Programma di MATEMATICA (A-K): A.A. 2005/06
Richiami sulla nozione di insieme e funzioni iniettive, surgettive e bigettive. Equipotenza di insiemi.
Cenni di calcolo combinatorio. Numeri naturali e principio di induzione. Esempi e applicazioni al calcolo di
varie sommatorie. I coefficienti binomiali e la formula del binomio (triangolo di Pascal-Tartaglia).
Definizione (ed esempi) di: funzione, dominio, codominio, immagine, grafico. Funzioni iniettive, suriettive
e biiettive. Funzione inversa. Corrispondenze biiettive tra insiemi finiti e concetto di cardinalità ed insiemi
equipotenti. Alcuni esempi di corrispondenze biiettive tra insiemi infiniti e loro sottoinsiemi propri.
Numeri razionali e irrazionali: Assioma di continuità ed esistenza dell’estremo superiore e inferiore per
sottoinsiemi reali limitati e non vuoti. Differenza e analogie tra massimo ed estremo superiore (e tra minimo e “inf”). Prime applicazioni e calcolo dell’estremo superiore e inferiore per insiemi reali elementari.
Dimostrazione della non numerabilità dei numeri reali.
Massimo minimo, estremo superiore e inferiore di insiemi reali e per funzioni reali di variabile reale.
Definizione di successione reale. Successioni per ricorrenza e l’algoritmo di Erone. Limite di una successione
e relazione tra limitatezza ed esistenza del limite.
Limiti di funzioni reali definite su intervalli “bucati”, cioè limite per x → x0 per funzioni definite su di un
intervallo ]a, b[, eccetto al più il punto x0 ∈]a, b[. Definizione e primi esempi di esistenza e non esistenza del
limite. Teorema di unicità del limite. Teorema sulla somma, sul prodotto e sul rapporto dei limiti. Teorema
della permamenza del segno e teorema “dei due carabinieri”. Uso di questi teoremi per il calcolo dei limiti
notevoli. Limiti infiniti. Teorema di esistenza del limite destro e sinistro per funzioni monotone e limitate.
Calcolo di alcuni limiti notevoli (il numero* “e”), risoluzione di alcune forme indeterminate del tipo 0/0.
Limiti all’infinito, primi esempi (polinomio fratto polinomio). (anche i casi x → ±∞)
Funzioni continue, definizione ed esempi. Classificazione delle discontinuità. Teorema degli zeri, teorema
dei valori intermedi e relative applicazioni. Teorema di Weierstrass*: esempi, controesempi e conseguenze.
Relazione tra continuità, monotonia e invertibilità per funzioni definite su intervalli*. Studio della continuità
per funzioni definite a tratti.
La nozione di derivata: limite del rapporto incrementale. Regole per il calcolo della derivata di somma,
prodotto, rapporto e composizione di funzioni derivabili. Derivate delle funzioni trigonometriche (anche
inverse) ed esponenziali. Derivata destra e sinistra e studio della derivabilità per funzioni definite a tratti.
Calcolo della retta tangente.
Teorema di Fermat; Teoremi di Rolle e Lagrange*. Applicazioni e prime conseguenze. Applicazione
allo studio della crescenza e decrescenza e alla determinazione dei punti di massimo e di minimo interni e
non-interni per funzioni derivabili. Regole di de L’Hôpital* per la risoluzione di alcune forme indeterminate.
Uso della derivata seconda (e successive) nello studio dei massimi e dei minimi. Calcolo del polinomio di
Taylor* (cenni sul resto nella forma di Lagrange) e applicazione allo studio della convessità e della concavità.
La nozione di funzione semplice. Integrale di una funzione semplice e nozione di integrabilità secondo
Riemann. Integrabilità delle funzioni continue* o al più discontinue in un numero finito di punti*. Integrabilità delle funzioni monotone. Teoremi della media integrale e teorema fondamentale del calcolo integrale.
Formula di Torricelli-Barrow e calcolo degli integrali definiti e indefiniti di funzioni elementari. Integrazione
per parti e per sostituzione con esempi e applicazioni. Integrazione di alcune funzioni razionali (denominatore di grado 2 o 3). Integrazione di funzioni non limitate nell’intorno di un numero finito di punti o anche
definite su intervalli non limitati.
Numeri complessi in forma algebrica e trigonometrica, formule di conversione tra le due espressioni.
Operazioni di somma, prodotto, coniugio e calcolo del reciproco con rispettive interpretazione geometriche.
Equazioni e disequazioni elementari nel campo complesso. Teorema fondamentale dell’algebra*. Calcolo
delle radici n−esime di un numero complesso.
Generalità* sulle equazioni differenziali ordinarie e sul problema di Cauchy. Tecniche risolutive per le
equazioni a variabili separabili e per equazioni lineari, omogenee e a coefficienti costanti. Equazioni lineari
non omogenee: soluzioni particolari con e senza risonanza.
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R
Vettori applicati, definizione di spazio vettoriale sui numeri reali, esempi. Lo spazio n : somma di vettori,
norma, prodotto scalare, diseguaglianza di Schwarz, diseguaglianza triangolare e proiezione. Definizione di
sottospazio e primi esempi.
Combinazioni lineari e dipendenza o indipendenza lineare di sistemi di vettori. Definizione e differenze
tra sistema di generatori e base. Il concetto di dimensione. Un esempio di spazio a dimensione infinita: i
polinomi. Spazi di matrici. Prodotto riga per colonna e sistemi lineari n × n in forma matriciale.
Risolubilità dei sistemi lineari non-omogenei se il termine noto appartiene allo spazio generato dalle
colonne. Metodo della eliminazione di Gauss per sistemi quadrati e risolubilità dei sistemi triangolari se i
pivot sono diversi da zero. Riduzione di una matrice quadrata a matrice triangolare superiore con operazioni
tra righe. Esempi di spazi e sottospazi vettoriali (polinomi, matrici triangolari, simmetriche e diagonali,
etc.. . . )
Teorema di Struttura* per le soluzioni dei sistemi lineari. Matrice rettangolare associata ad una applicazione lineare (tra spazi di dimensione non necessariamente uguale) e alla composizione di applicazioni:
prodotto righe per colonne e sue proprietà elementari. Matrice trasposta
Nucleo e immagine di una applicazione lineare. Sistema di generatori per l’immagine e teorema della
dimensione* che lega dim(Ker), Rango e dimensione dello spazio di partenza.
Teorema di Rouché-Capelli e proprietà di iniettività e surgettività per le applicazioni lineari. Matrici
a scala, riduzione a scala di una matrice rettangolare tramite operazioni di combinazione lineare tra righe.
Applicazione alla risoluzione dei sistemi rettangolari, al calcolo del rango, della immagine e del nucleo di una
applicazione lineare.
Calcolo del determinante di una matrice quadrata tramite la eliminazione di Gauss e tramite lo sviluppo
di Laplace. Invertibilità di una matrice e legame col teorema di Binet*. Formula di Cramer*, formula per il
calcolo della matrice inversa* e teorema degli orlati*
I teoremi con l’asterico sono stati enunciati e spiegati, ma non ne è stata data la dimostrazione.
Aggiornato al 15/12/2005
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