MATEMATICA E STATISTICA CORSO A
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE MOLECOLARI
ESERCITATI CON ME!
I ESERCITAZIONE
1) Misure ripetute (materiale secco su vetrino) della lunghezza del
diametro maggiore D di un globulo rosso (ellittico) di una Lampreda di
mare, hanno dato i seguenti risultati:
11.6 µm, 11.2 µm, 12.3 µm, 11.6 µm
Determina valore stimato , errore assoluto ed errore relativo di D.
GUIDA ALL’ESERCIZIO 1: Che cosa devi sapere per risolvere questo
esercizio? …..Come si definisce e come si calcola il valore stimato di una
grandezza? Come si definisce e come si calcola l’errore assoluto? Come
si definisce e come si calcola l’errore relativo?
Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, r i v e d i
Lez2(Lezione06/10/08) ed Esercitaz2(Esercitaz 10/10/08).
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SOLUZIONE: Il valore stimato si calcola sommando il valore più piccolo
dei dati disponibili al valore più grande e dividendo per 2 la loro somma,
dunque (11.2+12.3)/2= 11.75 µm è il valore stimato; l’errore assoluto si
può calcolare facendo la differenza tra il valore più grande dei dati e il
valore stimato e dividendo per 2 la differenza: (12.3 –11.75)/2=0.275,
oppure facendo la differenza tra il valore stimato e il valore più piccolo
dei dati e dividendo la differenza per 2 (domandati:perché è la stessa
cosa del procedimento precedente?): (11.75-11.2)/2= 0.275;
l’errore relativo è dato dal rapporto tra errore assoluto e valore stimato,
dunque 0.275/11.75 ≈ 0.023, vale a dire 2.3%.
2) Si compongono PIN a cinque cifre disponendo di tutte le cifre 0, 1,
2,...,9. Calcolare
a) qual è la probabilità, scegliendo un PIN a caso, che la cifra 1 non
compaia ripetuta
b) qual è la probabilità, scegliendo un PIN a caso, che la cifra 1
compaia esattamente due volte
c) qual è la probabilità, scegliendo un PIN a caso, che la cifra 1
compaia almeno due volte
GUIDA ALL’ESERCIZIO 2: Che cosa devi sapere per risolvere
questo esercizio? …..Saper leggere con cura il testo; comprendere il
testo; conoscere un po’ di calcolo combinatorio; saper definire la
probabilità di un evento.
Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi
Lez4(Lezione13/10/08), Lez5 (lezione 22/10/08)Lez6(lezione 27/10/08),
Esercitaz3(Esercitazione 24/10) ed Esercitaz4(Esercitazione30/10).
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SOLUZIONE: a) Ci dobbiamo domandare: quali sono i PIN in cui la
cifra 1 non compare ripetuta? Sono PIN in cui la cifra 1 compare
esattamente una volta, oppure PIN in cui la cifra 1 non compare affatto.
Per calcolare la probabilità richiesta, possiamo far ricorso
all’impostazione classica, in cui si suppone equiprobabile l’estrazione di
un qualsiasi PIN. In tal caso ci domandiamo: quanti sono i PIN possibili ?
Ogni PIN è composto da 5 cifre, per ogni cifra ci sono 10 scelte, dunque
in tutto sono 105 (casi possibili); domandiamoci adesso quanti sono i PIN
che soddisfano alla richiesta del punto a)? Se la cifra 1 compare una sola
volta, può comparire come prima cifra , oppure seconda o terza o quarta
o quinta, in tutto sono 5 casi, per ognuno di questi le altre 4 cifre non
devono essere 1, quindi per ognuna di esse ci sono 9 possibilità, dunque i
PIN in cui 1 compare una sola volta sono 5·94, a questo numero dobbiamo
sommare il numero di PIN in cui la cifra 1 non compare mai: 95, dunque i
casi “favorevoli” sono 5·94+95, la probabilità richiesta è data dal
rapporto tra il numero di casi “favorevoli” ed il numero di casi
possibili: (5·94+95)/ 105 .
