Esercizi su probabilità condizionata e teorema di Bayes

Esercizi su probabilità condizionata e teorema di Bayes
1. Un'urna contiene 48 palline di cui 16 nere e le altre bianche. Si effettua il seguente esperimento: si estrae una pallina dall'urna; se la pallina estratta è nera la si rimette nell'urna, se bianca non la si rimette nell'urna. Quindi si estrae un'altra pallina dall'urna.
1. Scrivere lo spazio campionario
2. Calcolare la probabilità che la prima pallina estratta sia bianca
3. Determinare la probabilità che la seconda pallina estratta sia nera sapendo che la prima pallina estratta è bianca
4. Calcolare la probabilità che la seconda pallina sia bianca
2. Sia O = {1,2,3,4,V,VI}, cioè ho un dado in cui le facce 5 e 6 sono scritte in numeri romani. Faccio un tiro singolo. Sia A l'evento “esce un numero pari”. Sia B l'evento “esce un numero romano”. Discutere se A e B sono disgiunti e/o indipendenti. Il fatto di essere disgiunti/indipendenti implica l'essere indipendenti/disgiunti?
3. Un gruppo di 6 amici, di cui 4 italiani, si incontra un sabato sera. Si tira una prima volta un dado da 6 per scegliere chi mandare a prendere le pizze e una seconda volta per decidere a chi tocca comprare il gelato (nota: chi compra le pizze non può comprare anche il gelato). 1. Calcolare la probabilità che entrambe le persone siano italiane
2. Calcolare la probabilità che l'incaricato del gelato sia italiano
3. Sapendo che l'incaricato del gelato è italiano, calcolare la probabilità che il primo sia italiano
4. Come il 3., ma che il promo sia straniero
4. Quattro carabinieri al poligono di tiro sparano simultaneamente un colpo a testa verso lo stesso bersaglio. Sapendo che in media il primo colpisce il bersaglio una volta su due, il secondo 1 volta su 3, il terzo 1 volta su 4, il quarto una volta su 5, 1. qual è la probabilità che dopo il tiro simultaneo una sola pallottola abbia colpito il bersaglio?
2. Se dopo il tiro simultaneo risulta conficcata nel bersaglio una sola pallottola, qual è la probabilità che sia stata sparata dal primo carabiniere?
5. Una malattia infettiva contagia una persona su 1000. Sapendo che un test medico ha esito positivo con probabilità 0.999 di fronte ad un individuo malato e esito negativo con probabilità 0.998 in caso di individuo sano, se a fronte del test ottengo un esito positivo, qual è la probabilità che io sia malato?
6. Un'azienda compra resistenze da due diverse ditte: A e B. Se da A ne compra in media 500 e da B 1000, sapendo che A dichiara un difetto ogni 50 e B uno ogni 100,
1. qual è la probabilità che mi capiti una resistenza difettosa?
2. Qual è la probabilità che, avendo osservato una resistenza difettosa, questa sia stata acquistata da A? E da B?
7. Tra i partecipanti ad un concorso per giovani compositori il 50 % suona il pianoforte, il 30% suona il violino e il 20% la chitarra. Partecipano ad un concorso per la prima volta il 10% dei pianisti, il 33% dei violinisti e il 10% dei chitarristi. 1. Qual è la percentuale di aspiranti compositori alla prima esperienza?
2. Sapendo che ad esibirsi per primo sarà un compositore alla prima esperienza, qual è la probabilità che sia un chitarrista?
8. Un gruppo di escursionisti organizza una gita in montagna. Il 30% dei partecipanti è fuori allenamento. Si ipotizza che coloro che non sono allenati abbiano una probabilità di raggiungere la meta pari al 60% e che quelli allenati abbiano una probabilità pari al 95%.
1. Qual e’ la probabilità che un escursionista scelto a caso nel gruppo raggiunga la meta?
2. Sapendo che un escursionista ha raggiunto la meta, con quale probabilità appartiene al gruppo degli escursionisti allenati?
9. La percentuale di studenti iscritti al secondo anno di informatica che frequenta il corso di statistica è del 90%. Si suppone che, tra questi, il 90% supererà l'esame. Supponendo inoltre che la percentuale di studenti che non supereranno l'esame sia del 12%, si calcoli:
1. qual e' la percentuale di studenti che non supererà l'esame tra quelli che non frequentano il corso;
2. qual e' percentuale di studenti che non frequentano tra quelli che si ipotizza non la supereranno l' esame.