Moto circolare uniforme

Moto circolare uniforme
È chiaro che l’argomento che vogliamo trattare riguarda un moto di un corpo la cui traiettoria è una
circonferenza.
Ricordiamo innanzitutto che la velocità è una grandezza vettoriale, cioè essa per essere individuata
correttamente ha bisogno di tre informazioni:
direzione
verso
modulo
Il moto che vogliamo studiare è uniforme, tale aggettivo si riferisce all’intensità della velocità, in
quanto le altre due caratteristiche (direzione e verso) variano da punto a punto.
Osservazione importante
Infatti per qualsiasi corpo che si muove di moto generico:
la velocità ha in ogni punto della traiettoria la direzione della tangente alla traiettoria stessa;
il verso della velocità si determinata sulla retta tangente (quella della direzione) proseguendo
dal punto di tangenza sulla retta tangente nel senso del moto dell’oggetto.
Illustriamo con un esempio quanto detto.
1. Sia dato un moto generico di un corpo la cui traiettoria sia rappresentata dalla seguente
curva. La freccia indica il verso in cui viene percorsa al curva.
2. Consideriamo sulla traiettoria un punto qualsiasi.
3. Tracciamo la tangente alla traiettoria per il punto considerato.
4. Dal punto considerato prolunghiamo il moto del punto lungo la tangente.
Questo vettore rappresenta la velocità del
corpo nel punto considerato.
Possiamo ripetere il procedimento sopra descritto per ogni punto della traiettoria. I vettori che si
trovano rappresentano il vettore velocità nei singoli istanti del moto del corpo.
Applichiamo tale ragionamento ad un moto circolare uniforme il cui verso di percorrenza della
circonferenza sia indicato dalle frecce sulla bordo del cerchio.
Tracciamo delle tangenti ad alcuni punti della traiettoria.
Come si può notare direzione e verso cambiano in ogni istante, cioè che rimane fisso è la lunghezza
del vettore, cioè l’intensità.
Il valore numerico pertanto della velocità è costante, vediamo come determinarlo utilizzando
considerazioni geometriche e il moto rettilineo uniforme.
Consideriamo una circonferenza di raggio R e un punto che si muova uniformemente su di essa,
cioè che percorra archi uguali in tempi uguali.
Se tagliamo la circonferenza e al svolgiamo su un piano otteniamo una retta:
il punto si muove sulla retta con velocità costante, quindi il moto ora è rettilineo uniforme.
s
Sappiamo che la velocità nel moto rettilineo uniforme è data dalla formula v = .
t
Definizione: si definisce periodo T l’intervallo di tempo necessario ad un corpo che si muove di
moto circolare uniforme a compiere un giro completo sulla circonferenza.
Ricordiamo ora al formula che esprime la lunghezza della circonferenza C = 2πR .
Allora considerando la circonferenza srotolata sul piano nella formula v =
s
t
C rappresenta lo
spazio percorso e T il tempo necessario a percorrerlo. Possiamo scrivere:
v=
2πR
T
Che rappresenta la velocità lineare (o tangenziale) per un moto circolare uniforme.
Osservazione
Nel caso in cui avessimo un arco di circonferenza, la velocità si calcola facendo il rapporto tra la
lunghezza dell’arco assegnato ( la ) e il tempo necessario a percorrerlo ( ∆Ta ):
v=
la
∆Ta
Definizione: si definisce frequenza f il numero di giri che un corpo che si muove di moto circolare
uniforme effettua in un secondo. L’unità di misura della frequenza è l’hertz.
f =
1
T
[ f ] =  1  = [hz ]
s
Accelerazione centripeta
A questo punto sorge spontanea una domanda: perché se la velocità è costante in modulo la
direzione cambia ad ogni istante?
In effetti se consideriamo la velocità in un istante abbiamo che essa è data dalla tangente alla curva,
quindi la direzione tangenziale tenderebbe a far scappare il punto dalla traiettoria circolare. Perché
il punto allora rimane vincolato?
Evidentemente ci deve essere una forza di richiamo che fa cambiare ad ogni istante la direzione del
moto.
Consideriamo un esempio: il sistema terra luna.
La luna si muove, utilizzando un po’ di approssimazione, di moto circolare uniforme. Tra terra e
luna però vi è attrazione gravitazionale.
Quindi è proprio questo tipo di forza che vincola il satellite al nostro pianeta. La forza
gravitazionale l’azione di richiamo che incurva la traiettoria della luna e la fa muovere di moto
circolare uniforme.
Pertanto ogni volta che siamo in presenza di un moto circolare uniforme ci deve essere una forza
che attira il corpo verso il centro della circonferenza, tale azione viene chiamata forza centripeta.
Il moto circolare risulta quindi composto da:
moto rettilineo uniforme
forza centripeta, diretta sempre verso il centro di curvatura
La presenza di una forza implica la presenza di un’accelerazione (e viceversa, come vedremo nel
capitolo successivo).
Nel caso di moto circolare l’accelerazione centripeta vale ac =
v2
ed è sempre diretta vrso il cento
R
della circonferenza.
ac =
v2
R
Osservazione
La forza centripeta non è un nuovo tipo di forza, cioè essa non introduce una nuova interazione dal
punto di vista qualitativo. Spieghiamo meglio questo concetto con un esempio, elenchiamo alcuni
tipi di interazioni:
forza gravitazionale
forza elettrica
forza di coesione atomica
la forza centripeta non introduce un nuovo tipo di azione, ma stabilisce che vi è una forza che
esegue un’azione attrattiva nei confronti di un corpo. Tale forza in realtà può essere di tipo
gravitazionale (nel caso del sistema terra – luna), atomica (nel caso del moto degli elettroni attorno
al nucleo).
