22) 13 gennaio (3h): spazio euclideo

Esercizio 7.
Determinare la minima distanza tra le rette
x − 2z − 1 = 0
x −z −2=0
r :
ed s :
.
y − 3z = 0
y − 2z + 3 = 0
Compito.
Tema esame del 22 marzo 2011
Sfere e circonferenze
Definizione
Una sfera di centro C e raggio r > 0 è il luogo dei punti di E3 (R) che
distano r da C .
Una circonferenza di centro C , raggio r > 0 e sostegno un piano π è il
luogo dei punti di π che distano r da C .
Equazione sfera:
x 2 + y 2 + z 2 + ax + by + cz + d = 0,
Una circonferenza si determina come
intersezione tra due sfere,
oppure tra una sfera e un piano.
con a2 + b 2 + c 2 − 4d > 0.
Esercizio 8.
Determinare l’equazione dei piani tangenti alla sfera Γ di equazione
Γ : x 2 + y 2 + z 2 − 2z = 0
a) e paralleli al piano α : 2x − y + 3z + 1 = 0;
b) e passanti per la retta r : x − 2 = y − z = 0;
c) nel punto P(0; 1; 1).
Esercizio 9.
Determinare l’equazione della sfera tangente ai piani α : z = 1 e
β : 4x − 3y = 0 e avente centro sulla retta r : x − z = 2x + y = 0.
Esercizio 10.
Determinare centro e raggio della circonferenza di equazioni
2
x + y 2 + z 2 − 2x − 4y − 2z = 0
.
x − 2y + z = 0
Esercizio 11.
Determinare le equazioni della circonferenza passante per i punti
A(−1; 0; 0), B(0; 2; 0) e D(0; 0; 1).
Compito.
Tema esame del 29 giugno 2010
Compito.
Tema esame del 29 settembre 2010
Esercizio 12. (Compito)
Tema esame del 23 settembre 2009
Si considerino il piano π : x − y + 2z = 0 e il punto P( 43 , 23 , 53 ).
a) Dopo aver osservato che P ∈
/ π, determinare le coordinate del punto
P 0 , proiezione ortogonale di P su π.
b) Determinare una rappresentazione cartesiana del fascio di piani
passanti per P e ortogonali a π.
c) Determinare una rappresentazione cartesiana del luogo di punti di
E3 (R) che distano come P da π.
d) Determinare un’equazione cartesiana della sfera Σ tangente a π in
P 0 e passante per P.
e) Determinare centro e raggio delle circonferenza ottenuta come
sezione di Σ con il piano α : 2x − z − 2 = 0.
f) Determinare un’equazione cartesiana dei piani passanti per la retta
r = α ∩ π e tangenti a Σ.
Esercizio 13.
Determinare centro e raggio della circonferenza passante per A(1; 2; 1) e
B(3; −1; 2) e tangente in B alla retta r di equazione
x = −z + 5
r :
.
y = 2z − 5
Esercizio 13.
Determinare centro e raggio della circonferenza passante per A(1; 2; 1) e
B(3; −1; 2) e tangente in B alla retta r di equazione
x = −z + 5
r :
.
y = 2z − 5
Esercizio 13.
Determinare centro e raggio della circonferenza passante per A(1; 2; 1) e
B(3; −1; 2) e tangente in B alla retta r di equazione
x = −z + 5
r :
.
y = 2z − 5
Esercizio 13.
Determinare centro e raggio della circonferenza passante per A(1; 2; 1) e
B(3; −1; 2) e tangente in B alla retta r di equazione
x = −z + 5
r :
.
y = 2z − 5
Esercizio 14.
Determinare l’equazione della circonferenza descritta dal punto P(1; 2; 0),
che ruota attorno alla retta a : x = y = z.
Superfici di rotazione
R è un qualsiasi punto di r .
Si scrivono le equazioni della circonferenza
intersezione di
piano per R, ortogonale ad a,
sfera con centro sulla retta a, passante
per R.
Esercizio 15.
Determinare l’equazione della superficie generata dalla rotazione della
retta r : x − z = y − 2 = 0 attorno alla retta a : x − 2z = y − 1 = 0.
Individuare poi le rette per l’origine che giacciono su tale superficie.
Superfici di rotazione
Compito.
Tema esame del 21 dicembre 2010