Esercitazione V - STATISTICA (CdL Economia) a.a. 2014/2015 1. Si consideri un campione casuale di dimensione = 5. Si stabilisca se il seguente stimatore è corretto: = 0,2 × + 0,3 × + 0,1 × + 0,1 × + 0,3 × a) Si calcoli l’errore quadratico medio. b) Si verifichi che lo stimatore è meno efficiente della media campionaria. 2. Con riferimento ad un campione casuale di ampiezza = 30 e ad una popolazione (generatrice) normale avente varianza 25, si determini la seguente probabilità 17,04 < < 36,69. 3. Si supponga che un indicatore della qualità della vita abbia distribuzione normale con media 74 e deviazione standard 18,1. a) Si calcoli l’errore standard della media per campioni di altezza = 100. b) Qual è il suo significato? c) Quale dovrebbe essere la dimensione campionaria del campione che assicura un errore standard della media pari alla metà di quello al punto precedente? 4. Si supponga che la variabile “possedere un computer” abbia nella popolazione distribuzione di Bernoulli con parametro = 0,4. a) Si elenchino tutti i possibili campioni di dimensione = 3. b) Si costruisca la distribuzione della media campionaria. c) Si verifichi che la media e la varianza di questa distribuzione coincidono con quelle teoriche. d) Si calcoli l’errore quadratico medio della media campionaria come stimatore del parametro . 5. La concentrazione di metalli pesanti riscontrata nei pesci è spesso utilizzata come misura dell’inquinamento ambientale. Un campione di 12 pesci viene perciò estratto da un lago e la concentrazione di zinco contenuta nel fegato dei pesci misurata (µg/g) risulta essere: 9,89; 10,05; 9,01; 8,57; 9,92; 6,84; 9,95; 8,8; 8,79; 7,98; 9; 11,46. Si assuma una distribuzione normale per la concentrazione di metalli pesanti nei pesci. a) Calcolare una stima della concentrazione media di zinco nel fegato dei pesci del lago. b) Costruire un intervallo fiduciario al 99% per la concentrazione media di zinco nel fegato dei pesci del lago. c) Fornire un intervallo fiduciario al 95% per la varianza. d) Precedenti studi condotti sullo stesso lago portano ad assegnare il valore 1,71 alla deviazione standard della popolazione. Calcolare l’intervallo fiduciario del punto b) alla luce di questa nuova informazione. 6. Al fine di stimare la quantità media, espressa in litri, del consumo mensile di benzina delle famiglie di un certo comune, viene condotta un’indagine su un campione di 213 famiglie ottenendo i seguenti risultati: ! ! = 34.293 − ̅ = 18.062.400 dove indica il consumo mensile dell’i-esima famiglia e ̅ la media campionaria dei consumi mensili di benzina. a) Si calcolino le stime del consumo medio mensile di benzina % e della sua varianza & . b) Determinare l’intervallo fiduciario al 95% per %. c) Determinare l’intervallo fiduciario al 90% per & . 7. Un’azienda acquista laminati da utilizzare nel processo produttivo. A tal fine risulta cruciale lo spessore dei laminati. Calcolare l’errore massimo di stima che si può commettere con probabilità 0,99 sulla base di un campione di 100 laminati il cui spessore medio è pari a 1,5 mm e varianza 0,01mm^2. 8. La seguente tabella riporta la distribuzione di un campione di 242 lavoratori classificati per classi di reddito (in migliaia di euro annui) e tipo di impiego: Tipo di lavoro Lavoratori dipendenti Liberi professionisti Totale 10-20 52 Classi di reddito 21-40 58 41-80 6 Totale 116 22 50 54 126 74 108 60 242 a) Relativamente ai lavoratori che guadagnano tra i 21 e i 40 mila euro l’anno, si calcoli l’intervallo fiduciario al 95% per la proporzione dei lavoratori dipendenti. b) Si calcoli l’intervallo fiduciario al 99% per il reddito medio dei liberi professionisti. c) Si determini l’intervallo fiduciario al 99% per la proporzione di lavoratori dipendenti nella popolazione. d) Alla luce del risultato di cui al punto precedente è plausibile affermare che la forza lavoro è suddivisa equamente tra lavoratori dipendenti e liberi professionisti? N. B.: Gli esercizi sono tratti dalle esercitazioni disponibili al sito http://www.stat.unipg.it/luca/stat.html (Modulo 4 e 5 capitolo Inferenza statistica). Sul sito sono presenti anche le soluzioni.