Lezioni di Statistica

CORSO DI LAUREA IN INFERMIERISTICA
LEZIONI DI STATISTICA
Parte II
Elaborazione dei dati
Variabilità
Lezioni di Statistica
VARIABILITA’
Si definisce variabilità la proprietà di
alcuni fenomeni di assumere valori
o modalità diverse.
I fenomeni che posseggono tale proprietà
di definiscono variabili,quelli che non
variano si definiscono costanti.
Tutti i fenomeni biologici sono variabili.
Lezioni di Statistica
La variabilità può essere studiata a livello individuale
(es.in una stessa persona) al variare di determinate
condizioni o circostanze oppure nel collettivo (es.in
una determinata popolazione)nelle medesime
condizioni o circostanze.
E’ possibile studiare la forma e la misura della
variabilità.
Per studiare la forma della variabilità si ricorre alla
rappresentazione grafica dei dati mediante diagrammi
cartesiani.
Le caratteristiche delle linee (in genere curve)
rappresentano la forma della variabilità.
Lezioni di Statistica
Forma della variabilità a livello individuale
Si ricorre ad un diagramma cartesiano
indicando sull’asse delle ascisse le
condizioni o circostanze nelle quali si
effettua la misurazione e nell’asse delle
ordinate i diversi valori che la variabile
assume
Lezioni di Statistica
Forma della variabilità nel collettivo
Si ricorre ad un diagramma cartesiano indicando
sull’asse delle ascisse i diversi valori che la variabile
assume e sull’asse delle ordinate il numero di
osservazioni (o la frequenza relativa)corrispondente
ai singoli valori (in questo caso tutte le misure
devono essere eseguite nelle stesse condizioni e
circostanze).
In alcuni casi, e sempre quando si tratta di fenomeni
biologici, la forma della variabilità assume un
aspetto caratteristico che si definisce curva normale
(o gaussiana).
Curva normale o gaussiana
Così per esempio per studiare la
distribuzione secondo la statura di un
collettivo di giovani di 18 anni occorre
riportare sull’asse delle ascisse i
diversi valori che la variabile assume
(statura m.1,50;1,60;1,70;ecc..) e
sull’asse delle ordinate le frequenze
assolute o percentuali corrispondenti ai
singoli valori (es.numero o percentuale
di giovani alti m.1,50; 1,60;1,70;ecc..)
Principali caratteristiche della curva
normale
• La curva di Gauss è simmetrica
• Se un fenomeno si distribuisce secondo una
curva normale la media aritmetica,la moda e
la mediana coincidono
• La curva di Gauss tende all’infinito
(da – infinito a + infinito)
• Ai due lati della moda la curva decresce
rapidamente fino ad un punto in cui la
rapidità di diminuzione è molto minore
(punti di flesso)
segue Principali caratteristiche della curva
normale
• L’area compresa tra la curva di Gauss e
l’asse delle ascisse (che si definisce area
sottesa alla curva di Gauss) corrisponde al
100% delle osservazioni
• La curva di Gauss è definita da una funzione
matematica che consente di calcolare le
frequenze(y) corrispondenti ai singoli valori
che la variabile assume(x).
Funzione della curva normale
_
1
1
y = -------- e
σ 2π
x i -x
- -- --------2
σ
2
segue Funzione della curva normale
dove
e
e
π
matematiche
e = 2,71828
π = 3,14159...
rappresentano due costanti
Lezioni di Statistica
Misure di variabilità
_ 2
Devianza
∑ ( xi – x )
_ 2
2
∑ ( xi – x )
Varianza
σ
=
---------------
N
Lezioni di Statistica
segue Misure di variabilità
_ 2
DEVIAZIONE
∑ (xi-x)
STANDARD
σ =
--------------N
(o scarto quadratico medio)
La formula serve a calcolare la deviazione
standard di una serie di valori e corrisponde
alla radice quadrata della varianza .
Lezioni di Statistica
Deviazione standard
Molto spesso, negli studi bio-medici, i
dati vengono riassunti attraverso il più
comune indice di tendenza centrale: la
media. In questo caso, per descrivere
compiutamente la popolazione, è
sempre necessario dichiarare anche,
come indice di variazione, il valore
della deviazione standard.
Lezioni di Statistica
• La deviazione standard (o scarto quadratico
medio) rappresenta la distanza media dei dati
dalla loro media.
