A.A. 2011/12
MATEMATICA PARTE A
6 crediti, I semestre
REGISTRO ELETTRONICO DELLE LEZIONI
IMPORTANTE: Le definizioni ed i risultati fondamentali per poter studiare con profitto sono
scritti in grassetto.
Mer 5.X.11, 1 ora (Tot. 1 ora)
Notazioni per numeri naturali, interi, razionali, reali. Assiomi dei numeri reali inerenti le operazioni
aritmetiche e l’ordinamento.
Gio 6.X.10, 2 ore (Tot. 3 ore)
Assioma di completezza. Esempi ed esercizi.
Notazioni insiemistiche, quantificatori, simboli di appartenenza e di inclusione; operazioni con
insiemi: unione, intersezione, differenza, differenza simmetrica, complementazione, Leggi di De
Morgan. Esempi ed esercizi.
Funzioni; funzioni iniettive, suriettive, biunivoche.
Lun 10.X.11, 2 ore (Tot. 5)
Equazioni di definizione della funzione inversa. Prodotto cartesiano di insiemi; grafico di una
funzione; significato geometrico di iniettività, suriettività, biunivocità.. Esercizi, esercizi, esercizi.
Gio 13.X.11 2 ore (tot. 7 ore)
Notazioni sugli intervalli in R.
Funzioni elementari: Funzioni lineari: rette come grafici di funzioni lineari. Rette parallele e
perpendicolari.. Pendenza. Ordinata all’origine. Funzioni potenze ad esponente prima naturale, poi
intero, poi razionale, poi reale. Funzioni esponenziali con base maggiore e minire di uno. Funzioni
logaritmo. Proprietà. Esercizi su disuguaglianze esponenziali e logaritmiche.
Lun 17.X.11 2 ore (tot. 9 ore)
Funzioni elementari: Funzioni trigonometriche sen, cos, tg introdotte per via geometrica, estese poi
alla geometria analitica ed infine all’analisi matematica.
Gio 20.X.11, 2 ore (tot. 11 ore)
Funzioni elementari: sen, cos, tg, arcsen, arccos, arctg. Tutto compreso i grafici. Esercizi
Lun 24.X.11, 2 ore (tot. 13 ore)
Principio di induzione. Somma dei primi n naturali; somma dei quadrati dei primi n naturali;
somma geometrica; Disuguaglianza di Bernoulli.
Principio fondamentale del Calcolo Combinatorio: disposizioni semplici, permutazioni,
combinazioni.
Esercizi
Gio 27.X.11, 2 ore (tot. 15 ore)
Formula del binomio di Newton. Proprietà dei coefficienti binomiali (con dimostrazione).
Successioni. Sostegno di una successione. Definizione di limite di una successione. Successioni
convergenti, divergenti positivamente e negativamente (regolari). Successioni non regolari (o
oscillanti). Successioni limitate. Unicità del limite. Osservazioni varie sul concetto di limite.
Esercizi
Gio 3.XI.11, 2 ore (tot. 17 ore)
Operazioni con i limiti (con dimostrazione)
Forme indeterminate.
Teoremi di confronto: Teorema della permanenza del segno, Corollario 1, Corollario 2,
Teorema dei Carabinieri (tutti con dimostrazione)
Teorema: Il prodotto di una successione limitata per una infinitesima è infinitesimo.
Alcuni limiti notevoli: lim an.
Lun 7.XI.11, 2 ore (tot. 19 ore)
1 − cos a n
sen a n
Limiti notevoli: lim n a ; lim n n b ; lim
con a n infinitesima; lim
an
a n2
Successioni monotone. Teorema fondamentale sulle successioni monotone.
n
1
Applicazione: lim 1 +
n
Gio 10.XI.11, 2 ore (tot. 21 ore)
Infiniti ed infinitesimi.
Ordine di infinito e di infinitesimo.
Principio di sostituzione degli infiniti e degli infinitesimi.
Criterio del rapporto per le successioni.
Esercizi. Esercizi. Esercizi.
Sottosuccessioni.
