Programma del corso

Metodi Matematici – Laurea in Matematica
Anno Accademico 2014–2015
Docente: Umberto Marconi
PROGRAMMA
1. Funzioni di variabile complessa
Conoscere le proprietà delle serie di potenze, in particolare: convergenza uniforme, derivabilità
termine a termine, serie di Taylor.
Derivata complessa. Differenziabilità in senso reale e in senso complesso. Condizioni di CauchyRiemann. Funzioni olomorfe; Caratterizzazione. Inversione locale. Determinazioni del logaritmo
complesso. Funzioni localmente costanti. Funzioni olomorfe e funzioni armoniche.
Cammini. Integrale di una funzione continua su un cammino; disuguaglianza fondamentale.
Circuiti omotopi; circuiti nullomotopi. Lemmi dell’arco di cerchio piccolo e dell’arco di cerchio
grande. La forma differenziale f (z) dz e la sua decomposizione reale. Teorema fondamentale del
calcolo; teorema del valor medio. Invarianza dell’integrale di una funzione olomorfa su circuiti
omotopi. Esistenza di primitive locali e globali. L’integrale di Laplace.
Trasformata di Cauchy e suo sviluppo in serie di potenze (analiticità). Derivata della trasformata
di Cauchy. Logaritmo di un cammino. Integrale su un circuito della forma differenziale z1 dz.
Integrale su un circuito di una derivata logaritmica. Indice di avvolgimento.
Formula integrale di Cauchy per il circolo. Le funzioni olomorfe sono analitiche e infinitamente
derivabili. Formula di Cauchy per le derivate successive. Formula di Cauchy e olomorfia. Stime
di Cauchy. Funzioni olomorfe intere. Teorema di Liouville e teorema fondamentale dell’algebra.
Teorema di Morera e teorema di Goursat (entrambi senza dim.). Ordine di una funzione olomorfa
in un punto. Divisibilità per (z − c)m . Ordine e coefficienti di Taylor. Molteplicità di uno zero.
Il lemma dello zero-insieme e il teorema di identità di due funzioni olomorfe. Esercizio [BCA,
2.5.7]. Versione locale del teorema della mappa aperta. Il teorema della mappa aperta. Saltare
[BCA, 2.8.2 e 2.8.3]. Il teorema del massimo modulo.
Serie bilatere. Corona di convergenza. Convergenza uniforme di una serie bilatera. Derivabilità termine a termine. Sviluppo in serie di Laurent. Singolarità isolate; caratterizzazione.
Classificazione delle singolarità isolate. Caratterizzazione delle singolarità eliminabili. Caratterizzazione delle singolarità polari. Ordine in una singolarità isolata. Residuo di una funzione in
una singolarità isolata. Poli del primo ordine e calcolo dei residui. Poli di ordine m e calcolo
dei residui. Ricordare cosa significa che un circuito è nullomotopo. Teorema dei residui nella
versione per circuiti mullomotopi. Teorema dell’indicatore logaritmico. Il lemma di Jordan.
Calcolo di integrali utilizzando il teorema dei residui.
2. Serie di Fourier
Disuguaglianza di Schwarz e disuguaglianza di Minkowsky, per le somme infinite e per gli integrali
(senza dim.). Gli spazi normati Lp (R), in particolare L1 (R), L2 (R), L∞ (R). Integrali di funzioni
1
2
periodiche e loro proprietà. Gli spazi normati Lpτ ; sapere perché L∞
τ ⊆ Lτ ⊆ Lτ e le inclusioni
sono lipschitziane. Il lemma di Riemann-Lebesgue. Condizione simmetrica di Dini. Perché una
funzione C 1 a tratti soddisfa la condizione simmetrica di Dini. Teorema integrale di Fourier
[SF, Prop. pag. 8]. Caso delle funzioni a variazione limitata (senza dim.). Caratteri. Spazi
di funzioni periodiche con norme rispetto alla misura normalizzata. Serie trigonometriche, in
forma complessa e in forma reale; relazioni tra i coefficienti. Ampiezza e fase. Ortonormalità
dei caratteri ed espressione integrale dei coefficienti di Fourier. I coefficienti di Fourier vanno a
zero all’infinito. ∑
Nuclei di Dirichlet.