• La deviazione standard è un ottimo indice di
variazione dei dati quando essi sono
distribuiti normalmente e rappresenta la
misura di variabilità più usata nella ricerca
scientifica e in campo clinico.
CALCOLO DELLA DEVIAZIONE STANDARD QUANDO
IL NUMERO DELLE OSSERVAZIONI E’ LIMITATO
_ 2
DEVIAZIONE
∑ (xi-x)
STANDARD
σ =
--------------N-1
(o scarto quadratico medio)
La formula serve a calcolare la deviazione standard
quando il numero di osservazioni è limitato(<30).
In questi casi si divide la «devianza» per i «gradi di
libertà» che sono ottenuti dal numero di
osservazioni (N) di cui è composto il campione,
meno 1
CALCOLO DELLA DEVIAZIONE STANDARD QUANDO
IL NUMERO DELLE OSSERVAZIONI E’ LIMITATO
Quando si studia la variabilità in un campione e si applica tale
misura (variabilità osservata)all’intera popolazione dalla
quale il campione è stato estratto(variabilità stimata)si
commette un errore più o meno grande a seconda della
numerosità del campione.
Lo Student ha dimostrato che per ridurre la differenza tra
variabilità stimata e variabilità reale occorre moltiplicare la
varianza per un fattore di correzione
_2
_ 2
2 ∑(xi – x)
n
_ 2 1
n
∑(xi – x)
σ= ------------- . ----n
= ∑ ( xi – x) . --- . ------ = -------------n-1
n
n-1
n-1
Lezioni di Statistica
Calcolo della deviazione standard
Esempio
Supponiamo di avere il seguente
campione, di cui vogliamo calcolare
l’età media e la deviazione standard:
19, 21, 24, 21, 17
somma dei valori della serie
19 + 21 + 24 + 21 + 17 = 102
media = 102:5 = 20,4
Lezioni di Statistica
Ora calcoliamo la differenza di ogni
valore dalla media, cioè il valore
_
xi– x
detto anche scarto o deviazione, e
quindi eleviamo al quadrato gli scarti e
sommiamo tali quadrati.
Lezioni di Statistica
Differenza tra i valori e la media
2
scarto
19-20,4 = - 1,4
21-20,4 = 0,6
24-20,4 = 3,6
21-20,4 = 0,6
17-20,4 = - 3,4
scarto
1,96
0,36
12,96
0,36
11,56
-------27,20
La devianza è 27,20;i gradi di libertà sono N-1 cioè 4.
Lezioni di Statistica
Dividiamo la devianza per i gradi di libertà
27,2 : 4 = 6,8
ed estraiamo la radice quadrata.
Radice quadrata di 6,8 = 2,61 che è la deviazione
standard della serie di valori considerata.
_
Se si applica la formula x σ si ottiene l’intervallo
entro il quale è compresa l’età della maggior parte
del collettivo da cui proviene il campione esaminato.
20,4 2,61 = 17,79 - 23,01
Questa procedura consente di evitare
l’inconveniente della media aritmetica che non tiene
conto della distribuzione dei valori nella serie
considerata.
Lezioni di Statistica
Nell’intervallo
_
x
σ
è compreso il 68,3% delle osservazioni;
nell’intervallo
_
x
2σ
è compreso il 95,5% delle osservazioni
MISURE DI VARIABILITA’ QUANDO AI SINGOLI
VALORI CORRISPONDE PIU’ DI UNA OSSERVAZIONE
(O QUANDO SI TRATTA DI VALORI RAGGRUPPATI IN
CLASSI)
Devianza
_ 2
∑ ( xi – x ) . n i
2
Varianza
DEVIAZIONE
STANDARD
σ =
_ 2
∑ ( xi – x ) . n i
---------------------N
σ =
_ 2
∑ (xi-x).ni
--------------------N
MISURE DI VARIABILITA’ QUANDO AI SINGOLI
VALORI CORRISPONDE PIU’ DI UNA OSSERVAZIONE
(O QUANDO SI TRATTA DI VALORI RAGGRUPPATI IN
CLASSI)
Statura
Valori centr. Numero di
in cm.
delle classi osservaz.