Altro modo di procedere: forse potresti avere pensato a calcolare la
probabilità richiesta riconoscendo nel problema la situazione tipica di una
distribuzione binomiale (rivedi Lez9 ed Esercitaz6): estrazioni ripetute
con rimessa. Infatti, per ogni cifra del PIN indipendentemente dalle altre,
si estrae 1 con probabilità 1/10, non si estrae 1 con probabilità 9/10,
poiché il PIN è formato da 5 cifre, si compiono 5 estrazioni, dunque la
probabilità di non estrarre mai 1 è (9/10)5, la probabilità di estrarre 1 solo
una volta è 5(1/10)(9/10)4, perciò la probabilità richiesta è
(9/10)5+5(1/10)(9/10)4, ovviamente si ottiene lo stesso risultato ottenuto
con il primo metodo.
b) impostazione classica: i PIN in cui la cifra 1 compare esattamente
due volte, devono avere le altre tre cifre diverse da 1 e quindi per
queste tre cifre ci sono 93 casi, le due cifre 1 possono trovarsi nel PIN
in (5·4)/2=10 modi (la prima cifra 1 ha 5 posti possibili, la seconda
cifra 1 ha 4 posti possibili, dunque 5·4=20, ma , poiché le due cifre 1
sono tra loro indistinguibili, dobbiamo dividere per 2 ottenendo 10),
dunque la probabilità richiesta è data da 10(93)/ 105
Utilizzando la legge binomiale: 10(1/10)2(9/10)5 (10 è il coefficiente
binomiale “5 su 2”, e conta in quanti modi in 5 “estrazioni” la cifra 1
possa uscire due sole volte)
d ) impostazione classica:per trovare il numero dei casi possibili
conviene contare quanti sono i PIN che non soddisfano alla
richiesta e sottrarli dal numero totale di PIN; non soddisfano alla
richiesta quei PIN che hanno una sola cifra 1 oppure nessuna,
dunque i PIN in cui la cifra 1 compare almeno due volte sono in
tutto 105 –(5·94+95), la probabilità richiesta è dunque
(105 –(5·94+95))/ 105
Utilizzando la legge binomiale: consideriamo anche in questo caso
l’evento contrario: 1 compare una sola volta oppure non compare mai,
tale evento ha probabilità (9/10)5+5(1/10)(9/10)4, l’evento richiesto ha
dunque probabilità 1-(9/10)5+5(1/10)(9/10)4
3) In un gioco d’azzardo viene estratto a caso un numero della tombola,
vinci 2 euro se il numero estratto è multiplo di 10, vinci 1 euro se il
numero estratto è multiplo di 3, perdi 1 euro in tutti gli altri casi. Calcola
il tuo guadagno medio.
GUIDA ALL’ESERCIZIO 3: Che cosa devi sapere per risolvere questo
esercizio? ….Saper definire una variabile aleatoria discreta, saper
definire il valor medio di una variabile aleatoria discreta.
Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, r i v e d i
Lez22(Lezione su variabili aleatorie discrete), Esercitaz5-309(Esercitazione su variabili aleatorie)
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SOLUZIONE:La vincita o la perdita a questo gioco d’azzardo deve
essere interpretata come una variabile aleatoria discreta X che ha tre
valori possibili: +2, +1, -1. Per definire la distribuzione di probabilità su
tali valori si deve tenere conto delle regole del gioco: si vince 2 se il
numero estratto è multiplo di 10, poiché ci sono 9 multipli di 10 tra i 90
numeri della tombola, questo evento accade con probabilità 9/90; si vince
1 se il numero estratto è multiplo di 3, poiché ci sono 30 multipli di 3 tra
i 90 numeri della tombola, questo evento accade con probabilità 30/90; si
perde 1 in tutti gli altri casi, che sono 90-39=51, quindi con probabilità
51/90 la variabile X assume il valore –1.
Ricordando la definizione di valor medio E(X) di una variabile aleatoria
discreta( somma dei prodotti tra i valori assunti dalla variabile e le
corrispondenti probabilità), si calcola
E(X)=2(9/90) + 1(30/90) –1(51/90)= -3/90 = - 1/10
4) Fai un esempio di funzione che sia decrescente su tutto R, abbia limite
per x→ - ∞ uguale ad 1 e sia f(0)=-2
GUIDA ALL’ESERCIZIO 4: Che cosa devi sapere per risolvere questo
esercizio? ….Conoscere la definizione di funzione e della sua
rappresentazione grafica nel piano cartesiano; Conoscere le funzioni
polinomiali, razionali, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche e
loro inverse ed i loro grafici; Conoscere la definizione di funzione
decrescente; conoscere il significato di limite, in particolare di limite
finito per x→ ∞ e saper rappresentare graficamente questa proprietà
Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi Lezioni1213/11/08, Lezione 17/11/08, Lezione 26/11/08, Lezioni 01-03/12/08,
Lezione 10/12/08, Lezione 11/12/08, Lezioni 15/12 e 17/12/08, Esercizi
di riconoscimento di grafici, Esercitazioni 18 e 19/12/08, Esercitaz 11I,II,III e IV parte
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SOLUZIONE: Si possono pensare ovviamente molte funzioni che
soddisfano ai requisiti richiesti; la prima funzione, con limite finito per
x→ -∞, a cui possiamo pensare è la funzione esponenziale ex, che è ,
però, una funzione crescente….basta allora prendere –ex per avere una
funzione decrescente; per soddisfare alla richiesta del limite dato e del
valore assunto in x=0, introduciamo due costanti a, b : f(x)=a –bex,
imponiamo le due condizioni: lim x→ -∞ f(x)=a =1, f(0)= a-b=-2, da cui
a=1 e b=3, dunque f(x)= 1 –3ex è una delle funzioni che soddisfano ai
requisiti dell’esercizio.
