Prova scritta di Meccanica Razionale – gennaio 2017
Laurea in Ingegneria Meccanica – Latina
Cognome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matricola: . . . . . . . . . . . .
Il compito consta di 3 quesiti. Gli studenti devono:
– completare i dati anagrafici sulla prima pagina del compito;
– svolgere i quesiti su fogli supplementari e riportare i risultati su queste pagine (risultati
non giustificati sui fogli supplementari non verrano presi in considerazione);
– scrivere il proprio nome e cognome su ciascun foglio supplementare;
– consegnare tutti i fogli al termine della prova.
Durante la prova scritta non è possibile usare appunti (scritti a mano, fotocopiati, stampati,
etc.) di nessuna natura e dispositivi elettronici (calcolatrici, telefonini, calcolatori, etc.) di
nessuna natura. Gli studenti possono consultare esclusivamente e brevemente le copie dei
libri preventivamente poste sulla cattedra.
Quesito 1. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da un disco rigido pesante
omogeneo di raggio R e massa M e da un elemento pesante di massa m. Si indica con {O, ~ei }
un riferimento terrestre con asse 3 verticale ascendente.
0
~
e3 =~
e3
6
qX - ~e2
O
~
e1
0
~
e2
A
H
0
HaH
j ~e
B
ϕ
1
L’elemento, la cui posizione in figura è indicata con X, è vincolato a muoversi sull’asse 2.
Il punto del bordo del disco, indicato con A in figura, è vincolato a muoversi sull’asse 3 e il
disco è vincolato a mantenersi orizzontale.
0
Il riferimento solidale al disco {A, ~ei } è tale che il centro del disco cade sul semiasse
positivo solidale 1. Il punto mobile X e il punto del bordo del disco B, opposto ad A, si
scambiano la forza elastica di costante k.
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Come coordinate lagrangiane si utilizzino l’anomalia ϕ indicata in figura e le ascisse q
−→
−−→
e s tali che OA = q~e3 e OX = s~e2 . Si consideri il moto del sistema relativo al riferimento
terrestre e si stabilisca quanto segue:
1. energia cinetica del sistema in termini delle coordinate lagrangiane:
2. energia potenziale della sollecitazione attiva conservativa in termini delle coordinate
lagrangiane:
3. equazioni pure del moto:
4. qualora possibile, integrale generale delle equazioni pure del moto:
Quesito 2.
Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una sfera rigida pe-
sante omogenea di raggio R e massa M (il momento d’inerzia rispetto agli assi diametrali
è 2M R2 /5) e da un elemento pesante di massa m. Si indica con {O, ~ei } un riferimento
terrestre con asse 3 verticale ascendente.
0
~
e3 =~
e3
6
θ
0
'$
~
e2
qX *
C ~
O
ae2
H
ϕ H
0
~
e1
j ~e1
H
&%
La sfera è vincolata a ruotare attorno all’asse fisso 3. L’elemento, la cui posizione in figura
è indicata con X, è vincolato a muoversi su un meridiano solidale alla sfera. Il riferimento
0
solidale alla sfera {O, ~ei } è tale che il meridiano cui è vincolato l’elemento giace nel piano
solidale 1–3. Sul punto mobile X agisce la forza elastica di costante k e centro C tale che
−→
OC = 2R~e2 .
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Come coordinate lagrangiane si utilizzano le anomalie ϕ e θ indicate in figura. Considerato il moto del sistema relativo al riferimento terrestre, si determina l’energia potenziale
della sollecitazione conservativa:
U (θ, ϕ) = mgR cos θ − 2kR2 sin θ sin ϕ .
Si stabilisca quanto segue:
1. configurazioni di equilibrio:
2. stabilità delle configurazioni di equilibrio:
3. forza vincolare agente sull’elemento se il sistema viene posto a riposo nelle diverse
configurazioni di equilibrio:
4. si verifichi in tutti i casi discussi al punto precedente che la forza vincolare è ortogonale
al meridiano cui è vincolato l’elemento:
Quesito 3. Una lamina rigida è stata ottenuta praticando due fori circolari di raggio R/3
a un disco di raggio R. I due fori hanno centro su un asse diametrale e a distanza R/2 dal
centro del disco. Si indichi con M la massa della lamina cosı̀ ottenuta.
1. Si disegni il riferimento principale d’inerzia con origine il centro del disco e si determini
l’associata matrice d’inerzia:
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2. si determini la matrice d’inerzia relativa al riferimento ottenuto ruotando di π/4 il
riferimento principale attorno all’asse principale ortogonale alla lamina;
3. supposto che il corpo ruoti con velocità angolare costante λ attorno all’asse 1 del
riferimento ottenuto al punto precedente, si determinino l’energia cinetica e il momento
totale della quantità di moto calcolato usando come polo O.
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