Teorema di Bolzano-Weierstrass (con dimostrazione utilizzando il metodo di bisezione)
Lun 14.XI.11, 2ore (tot. 23 ore) (Lezione tenuta da Caterina Nardi)
Successioni di Cauchy. Criterio di Covergenza di Cauchy.
limite. Esercizi
Gio 17.XI.11, 2ore (tot. 25 ore) (Lezione tenuta da Caterina Nardi)
Tutte
e
16
le
definizioni
di
limite.
Grande
geometrico. Teorema ponte.
Lun 21.XI.11, 2ore (tot. 27 ore) (Lezione tenuta da Caterina Nardi)
Esercizi sui limiti di funzioni.
Funzioni continue. Punti di discontinuità.
Teorema della permanenza del segno.
Gio 24.XI.11, 2ore (tot. 29 ore) (Lezione tenuta da Caterina Nardi)
Teorema di esistenza degli zeri con il metodo di bisezione.
Primo teorema dei valori intermedi.
Teorema di Weierstrass.
Secondo teorema dei valori intermedi.
Criterio di continuità per le funzioni monotone.
Esempi ed esercizi.
Massimo
rilevanza
al
e
minimo
significato
Lun 28.11.11, 2 ore (tot. 31 ore)
Definizione di derivata con tutti i significati e le notazioni possibili, compresa la tangente
trigonometrica della retta tangente. Operazioni con le derivate: somma, prodotto, differenza,
quoziente, composizione. Derivata della funzione inversa. Derivata di lgax e di sen x.
TUTTO CON DIMOSTRAZIONI
Gio 1.XII.11, 2 ore (tot. 33 ore)
Dimostrazione delle derivate di tutte le funzioni elementari.
Equazione della retta tangente.
Teorema: la differenza fra la funzione e il valore della retta tangente in (x o, f(xo)) calcolata in
un punto x, è un infinitesimo di ordine superiore ad x – xo. con dimostrazione.
Esercizi sul calcolo approssimato di funzioni trascendenti
Teorema di Rolle (con dimostrazione)
Lun 5.XII.11, 2 ore (tot. 35 ore)
Seminario di Beppe Conti su Matematica, Musica e Architettura.
Lun 12.XII.11, 2 ore (tot. 37 ore)
Teorema di Fermat
Teorema di Rolle
Teorema di Lagrange
Studio della crescenza con la derivata prima
Funzioni convesse
Gio 15.XII.11, 2 ore (tot. 39 ore)
Asintoti.
Esercizi su studi di funzione
Lun 19.XII.11, 2 ore (tot. 41 ore)
Polinomio di Taylor.
Resto nella forma di Peano
Resto nella forma di Lagrange
Sviluppo del polinomio di Taylor delle funzioni elementari
Gio 22.XII.11, 2 ore (tot. 43 ore)
Integrazione definita: partizioni, somme inferiori, somme superiori.
L’integrale come inf delle somme superiori e sup delle somme inferiori.
Proprietà degli integrali definiti.
Teorema della media
Teorema fondamentale del Calcolo Integrale
Primitive di una funzione
Formula fondamentale del Calcolo Integrale
Lun 9.I.12, 2 ore (tot. 45 ore)
Primitive delle funzioni elementari come antiderivate
Metodo di integrazione per parti
Metodo di integrazione per sostituzione
Integrazione delle funzioni razionali
Gio 12.I.12, 2 ore (tot. 47 ore)
Ancora sull’integrazione delle funzioni razionali.
Area racchiusa fra il grafico di una funzione e l’asse x.
Area racchiusa fra il grafico di due funzioni
Volume del solido di rotazione generato dal grafico di una funzione attorno all’asse delle
ascisse (FORMULA DEL SALAME)
Volume del solido di rotazione generato dal grafico di una funzione attorno all’asse delle
ordinate (FORMULA DELLA CARTA IGIENICA)
Lun 16.I.12, 2 ore (tot. 49 ore)
Equazioni differenziali del primo ordine, lineari e a variabili separabili
Simulazione della prova scritta d’esame
IL CORSO E’ FINITO!!!
CHE VI SIA UTILE PER IL PROSIEGUO DEI VOSTRI STUDI
SIA DAL PUNTO DI VISTA INFORMATIVO
CHE DAL PUNTO DI VISTA FORMATIVO
