I numeri naturali
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I NUMERI NATURALI
I primi insiemi che si incontrano in matematica sono quelli dei numeri; daremo qui una breve descrizione dei principali insiemi numerici,
delle loro operazioni e delle loro proprietà.
I numeri Naturali, N
Il primo insieme che prenderemo in esame è l’ insieme dei numeri naturali. Esso si indica con la lettera N e i suoi elementi sono i
numeri interi positivi, i primi numeri, storicamente, ad essere stati usati dall'umanità:
N = { 1 , 2 , 3 , 4 . . . . .}
Naturalmente gli elementi di N : 1 , 2 , 3 , 4 . . . sono infiniti.
In molti testi nei numeri naturali viene considerato anche lo 0, talvolta con la notazione:
N0 = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5…….}
In generale si preferisce indicare l’insieme dei naturali con N escludendo lo 0.
Ricordiamo che un‘operazione in un insieme A viene definita in generale come una legge che associa ad ogni coppia (a,b), ove a e b
A, un terzo numero c A ; cioè un'operazione in A è una funzione da AxA in A.
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Le 4 operazioni. Somma e prodotto.
Nell'insieme N consideriamo in genere le 4 operazioni (somma, prodotto, sottrazione e divisione), ma solo le prime due sono operazioni
nel senso definito sopra.
Le operazioni elementari che risultano ben definite nell’ insieme dei numeri naturali sono l’operazione di addizione (o somma) e quella
di moltiplicazione (o prodotto).
a+b=c
ab =f
Considereremo l’ operazione di addizione come nota; la moltiplicazione viene definita come una addizione ripetuta: eseguire il prodotto di
a e b N significa fare:
ab = a + a + a + ... + a (b volte) = b + b + ... + b (a volte).
L’ operazione di addizione gode delle seguenti proprietà:
1) proprietà commutativa della somma: Per qualsiasi a,b
N:
a+b=b+a .
2) proprietà associativa della somma: Per qualsiasi a,b,c N:
(a+b)+c=(c+a)+b .
3) esistenza dell’ elemento neutro per la somma; l'elementro neutro per l'addizione è lo 0, infatti per esso vale:
Per qualsiasi a
N:
a+0=a.
L’ operazione di moltiplicazione gode di proprietà analoghe:
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4) proprietà commutativa del prodotto: Per qualsiasi a,b
N:
a.b=b.a .
5) proprietà associativa del prodotto: Per qualsiasi a,b,c N:
(a.b).c=(c.a).b .
6) esistenza dell’ elemento neutro; l'elementro neutro per l'addizione è il numero 1, infatti per esso vale:
Per qualsiasi a
N:
a.1=a.
In oltre abbiamo la seguente proprietà che lega somma e prodotto:
7) proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma:
(a+b)c = ac + bc
torna all'inizio
Terminologia:
Si dice che l‘ insieme N è chiuso rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione per indicare che queste sono effettivamente
operazioni su N, cioè sempre eseguibili per qualsiasi a,b N . Se abbiamo
a+b=c
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allora gli elementi generici a e b vengono detti addendi mentre c prende il nome di somma.
Invece nella moltiplicazione
a+b=d , a e b vengono detti fattori ed il risultato d è detto prodotto.
Le 4 operazioni. Sottrazione e divisione.
Le operazioni di sottrazione e di divisione nell’ insieme dei numeri naturali non sono sempre possibili. Esse non sono vere e proprie
operazioni su N, cioè non sono funzioni definite da N x N in N.
Vediamo come si definisce (quando esiste) la sottrazione di due numeri naturali; si tratta dell'operazione inversa della somma:
Definizione: Dati due numeri naturali n, m
N , si dice n - m quel numero naturale x, se esiste, che sommato ad m dia n. Cioè :
n - m = x se e solo se n = m + x .
Si vede facilmente che n deve essere più grande di m per poter fare l’operazione di sottrazione (cioè perché x esista).
In modo analogo alla sottrazione si definisce la divisione:
Definizione: Dati due numeri naturali n, m
n. Cioè :
N , si dice n : m quel numero naturale x, se esiste ed è unico, che moltiplicato per m dia
n : m = x se n = m. x
Anche per la divisione è immediato constatare che x non esiste sempre, ma se e solo se n è un multiplo di m (cioè se esiste k
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N,
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tale che n = km), quindi l'operazione di divisione è eseguibile solo sulle coppie n,m
N tali che n = km .
Inoltre si e si può notare che non si potrà mai dividere per 0, infatti per avere ad esempio 8 : 0 = x si dovrebbe avere 8 = 0.x,
il che è falso qualunque sia x . Non si può neanche fare 0 : 0 in quanto tale operazione risulterebbe indeterminata, poichè per ogni
naturale x si ha: 0 = 0.x (cioè x non sarebbe unico), mentre nella definizione si chiede che x esista e sia unico.
L'elevazione a potenza.
Procedendo in modo analogo a come abbiamo definito la moltiplicazione a partire dalla somma, si può definire su N, ma ad esclusione
dello 0, l'operazione di elevazione a potenza :
Per qualsiasi n,m
N: con n, m diversi da 0, si pone nm = n . n ... n (m volte) .
Questa volta però non abbiamo proprietà analoghe alle precedenti (per esempio questa operazione non è né associativa né commutativa,
ad esempio: 32 e 23 sono diversi) .
Proprietà notevoli della elevazione a potenza sono:
p1) Per qualsiasi n,m
N:
p2) Per qualsiasi n,m
N:
p3) Per qualsiasi n,m
N:
Esempi:
t
(n.m) = nt.mt
(m+t)
m t
n
= n .n
(m.t)
mt
n
= (n )
511 = 5(4+7) = 54 57 ; 3(2.2) = (32)2 = 92 = 81.
Inoltre, come abbiamo detto, nm è a questo modo definito solo se m non è 0 (cosa vorrebbe dire moltiplicare n per se stesso "0
volte"?). Potremo però ampliare un po' questa definizione, estendendola anche al caso m = 0 , purché sia n diverso da 0, come vedremo fra
breve.
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Considderiamo ora come si comportano le potenze rispetto alle operazioni "parziali" di sottrazione e divisione; esse danno luogo a
proprietà delle potenze analoghe alle p1) e p2):
p4) Per qualsiasi n,m
N:
p5) Per qualsiasi n,m
N:
t
t
t
(n : m) = n : m
(m - t)
m
t
n
=n : n
La proprietà p5) ci pone un piccolo problema: m-t ha senso anche quando m= t , ma in questo caso avrei:
(m - t)
m t
m
m
n
= n0 = n : n = n : n = 1
mentre avevamo detto che n0 non era definito. Quello che possiamo fare allora è di estendere la definizione precedente di elevazione a
potenza, in modo da conservare vere le proprietà p1) - p5) anche in questo caso, ponendo :
Per qualsiasi n
N, se n non è 0,
si ha :
n0 = 1
Notiamo che non ha senso cercare di "interpretare" questa definizione come "moltiplicare n per se stesso 0 volte mi dà 1"; il definire n0
= 1 è un artificio che poniamo per avere l'elevazione a potenza anche in questo caso, conservando tutte le "buone proprietà" delle potenze.
Sottolineiamo che resta invece privo di senso elevare 0 alla 0: il simbolo 00 non rappresenta nessun numero (intuitivamente: abbiamo
che ogni numero elevato alla 0 dà 1, mentre 0 elevato ad una qualsiasi potenza dà 0; comunque definissimo 00 contravverremmo almeno
una di queste proprietà).
Continua
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