Compito di Fisica 2
Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica
16 maggio 2014
R1
+ +
+ + + +
+ + + +
+ + O + x0
+ + + +
+ +
1. Una sfera di raggio R1 = 10cm, con centro nell’origine del sistema di riferimento, O, è
carica con densità di carica volumetrica costante ρ = 10-8C/m3 . Nella sfera è presente
una cavità sferica, di raggio R2=0.2R1 con centro distante x0 = ½ R1 da O. Determinare:
(a) il campo elettrostatico nel centro della cavità; (b) il potenziale elettrostatico nel
centro della cavità ( avendo posto a zero il valore del potenziale all’infinito).
. .
2. Un condensatore a piani paralleli , separati dalla distanza d = 6mm, è riempito con
due materiali (d1=2mm ,d2=4mm) caratterizzati dai parametri: costante dielettrica
relativa: ε1r= 4, ε2r =12; conducibilità elettrica: σ1=1x10-2 1/Ωm; σ2=σ1/2. Una differenza
di potenziale V =20V è applicata tra le armature del condensatore. Determinare: (a) i
vettori campo elettrico e densità di corrente nei due materiali; (b) le densità superficiali
di carica all’interfaccia tra i due materiali.
1
2
V
z
3. Quale velocità deve avere una particella di carica q e massa trascurabile per viaggiare
parallelamente alla direzione di un filo rettilineo carico con densità lineare λ =0.1nC/m , a
distanza r dal filo, se nel filo scorre una corrente elettrica I = 4A nel verso dell’asse z ed il
materiale in cui la carica si trova immersa ha: costante dielettrica relativa εr=12, permeabilità
magnetica relativa µr ≈ 1?
I
v
r
4. Un disco di raggio a = 2cm ha una carica totale distribuita uniformemente di 20nC si trova nel vuoto. Si
calcoli il valore del vettore H ad una distanza x = 60cm dal disco (x>>a), sul suo asse di simmetria, se il disco
viene fatto ruotare con frequenza costante di 1000 giri/min intorno a tale asse.
5. Una spira quadrata di lato a, caratterizzata da una massa m, una
resistenza R ed un’induttanza L, al tempo t = 0 entra in una regione di
campo magnetico uniforme e costante B, in direzione orizzontale,
perpendicolare al piano della spira ed entrante nel foglio. Determinare
l’espressione dell’intensità di corrente elettrica e della velocità della spira
nel tempo ( quando la spira resta con un lato nella regione a campo
magnetico nullo ) assumendo che: (a) l’induttanza sia trascurabile, (b) la
resistenza sia trascurabile.
v
e
r
t
i
c
a
l
e
X
X
X
X
v
X
B
X
X
X X
X X
X X
x
Soluzioni
1. (a) Utilizzando il teorema di Gauss si ottiene che il campo elettrico prodotto all’interno della sfera di raggio
R1, se tutta la sfera fosse carica con densità volumetrica di carica costante ρ, è :
( )=
. Il campo che
produrrebbe una sfera pari alla cavità di raggio R2 se essa fosse carica con densità volumetrica ρ nella cavità
( )=
stessa è invece pari a :
( −
). Per il principio di sovrapposizione il campo elettrico nella cavità è
pari al campo prodotto dalla sfera carica senza cavità a cui sottraggo il campo che darebbe la cavità se essa
=
fosse carica:
−
( −( −
=
)) =
= costante.
(b) Ponendo a zero il suo valore all’infinito, il potenziale elettrostatico in un punto r generico all’interno di una
sfera senza cavità con densità volumetrica costante di raggio R risulta pari a:
( )=
=
+
(
=
)+
−
=
(3
−
).
Applichiamo il calcolo sia al potenziale V1 generato in x0 dalla sfera di raggio R1 senza cavità:
=
(3
−
) , che al potenziale generato nel suo centro dalla cavità di raggio R2 :
=
Allora , per il principio di sovrapposizione:
−
=
(3(
−
)−
).
=
.
2. (a) Trascurando gli effetti ai bordi possiamo scrivere V = E1d1 + E2 d2 . Inoltre la densità di corrente che scorre
nel materiale 1 è pari a quella che scorre nel materiale 2: σ1E1 = σ2E2. Mettendo in sistema queste due
equazioni abbiamo
è: # = $
=
! "
=
!
! "
!
e
=
! "
!
. La densità di corrente che scorre in entrambi i materiali
.
(b) Utilizzando: D= ε0εrE e P = ε0(εr-1)E abbiamo le cariche libere e legate all’interfaccia ( di area A ) dei
materiali 1 e 2 :
%
&
= ' ('
− 1)
=
( ) * )
! " !
;
%
&
= ' ('
− 1)
=
( ) * )
! " !
etc.
3. Perché la particella prosegua il suo moto con velocità costante parallela al filo bisogna che la forza elettrica
dovuta all’interazione tra carica q e densità lineare di carica del filo Fe = qE co+ =
,
-. n forza di Lorentz,
dovuta all’interazione della carica in moto con il campo magnetico prodotto dal filo di corrente FL = qvxB con
/=
0 1
5=
,
01
23 (legge di Biot Savart ) risultino uguali e opposte : 4
=
,
− 45
01
= 0 . Otteniamo:
,
0
0) 1
)
4. Possiamo suddividere il disco in corone circolari infinitesime di raggio r e area da = 2πrdr. Su ogni corona
circolare è presente la carica dq = σ da con σ = Q/πa2. Ciascuna corona circolare, ruotando con periodo T può
essere vista come una spira di corrente infinitesima dI = dq/T = σ f da . Tale spira infinitesima sull’asse x
a 2 dI
u x . Considerando che x >> a
2 (a 2 + x 2 )3/ 2
µ0
produce il campo dB =
7
5.
2
9
=7
?
2
;
>2< <=
=
;> ?
7
=
=
;>=
4
Quando la spira è parzialmente immersa nella regione di campo magnetico l’equazione del circuito è:
!1
/A5 − B !C = 9
(a) se L = 0 9 =
5(J) =
(b)
8=7
B = µ0H:
e
!F
e la legge di Newton si scrive: DE − /9A = D !C .
GHF
N O
IK
G H
!F
!C
→
L1 − M * PQ C R
=E−
G H F
I
e quindi 9(J) =
se R = 0 l’equazione del circuito diviene
tempo abbiamo:
! F
!C
G H
pulsazione: T = U
K
GH !1
= − I !C
IS
! F
→ !C = −
G H
IS
5,
!1
!C
. Integrando tale equazione differenziale si ottiene :
N O
IK
− M * PQ C R.
L1
GH
=
GHF
S
. Derivando l’equazione di Newton rispetto al
equazione che indica oscillazione armonica con
. Tenendo conto che per t = 0 si ha: v = 0, I = 0 abbiamo le soluzioni :
5(J) = V WMX(TJ)
K
e 9(J) = V (1 − YZW(TJ)).
