Traccia1 della lezione del 2 Maggio 2014
1. Problema dei compleanni (vedere file specifico)
2. Probabilità condizionata
Esercizio lancio due dadi - geogebra
In un lancio di due dadi qual è la probabilità che escano due “6”
- senza informazioni aggiuntive?
1/36
- sapendo che c’è almeno un “6”?
1/11
- sapendo che il risultato del primo dado è “6”? 1/6
(vedere file di riferimento lancio_dadi_condizionata.ggb)
Esercizio Fumatori
Su una popolazione U di 1.000.000 individui 32.700 sono affetti da una malattia a e di questi 22.300 sono
fumatori. I fumatori costituiscono il 20% della popolazione.
a) Qual è la probabilità che un individuo della popolazione U abbia la malattia a?
b) Qual è la probabilità per un fumatore di avere la malattia a?
Traccia svolgimento
a) P(contrarre malattia per un individuo popolazione U) =
numero malati
32.700
0,0327
numero popolazion e 1.000.000
b) Si vuole sapere qual è la probabilità, tra i fumatori, di avere malattia a.
Indicati con M gli individui affetti da a e con F gli individui della popolazione fumatori, si può rappresentare
la situazione, utilizzando gli insiemi, nel seguente modo:
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Si tratta di una sintesi stringata di quanto fatto durante la lezione (in particolare degli esercizi affrontati), non
contiene tutti i dettagli dei passaggi e dei commenti fatti.
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Per calcolare la probabilità, si devono individuare l'insieme dei "nuovi" casi possibili e quelli dei "nuovi" casi
favorevoli:
casi possibili = Fumatori (insieme evidenziato in nero)
casi favorevoli = Fumatori e Malati (insieme evidenziato in verde)
P(avere malattia a sapendo di essere un fumatore) =
# (Fumatori e Malati) # (F M) 22.300
0,11
# Fumatori
#F
200.000
La P(avere malattia a sapendo di essere un fumatore) si può denotare con 𝑃𝐹 (𝑀)
Cambia la probabilità nei casi a) e b)?
Esercizio Urna
Scegliamo a caso un’urna ed estraiamo una pallina.
a) Qual è la probabilità che la pallina estratta sia nera?
Traccia svolgimento
Si può schematizzare la situazione con diagramma ad albero o con tabella a doppia entrata
Indicato con N = pallina estratta nera, A = scelta urna A, B = scelta urna B, si ha
P(N) P(A) P(N) P(B) P(N)
11
0,55
20
b) Sapendo che abbiamo estratto una pallina di colore nero, qual è la probabilità che sia stata estratta
dall'urna A?
Traccia svolgimento
Sempre utilizzando il diagramma ad albero o la tabella a doppia entrata si arriva al seguente
calcolo:
PN (A)
11
20
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Def. probabilità condizionata
Dati due eventi A e B tali che p(B)≠0, si dice probabilità condizionata di A dato B, la probabilità che
si verifichi A qualora si sappia che si è verificato B. Indicheremo la probabilità condizionata con PB (A)
Insieme dei nuovi “casi possibili” = B
Insieme dei “casi favorevoli” = A ∩ B
Si ha PB (A)
P(A B)
, dove le probabilità p sono valutate rispetto all’insieme U in cui si considerano
P(B)
immersi A, B.
Test HIV
Ricordate problema iniziale? (vedere slide ppt 1a lezione) Proviamo ad analizzarlo...
Il test “Elisa”, relativo all’HIV, può fornire esiti errati. Precisamente vi è una probabilità del 99,9% che il test
dia esiti positivi nei soggetti che effettivamente hanno contratto l’HIV (sensibilità del test) ed una
probabilità del 99,9% che il test risulti negativo nei soggetti che non hanno l’HIV (specificità del test).
Consideriamo ora una certa popolazione. Assumiamo che lo 0,3% della quantità di individui di tale
popolazione abbia contratto l’HIV (prevalenza della malattia).
Il test, applicato ad un individuo scelto a caso in tale popolazione, ha dato esito positivo.
Qual è la probabilità che tale individuo sia in realtà sano, cioè non abbia contratto l’HIV (“falso positivo”)?
ovvero "Qual è la probabilità che un individuo non sia malato, sapendo che il test ha avuto esito
positivo?" cioè 𝑝 𝑇 + (𝑀𝐶 )
Per traccia risoluzione vedere file specifico.
Osservazione: interpretazione del risultato
𝑝 𝑇 + (𝑀𝑐 ) ≈ 25%. Questo significa che se il test “Elisa” è positivo vi è comunque una probabilità non nulla che
l’individuo sia sano. Per questo motivo, prima di comunicare l’esito del test al paziente, il dato viene confermato
mediante un altro test chiamato “Western Blot”.
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