5) a) Calcola la derivata prima della funzione tan(πx);
b) determina l’insieme di tutte le primitive della funzione tan(πx).
GUIDA ALL’ESERCIZIO 5: Che cosa devi sapere per risolvere questo
esercizio? …..Come si definisce e come si calcola la derivata di una
funzione; come si definisce e come si calcola una primitiva di una
funzione
Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, r i v e d i
Lez19(Lezione 17/02/09), Lez21(Lezioni 24-25/2/09 Integrali) ed
Esercitaz19/2/09, Esercitaz26/2/09 .
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SOLUZIONE: a) Si tratta di calcolare la derivata di una funzione
composta, ricordando la derivata della funzione tangente e la regola di
derivazione di una funzione composta, si ottiene π/cos2(πx); b)
ricordando che una primitiva della funzione tanx è –log|cosx|, si ottiene
l’insieme delle primitive –log|cos(πx)|/π + k, per ogni k reale.
6) Studia la funzione f(x)=x2 /log|x| e disegnane un grafico.
GUIDA ALL’ESERCIZIO 6: Che cosa devi sapere per risolvere questo
esercizio?…Vedi quanto detto per l’esercizio 4, e per l’esercizio 5
(derivate), aggiungi Lez20(Lezione 18/2/09)
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SOLUZIONE:
1) Insieme di definizione: log|x| è definito per ogni x≠0, essendo al
denominatore si deve avere log|x|≠0 e quindi x≠ 1, -1, quindi la
funzione è definita nell’insieme (-∞, -1)∪(-1,0)∪(0,1)∪(1, +∞);
2) Si osserva che la funzione è pari, vale a dire f(-x)=f(x), quindi il
grafico presenta una simmetria rispetto all’asse delle ordinate, è
quindi sufficiente condurre lo studio per x>0, e così faremo da ora
in poi;
3) La funzione è positiva quando log|x| >0 quindi per x>1, e di
conseguenza anche per x<-1;
4) Calcoliamo i seguenti limiti:
limite per x →0+,il numeratore tende a 0 il denominatore a ∞,
quindi il loro rapporto è come il prodotto tra due infinitesimi, quindi il
limite è 0,
per x→1+, il logaritmo tende a 0 positivamente, il numeratore tende
a 1, quindi f(x) tende a +∞
per x →1-, il logaritmo tende a 0 negativamente, il numeratore
tende a 1, quindi f(x) tende a -∞
ed infine per x →+∞, sia numeratore che denominatore tendono a
+∞, ma sappiamo che l’ordine di infinito del numeratore è superiore a
quello del denominatore, quindi f(x) tende a +∞;
5) calcoliamo la derivata prima(sempre per x>0), si ha
f’(x)= (2xlogx –x)/(logx) 2, si osserva che f’(x)=0 per 2logx-1=0,
vale a dire logx=1/2, quindi per x=√e, inoltre f’(x)<0 per x<√e,
f’(x)>0 per x>√e, quindi in x=√e si ha un punto di minimo relativo, e
si ha f(√e)=2e;
6 ) si osserva che l’immagine della funzione è data dall’insieme
(-∞, 0)∪[ 2e, +∞);
7) calcoliamo la derivata seconda, si ottiene
f’’(x)=(2(logx)2-3logx+2)/(logx)3, studiando il segno si
osserva che il numeratore è sempre positivo mentre il denominatore ha
il segno di logx e quindi è positivo per x>1, ne segue che f’’(x)>0 per
x>1 e quindi la funzione è convessa(concavità verso l’alto), mentre
per 0<x<1 f’’(x)<0 e dunque f(x) è concava;
8) calcolando il limite destro per x che tende a 0 della derivata prima
si ottiene 0 e questo ci dice che il grafico di f(x) (riportato qui di
seguito) ha tangente orizzontale in x=0.
