. Sul cilindro e’ avvolto un filo inestensibile, di
massa trascurabile, alla cui estremita’ libera e’ fissato un corpo di massa m. Il corpo, lasciato libero, sotto
l’azione del peso scende lungo la verticale. Si calcoli:
(i) la velocita’ che il corpo possiede dopo essere sceso di un tratto x;
(ii) l’accelerazione del corpo e la tensione T del filo.
N.B.: Si risolva l’esercizio applicando il teorema dell’energia cinetica, oppure applicando le equazioni
cardinali della dinamica dei sistemi.
[Risposta: v=gt/[1+I/(mr2)]; T=mg[1-mr2/(mr2+I)]]
9) Una massa m=200 g scende srotolando un filo avvolto attorno a un disco di massa
M=0.6kg e raggio r=20 cm, vincolato a ruotare attorno a un asse orizzontale privo di
attrito. Il moto inizia da fermo, il filo non slitta attorno al disco, e l’asse della puleggia sia
privo di attrito. Si calcoli:
d) l’accelerazione angolare del disco;
e) quanto tempo la massa m impiegherà a percorrere uno spazio d=7.8 m (Si ricordi
che il momento di inerzia del disco rispetto all’asse di rotazione in
figura e’ I=Mr2/2; si utilizzi il valore g=9.8m/s2)
r
M
m
[Risposta: α=19.6 rad/s2; t=2 s]
10) Una sfera di massa M e raggio R e’ tirata verso destra, lungo una superficie piana orizzontale scabra
(coefficiente di attrito statico µs), da una forza orizzontale F costante applicata al suo centro. Si determini il
massimo valore della forza F affinche’ la sfera rotoli senza strisciare. (Si ricordi che il momento di inerzia di
una sfera rispetto al suo asse passante per il baricentro e’ IG=2/5MR2)
[Risposta: F≤(7/2)µSmg]
11) Un sistema rigido, omogeneo, a forma di rocchetto, e’ costituito da due ruote cilindriche di raggio R
collegate da un asse cilindrico di raggio r. Il momento d’inerzia del sistema, rispetto al suo asse di simmetria,
vale I, mentre la massa e’ M. Un filo inestensibile, flessibile, e di massa trascurabile e’ avvolto intorno
all’asse e non vi puo’ scivolare sopra. Al filo e’ applicata una forza F orizzontale, perpendicolare all’asse del
rocchetto e costante. Il filo si svolge dalla parte superiore dell’asse. Determinare l’accelerazione del centro di
massa del rocchetto, nell’ipotesi che si abbia rotolamento puro.
[Risposta: aC=R(r+R)F/(MR2+I)]
Esercitazioni n.5 e 6
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12) Un disco, di massa M e raggio R, ruota con velocita’ angolare ω in un piano orizzontale attorno ad un
asse verticale passante per il centro. Da un’altezza h viene lasciato cadere sul disco un corpo di massa m, il
quale urta il disco ad una distanza d<R dal centro del disco e vi rimane attaccato. Determinare:
(a) la velocita’ angolare ω’ del sistema dopo l’urto;
(b) l’impulso e l’impulso angolare delle reazioni vincolari;
(c) il lavoro fatto dalle forze non conservative che fermano il corpo sul disco.
(Si ricordi che il momento di inerzia di un disco rispetto al suo asse passante per il baricentro e’
IG=mr2/2)
[Risposta: ω’=ωMR2/(MR2+2md2);
modulo dell’impulso=m(2gh+ω’2d2)1/2;
modulo dell’impulso angolare=dm(2gh)1/2;
lavoro delle forze non conservative=(MR2ω2/4)(MR2/[MR2+2md2]-1)-mgh]
13) Un rullo cilindrico omogeneo di raggio r si mette in movimento, sotto l’azione della forza peso, lungo la
direzione di massima pendenza di un piano scabro inclinato di un angolo α ripetto all’orizzontale. Si
determini il minimo valore del coefficiente di attrito statico µs tra il piano e il rullo affinche’ quest’ultimo rotoli
senza strisciare. (Si ricordi che il momento di inerzia di un cilindro rispetto al suo asse passante per il
baricentro e’ IG=mr2/2)
[Risposta: µS≥(tgα)/3]
14) Un dispositivo usato per determinare la velocita’ di un proiettile e’ il ‘pendolo balistico’, il quale consiste in
un blocco di massa M appeso al soffitto, tenuto da un filo inestensibile e di massa trascurabile, contro il
quale viene sparato orizzontalmente il proiettile di massa m. Una volta che il proiettile si è conficcato dentro
al blocco, fermandosi al suo interno, il blocco risale di un tratto h. Si determini la velocita’ del proiettile se m,
M, h sono noti.
Esercitazioni n.5 e 6
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