equazioni

EQUAZIONI
Citazioni:
“ Tutto ciò che non si condensa in un'equazione non è scienza “ (Albert Einstein)
In matematica, un'equazione (dal latino aequo, rendere uguale) è una uguaglianza tra due
espressioni contenenti una o più variabili, dette incognite.
Un insieme di valori che, sostituiti alle incognite, rende vera un'equazione è chiamato soluzione o
radice. Risolvere un'equazione significa esplicitare l'insieme di tutte le soluzioni dell'equazione o
mostrare che non ce ne sono.
Il dominio (o insieme di definizione) delle variabili incognite è l'insieme dei valori per cui
l'equazione è definita. L'insieme delle soluzioni è condizionato dal dominio: per esempio
l'equazione
non ammette soluzioni se il dominio è l'insieme dei numeri razionali, mentre ammette due
soluzioni nei numeri reali, che possono essere scritte come
. Analogamente, l'equazione
non possiede soluzioni reali ma è risolvibile se il dominio è il campo dei numeri complessi.
Tipicamente in un'equazione compaiono, oltre alle incognite, dei coefficienti noti, che, se non sono
esplicitati nel loro valore numerico, sono indicati in genere con le lettere , , ... mentre alle
variabili incognite sono convenzionalmente attribuite le ultime lettere dell'alfabeto ( , , ...).
Le soluzioni di un'equazione vengono generalmente indicate esplicitando le incognite delle
espressioni che contengano le costanti ed eventuali parametri arbitrari. Ad esempio, la soluzione
dell'equazione
dove “a” è un parametro non nullo, e il dominio è l'insieme dei numeri reali, si scrive come
RISOLUBILITA’
Per il Teorema fondamentale dell'algebra, segue immediatamente che un'equazione polinomiale
(ovvero formata da un polinomio eguagliato a zero, in una variabile) di grado n ammette sempre n
soluzioni in campo complesso, di cui alcune possono essere multiple. In altre parole, un'equazione
di grado ammette almeno 1 soluzione e al massimo soluzioni complesse differenti.
Per il Teorema di Abel-Ruffini, non esiste una formula generale per la risoluzione delle equazioni
polinomiali di grado 5 o superiore. Fino alle equazioni di quarto grado è nota una formula
risolutiva, dopodiché le equazioni sono risolvibili solamente in alcuni casi particolari.
Il Metodo delle tangenti di Newton, sotto determinate ipotesi, fornisce una soluzione
approssimata (non esatta) per alcune equazioni. In mancanza di una soluzione esatta, si può
utilizzare questo metodo, se le ipotesi lo consentono.
Vari tipi di EQUAZIONI studiate in matematica
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Equazioni algebriche, riconducibili a polinomi
o Equazione lineare
o Equazione quadratica
o Equazione cubica
o Equazione quartica
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Equazioni trascendenti, non riconducibili a polinomi.
o Equazioni trigonometriche
o Equazioni logaritmiche
o Equazioni esponenziali
Equazioni funzionali, in cui le incognite sono funzioni
o Equazioni differenziali
o Equazioni integrali
Equazioni diofantee, in cui si ricercano solo le soluzioni in numeri interi
Equazioni parametriche, in cui le incognite sono funzioni espresse in funzione di uno o più
parametri
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Sistema di equazioni