xi
Xi.ni
n i____________
fino a 150
145
5
725
151 – 160
155
20
3.100
161 – 170
165
50
8.250
171 – 180
175
20
3.500
oltre 180
185
5
925
_______________________________________
Totale
100
16.500
MISURE DI VARIABILITA’ QUANDO AI SINGOLI VALORI
CORRISPONDE PIU’ DI UNA OSSERVAZIONE ( O QUANDO SI
TRATTA DI VALORI RAGGRUPPATI IN CLASSI)
Calcolo della media aritmetica ponderata
_
x p = 16.500 : 100 = 165
segue MISURE DI VARIABILITA’ QUANDO AI SINGOLI VALORI
CORRISPONDE PIU’ DI UNA OSSERVAZIONE ( O QUANDO SI
TRATTA DI VALORI RAGGRUPPATI IN CLASSI)
_
_
2
_
2
___Xi
xi - x
(xi – x)
145
- 20
- 10
400
400 . 5 = 2.000
100
100 . 20 = 2.000
155
(xi – x) . n i
165
---175
10
100
100 . 20 = 2.000
185
20
400
400 . 5 = 2.000
__________________________________________
Totale
--
--
8.000
segue MISURE DI VARIABILITA’ QUANDO AI SINGOLI VALORI
CORRISPONDE PIU’ DI UNA OSSERVAZIONE ( O QUANDO SI
TRATTA DI VALORI RAGGRUPPATI IN CLASSI)
Devianza=8.000
Varianza=8.000:100=80
Deviazione standard = 80 = 8,94
_
x
σ = 165
8,94 = 156 |--| 174
segue MISURE DI VARIABILITA’ QUANDO AI SINGOLI VALORI
CORRISPONDE PIU’ DI UNA OSSERVAZIONE ( O QUANDO SI
TRATTA DI VALORI RAGGRUPPATI IN CLASSI)
_
x 2σ = 165 17,88 = 147 |--| 183(*)
(*) cifre arrotondate
STATURA DEGLI ISCRITTI DI LEVA NATI NEL
1963 (VISITA DI LEVA 1981)
ni
X i.ni
155
165
175
185
195
2,5
30,5
52,4
13,9
0,7
387,5
5.032,5
9.170,0
2.571,5
136,5
--
100
17.298
Statura in cm.
X
fino a 159
160-169
170-179
180-189
190 e oltre
Totale
i
Xi = Valori centrali delle classi
n i = frequenza % delle osservazioni
_
X p = 17.298 : 100 = 172,98 (media aritmetica ponderata)
segue STATURA DEGLI ISCRITTI DI LEVA NATI NEL
1963 (VISITA DI LEVA 1981)
_
X i- X
- 17,98
- 7,98
+ 2,02
+12,02
+22,02
_
( X i- X ). n
- 44,95
- 243,39
+105,848
+167,078
+ 15,414
- 288,34 + 288,34 = 0
i
segue STATURA DEGLI ISCRITTI DI LEVA NATI NEL
1963 (VISITA DI LEVA 1981)
_
X i- X
- 17,98
- 7,98
+ 2,02
+12,02
+22,02
_
_
( X i- X ) ( X i- X )
- 18
- 8
+ 2
+ 12
+ 22
_
2
( X i- X ). n
324
64
4
144
484
2
i
810
1952
209,6
2001,6
338,8
5.312,0(devianza)
N.B. – Nella seconda colonna sono riportati
gli scarti arrotondati eliminando i decimali
segue STATURA DEGLI ISCRITTI DI LEVA NATI NEL
1963 (VISITA DI LEVA 1981)
2
σ
5312
= ------ =
53,12
100
σ
=
53,12
= 7,29
_
x
σ = 173
7 = 166
|-| 180
_
x
2σ = 173
14 = 159
|-|
187
CBM-Indagine sulle condizioni di salute dei
bambini di Torbellamonaca
Malattie
(1)
No
Sì
Totale
Tor Bellamonaca%(2)
26,4±4,9
73,6±4,9
100,0
Popolazione
italiana(ISTAT)(3)
49,8
50,2
100,0
(1) sofferte negli ultimi tre mesi
(2) Dati standardizzati secondo l’età per renderli confrontabili con
la popolazione italiana
(3) Stima su tre mesi del periodo di riferimento per renderlo
confrontabile con l’indagine di Tor Bella Monaca
segue CBM-Indagine sulle condizioni di
salute dei bambini di Torbellamonaca
Malattie
TBM
Italia
no
26,4
2
. 4,9
= 16,6 |-| 36,2
= 49,8
Malattie si
TBM 73,6
Italia = 50,2
2 . 4,9 = 63,8 |-| 83,4