Gli esempi voglio chiarire il concetto che la forza centripeta non introduce una nuova forza ma si
riferisce ad un’azione di richiamo che una forza (come quelle elencate in precedenza) esegue su di
un corpo.
Potremmo dire, forzando un po’ i termini, che di per sé “la forza centripeta a sé stante non esiste”,
esistono forza che effettuano un’azione centripeta sul moto alcuni corpi.
La velocità angolare
Per determinare un punto nel piano cartesiano sono necessari due dati (ascissa e ordinata). Una
circonferenza (consideriamo quindi moto circolare uniforme) è parte del piano, per individuare un
punto su di essa sono necessarie due informazioni. Vediamo di ottenerle in maniera diversa dal
solito.
Osservazioni
Per convenzione gli angoli lungo una circonferenza si misurano a partire dal raggio orientato
orizzontalmente che dal centro va verso destra e vengono contati positivamente percorrendo archi di
circonferenza in senso antiorario.
Un punto P appartenente alla circonferenza, può essere individuato oltre che dal metodo
tradizionale tramite le coordinate ( x, y ) , nel modo seguente:
poiché appartiene alla circonferenza , avrà distanza pari al raggio dal centro;
(se considero l’insieme dei punti aventi distanza assegnata R dal centro si ottiene sicuramente il
punto P, soltanto che oltre ad esso se ne ottengono anche infiniti altri. Infatti la parte sottolineata
nella proposizione precedente non è altro che al definizione di circonferenza. Abbiamo bisogno di
un’altra informazione oltre al raggio per determinare in maniera univoca il punto P)
l’angolo α individua univocamente sulla circonferenza il punto P, poiché, utilizzando la
convenzione sugli angoli, è possibile stabilire la seguente relazione
un punto P sulla circonferenza
Ad un angolo α misurato con
goniometrica
la
determina
in
maniera univoca un angolo α
convenzione
adottata
corrisponde un unico punto P
sono due
sulla circonferenza di raggio
affermazioni
assegnato
equivalenti
y
P
0
α
x
In questo modo è possibile descrivere completamente la posizione di P all’angolo α e al raggio R
assegnato, infatti le proiezioni del punto sull’asse x e sull’asse y sono rispettivamente l’ascissa e
l’ordinata di P.
Questa rappresentazione costituisce la rappresentazione dei punti del piano in coordinate
polari.(tramite un raggio r e una direzione α ).
Osservazione(misura degli angoli in radianti)
Se consideriamo una circonferenza di raggio unitario, cioè R = 1 , essa avrà lunghezza pari a 2π .
Se consideriamo soltanto metà della lunghezza avremo che essa varrà π .
Quindi una semicirconferenza di raggio unitario misura π .
Dal punto di vista degli angoli una semicirconferenza corrisponde ad un angolo piatto, cioè 180°.
Poniamo che un radiante corrisponda a 180°.
E’ possibile allora convertire ogni angolo α misurato nel metodo sessagesimale tradizionale in un
angolo espresso in radianti mediante la seguente proporzione
α : x = 180 : π
(1)
da cui si ottiene
x=
180π
α
E’ possibile utilizzare la formula (1) per ottenere la misura in gradi avendo a disposizione la misura
in radianti.
Osservazione(importante): è possibile misurare gli angoli ruotando in senso orario ma si deve
mettere un segno meno davanti al valore dell’angolo per indicare
appunto il fatto che ci si sta muovendo in senso orario (opposto a quello
convenzionale e che viene considerato positivo).
Esempio
Un angolo α = 315° espresso in senso antiorario (convenzione positiva) può essere espresso anche
nel modo seguente α = −45° (senso orario, segno negativo).
Possiamo ora definire la velocità dal punto di vista angolare.
Definizione: si definisce velocità angolare ω il rapporto
ω=
2π
T
 2π   rad 
Essa si misura in radianti al secondo [ω ] =   = 
 T   s 
La velocità angolare non è altro che la velocità con cui un corpo che si muove di moto circolare
uniforme descrive un giro completo, cioè percorre i 360° rappresentati da una circonferenza.
Osservazione
Nella velocità angolare non compare il raggio della circonferenza considerata, infatti ω non
dipende da R.
P’
P
Il punto P e la sua proiezione P’ hanno velocità angolari uguali, infatti impiegano lo stesso tempo a
fare un giro completo attorno alla rispettive circonferenze.
Però poiché le circonferenze considerate sono diverse il punto P avrà velocità maggiore rispetto a
P’, infatti esso deve percorrere archi di circonferenza maggiori nelle stesso tempo i cui P’ descrive
archi di lunghezza inferiore.
Pertanto
ω P = ω P′
Ricordiamo che v dipende dal raggio, infatti v =
v P > v P′
2πR
.
T
Osservazione
Con l’introduzione della velocità angolare è possibile scrivere le relazioni individuate anche nel
modo che segue(come riportano alcuni testi) anche se è preferibile utilizzare la loro espressione
iniziale.
v=
2πR
= 2πRf
T
v = ωR
v2 ω 2 R2
ac =
=
= ω 2R
R
R