∑ cos nϑ Teorema di convergenza puntuale per le serie di Fourier;
sin nϑ
e
utilizzando log(1 − z).
esempi. Le serie
n
n
1
2
Coefficienti di Fourier della traslata; conseguenze sulle armoniche pari e sulle armoniche dispari.
Coefficienti di Fourier delle derivate successive e ordine di infinitesimo dei coefficienti di Fourier.
Derivazione termine a termine.
Spazi a prodotto scalare (= spazi pre-hilbertiani). Distanza minima da un sottospazio vettoriale
e proiezione ortogonale. Proiezione ortogonale su un sottospazio di dimensione finita. Insiemi ortonormali. Sottospazio vettoriale generato da un insieme ortonormale. Disuguaglianza di
Bessel e conseguenza sulla numerabilità delle somme infinite. Spazi di Hilbert. Chiusura del
sottospazio vettoriale generato da una famiglia ortonormale: esistenza della proiezione. Caratterizzazione degli elementi che appartengono alla chiusura di un sottospazio vettoriale; identità
di Parseval. Lo spazio di Hilbert l2 (S). Ogni spazio di Hilbert è unitariamente isomorfo a
qualche l2 (S) (cenno di dim.). Gli spazi l2 (µ) sono spazi di Hilbert (senza dim.). Il sottospazio
vettoriale dei polinomi trigonometrici è denso in L2τ (cenno di dim.). Identità di Parseval per
f ∈ L2τ . Se f è periofica, continua e C 1 a tratti, allora la sua serie di Fourier converge totalmente
e quindi uniformemente. Utilizzo dell’identità di Parseval nel calcolo delle somme di alcune serie
notevoli. Isomorfismo di l2 (Z) con L2τ .
3. Trasformata di Fourier
Trasformata di Fourier di una funzione f ∈ L1 (R). La trasformata di Fourier va da L1 (R)
a C0 (R) ed è un operatore lineare continuo. Comportamento rispetto alla simmetrizzata e
alla simmetrica hermitiana; comportamento rispetto alle omotetie; comportamento rispetto alle
traslazioni e alle moltiplicazioni per caratteri. Derivata della trasformata e trasformata della
derivata; conseguenze sull’ordine di infinitesimo a ±∞. Calcolo di trasformate di Fourier.
Prodotti di convoluzione in L1 (R); sue proprietà. Trasformata della convoluzione. Perché il
prodotto di convoluzione non ammette unità. Continuità delle traslazioni (senza dim.). Unità
approssimate; convergenza a f di f ∗ gλ per λ → +∞ in L1 (R). Antitrasformata; sue proprietà.
Formula di inversione. Iniettività della trasformata. Lemma di dualità; formula di aggiunzione.
Dimostrazione della formula di inversione. Lo spazio X; sue proprietà e proprietà della trasformata Φ su X. Trasformata di Fourier in L2 (R). Cosa succede su L1 (R) ∩ L2 (R). Teorema di
Plancherel. Utilizzo del valore principale per determinare la trasformata di Fourier in L2 (R).
Esempi di calcolo. Teorema di inversione puntuale. Formula del campionamento di Shannon
(senza dim.). Gli esercizi 1 e 2 a pag. 22 di [TF].
BIBLIOGRAFIA
[DM]
[SP]
[BCA]
[SF]
[TF]
[TMS]
G. De Marco, Analisi Due, Decibel-Zanichelli.
G. De Marco, Serie di potenze ed esponenziale complesso.
G. De Marco, Basic Complex Analysis
G. De Marco, Serie di Fourier
G. De Marco, Trasformazione di Fourier classica
Tabella di marcia settimanale A.A. 2014/2015:
http://www.math.unipd.it/~umarconi/did.htm