Problemi su esponenziali e logaritmi

Prof.ssa Garagnani Elisa – ISIS Archimede
Problemi su esponenziali e logaritmi
Notazione. Nel seguito, con la scrittura Log x si intenderà log10 x.
1. A partire da ciascuna delle seguenti relazioni esplicita le lettere A e B indicando la
proprietà applicata in ciascun passaggio.
(a) 5 =
4
10AB
(b) 6 =
3
Log(A − B)
2. Dalle relazioni
(a) A =
P
QR · 10S
Å
R
(b) A = (P − 2Q) · Log
S
ã
esplicita le lettere P , Q, R e S, indicando la proprietà applicata in ciascun passaggio.
3. In chimica si introduce il pH di una sostanza nel modo seguente:
pH = − Log H +
dove il simbolo [H + ] indica la concentrazione degli ioni idrogeno presenti in una sostanza
(la concentrazione si misura in moli/ litro).
(a) Determina il pH delle seguenti sostanze:
• uova con [H + ] = 1, 6 · 10−2 moli/litro;
• pomodori con [H + ] = 6, 3 · 10−5 moli/litro.
(b) Determina la concentrazione [H + ] degli ioni idrogeno presenti nelle seguenti sostanze:
• aceto con pH = 3, 1;
• succo di limone con pH = 2, 3.
4. La luminosità di una stella osservata ad occhio nudo è misurata tramite la magnitudo
M , definita nel modo seguente:
M = 6 − 2, 5 Log
I
I0
dove I è l’intensità della luce emessa dalla stella e I0 è la minima intensità percepibile.
(a) Quanto vale la magnitudo delle stelle con la minima luminosità?
(b) Per le stelle più luminose sia ha M = 1, che cosa puoi dire dell’intensità I?
5. Per misurare gli effetti di un terremoto si usa spesso la scala Richter, proposta dal
sismologo Charles Richter nel 1935. In base a tale scala si calcola la magnitudo M di
un terremoto valendosi della seguente formula:
M=
E
2
Log
3
E0
dove E (misurata in Joule) è l’energia totale sviluppata dal terremoto ed E0 è la minima
energia rilevata in un terremoto.
(a) Se un terremoto di magnitudo M = 5, 5 ha E = 1013 J, quanto vale E0 ?
(b) Un terremoto del 2011 in Giappone aveva una magnitudo M = 7, 4. Quanta
energia è stata liberata in quel terremoto?
6. Per misurare l’intensità della sensazione prodotta da un suono si applica la formula:
S = 10 Log
P
P0
dove S è la misura in decibel dell’intensità della sensazione udita, P e? una misura
della potenza trasmessa dall’onda sonora, espressa in W/m2 (watt al metro quadrato),
e P0 è la potenza corrispondente alla minima intensità udibile dall’orecchio umano.
(a) Un’onda sonora che ha una potenza P di 10−7 W/m2 produce una sensazione di
50 decibel; quanto vale P0 ?
(b) Un suono ha un’intensita? S di 80 decibel; quanto vale la potenza trasmessa
dall’onda sonora?
(c) Due ragazzi suonano in casa una chitarra elettrica che produce un suono intenso
60 decibel e un basso elettrico che produce un suono intenso 40 decibel. Qual è
l’intensità complessiva della sensazione sonora prodotta dai due ragazzi?
7. Un capitale di 1000 euro viene depositato in banca all’interesse annuo dell’1% = 0,01.
(a) Supponendo che venga mai prelevato denaro dal conto, determina:
• il capitale C1 (detto montante) alla fine del 1◦ anno;
• il montante C2 alla fine del 2◦ anno;
• il montante C3 alla fine del 3◦ anno.
(b) Trova una formula per esprimere il montante Cn alla fine dell’n-mo anno.
(c) Applica la formula trovata per rispondere alle seguenti domande:
• quanto vale il montante C20 alla fine del 20◦ anno?
• dopo quanti anni il capitale iniziale raddoppia?
8. Scrivi le seguenti formule più generali:
(a) per calcolare il montante Cn alla fine dell’n-mo anno, se un capitale iniziale di C0
euro viene depositato in banca all’interesse (composto) annuo dell’1% = 0,01;
(b) per calcolare il montante Cn alla fine dell’n-mo anno, se un capitale iniziale di
1000 euro viene depositato in banca all’interesse (composto) annuo i.
9. Scrivi una formula generale per avere il montante Cn alla fine dell’n-esimo anno, se un
capitale iniziale di C0 euro viene depositato in banca all’interesse (composto) annuo i.
10. Applica la formula trovata nell’esercizio 9 per risolvere i seguenti quesiti:
(a) Quanti anni occorrono per avere un montante Cn = 8000 euro, impiegando un
capitale iniziale C0 = 500 euro ad un tasso d’interesse annuo del 2%?
(b) Scrivi una formula per calcolare il numero n di anni necessari per ottenere un
montante Cn a partire dal capitale C0 impiegato ad un tasso annuo d’interesse i.
11. Applica la formula trovata nell’esercizio 9 per risolvere i seguenti quesiti:
(a) Quale capitale iniziale C0 si deve impiegare, ad un tasso del 2, 5%, per avere dopo
5 anni un montante C5 di 3000 euro?
(b) Scrivi una formula per calcolare quale capitale iniziale C0 si deve impiegare, ad
un tasso i, per avere dopo n anni un montante Cn . In tal caso C0 è detto valore
attuale di Cn , disponibile dopo n anni.
12. Applica la formula trovata nell’esercizio 9 per risolvere i seguenti quesiti:
(a) A quale tasso di interesse i si deve impiegare un capitale iniziale C0 di 4000 euro,
per avere dopo 10 anni un montante C10 = 5000 euro?
(b) Scrivi una formula per calcolare il tasso d’interesse i al quale si deve impiegare un
capitale C0 per avere dopo n anni un montante Cn .