Matematica del Continuo
(Informatica Musicale, a.a. 2014/2015, primo anno, primo semestre)
Prof. Livio Pizzocchero
Esercitazioni: Dott. Davide Fermi
Obiettivi
A) Fornire le conoscenze di base relative ai numeri reali e complessi, e alcuni
rudimenti di algebra lineare.
B) Introdurre alcune funzioni elementari e i concetti di base del calcolo differenziale
e integrale, soprattutto per le funzioni reali (o complesse) di una variabile reale.
Programma (molto simile a quello del corso tenuto fino all'a.a. 2013/14 con la
denominazione di Istituzioni di Matematica)
1. Concetti elementari della teoria degli insiemi. Relazioni su insiemi. Applicazioni
tra insiemi. Cenni di calcolo combinatorio.
2. Gli insiemi N,Z,Q,R dei numeri naturali, interi relativi, razionali e reali, con le
loro strutture algebriche e di ordine. Completezza di R. Gli spazi R^n
(n=1,2,3,…).
3. Cenni sulla nozione astratta di spazio vettoriale. Applicazioni lineari tra spazi
vettoriali e matrici. Equazioni lineari.
4. Generalità sulle funzioni definite su un sottoinsieme di R, a valori in R. Nozioni
di limite e continuità per tali funzioni. Alcune funzioni elementari: polinomi,
esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche.
5. Le successioni reali, e la relativa nozione di limite. Serie reali.
6. Nozione di derivata per le funzioni reali di una variabile reale. Discussione sul
significato geometrico della derivata, e sulle sue applicazioni. Derivate delle
funzioni elementari. Principali proprietà delle funzioni derivabili.
7. Derivate di ordine superiore al primo. Formula di Taylor. Uso della formula di
Taylor nel calcolo dei limiti. Cenni sulla serie di Taylor.
8. Uso delle derivate per determinare i punti di massimo e di minimo di una
funzione reale di una variabile reale, e gli intervalli in cui tale funzione è
crescente, decrescente, convessa o concava.
9. Teoria dell'integrazione secondo Riemann per le funzioni reali di una variabile
reale. Significato geometrico dell'integrale di Riemann. Il teorema fondamentale
del calcolo. Principali regole di integrazione.
10. Il campo complesso. Modulo, argomento e rappresentazione trigonometrica di un
numero complesso. Cenni sui limiti, sulla derivazione e sull'integrazione di
funzioni a valori complessi. Cenni sulle successioni e le serie complesse.
L'esponenziale in campo complesso; formula di Eulero. Radici n-esime di un
numero complesso. Il teorema fondamentale dell'algebra.
Modalità d’esame: scritto e orale (per ulteriori informazioni, si veda la
pagina web del docente)
Materiale di riferimento
Gli argomenti trattati durante il corso sono coperti in gran parte da appunti,
disponibili in formato elettronico sulla pagina web del docente all'indirizzo
http://users.mat.unimi.it/users/pizzocchero/
La stessa pagina web contiene molte informazioni riguardo agli esami (ad
esempio: risultati degli scritti; testi degli scritti degli appelli precedenti;
elenco degli argomenti a cui dedicare particolare attenzione nella
preparazione dell'orale). Per accedere a queste informazioni, seguire uno
dei due percorsi:
didattica -> pagine per gli studenti di Matematica del Continuo (a.a.
2014/14) e Istituzioni di Matematica (fino all' a.a. 2013/14)
didattica -> notizie varie per gli studenti di Matematica del Continuo e
Istituzioni di Matematica
Si segnalano anche i siti didattici ''Minimat'' e ''Matematica assistita''
disponibili sul sito dell'Università degli Studi di Milano presso il portale
Ariel, con indirizzo http://www.ariel.unimi.it/User/Default.aspx .
Per consultazione o per approfondimento degli argomenti trattati durante
le lezioni, è possibile utilizzare qualcuno dei seguenti testi:
● A. Avantaggiati, ''Istituzioni di matematica'', Ed. Ambrosiana;
● G.C. Barozzi, C. Corradi, ''Matematica generale per le scienze
economiche'', Ed. Il Mulino;
● G.C. Barozzi, ''Primo corso di analisi matematica'', Ed. Zanichelli;
● A. Guerraggio, ''Matematica generale'', Ed. Bollati Boringhieri.
Si raccomanda vivamente di seguire il corso, comprese le
esercitazioni!!!
Programma in inglese
1. Basic concepts of set theory. Relations on sets. Mappings between sets. Basics of
enumerative combinatorics.
2. The sets N,Z,Q,R of natural numbers, relative integers, rational and real numbers, with their
algebraic structures and order relations. Completeness of R. The spaces R^n (n=1,2,3,…).
3. A sketch of the abstract notion of vector space. Linear mappings between vector spaces and
matrices. Linear equations.
4. Some generalities on real functions from a subset of R to R. The notions of limit and
continuity for such functions. Some elementary functions: polynomials, exponential,
logarithm, trigonometric functions.
5. Real sequences and their limits. Real series.
6. The derivative of a real function of one real variable . A discussion on the geometrical
meaning and on the applications of the derivative. Derivatives of elementary functions.
Basic facts about derivable functions.
7. Higher order derivatives. Taylor's formula. Use of Taylor's formula in the computation of
limits. Taylor's series.
8. How to use the derivatives to determine the maximum and minimum points of a real
function of one real variable, as well as the intervals where the function is increasing,
decreasing, convex or concave.
9. The theory of Riemann's integral for real functions of one real variable. Geometrical
meaning of Riemann's integral. The ''fundamental theorem of calculus''. Basic integration
rules.
10. The field C of complex numbers. Modulus, argument and trigonometric representation of a
complex number. A sketch of the notions of limit, derivative and integral for complex
valued functions. Complex sequences and series. The exponential function in the complex
field; Euler's formula. Roots of complex numbers. The fundamental theorem of algebra.
