ESERCIZI SULLA VERIFICA DI IPOTESI Esercizio 1 Sulla base dei seguenti valori ottenuti su un campione casuale proveniente da una popolazione normale 1.1 3.1 4.2 4.6 5.0 5.2 5.3 6.5 8.4 9.6 verificare l’ipotesi H0: =4 al livello di significatività=0.01 Soluzione La statistica test risulta uguale a circa 1.6811, il quantile di riferimento vale 3.2498. Non si ha motivo di rifiutare H0. Esercizio 2 Sulla base dei seguenti valori ottenuti su un campione casuale proveniente da una popolazione normale 10 12 15 16 16 17 20 22 verificare l’ipotesi H0: =15 al livello di significatività=0.01 Soluzione La statistica test risulta uguale a circa 0.7268, il quantile di riferimento vale 3.4495. Non si ha motivo di rifiutare H0. Esercizio 3 Su un campione casuale di 200 elementi proveniente da una popolazione normale si è ottenuta una media pari a 24 e una varianza corretta pari a 40. Verificare l’ipotesi che la media della popolazione sia pari a 25 al livello di significatività=0.05 attraverso il calcolo del p-valore. Soluzione La statistica test risulta uguale a circa 2.24, il p-valore corrispondente è pari a 0.0252, per cui si rifiuta H0. Esercizio 4 Su un campione casuale di 1000 elementi si è ottenuta una media pari a 11.2 e una varianza corretta pari a 8. Verificare l’ipotesi che la media della popolazione sia pari a 10 al livello di significatività=0.10 attraverso il calcolo del p-valore. Soluzione La statistica test risulta uguale a circa 13.42, il p-valore corrispondente è pari a 0.0000…, per cui si rifiuta H0. Esercizio 5 Su un campione casuale di 40 elementi proveniente da una popolazione normale si è ottenuta una media pari a 11.2 e una varianza corretta pari a 8. Verificare l’ipotesi che la media della popolazione sia pari a 10 al livello di significatività=0.10 attraverso il calcolo del p-valore. Soluzione La statistica test risulta uguale a circa 2.68, il p-valore corrispondente è pari a 0.0074, per cui si rifiuta H0. Esercizio 6 Su un campione casuale di 2000 elementi 972 presentano una certa caratteristica A. Verificare l’ipotesi che la proporzione di individui con tale caratteristica nella popolazione sia pari al 50% al livello di significatività=0.05 attraverso il calcolo del p-valore. Soluzione La statistica test risulta uguale a circa 1.25, il p-valore corrispondente è pari a 0. 2114, per cui non si ha motivo di rifiutare H0. Esercizio 7 Su un campione casuale di 102 individui su cui sono state rilevate due variabili qualitative si sono ottenute le informazioni riportate nella tabella successiva. Verificare l’ipotesi che le variabili nella popolazione risultino indipendenti al livello di significatività=0.05. X\Y A B C a 32 10 0 42 b 0 10 30 40 c 0 0 20 20 32 20 50 102 Soluzione La statistica test risulta uguale a circa 87.3071, il quantile di riferimento è pari a 9.4877, per cui si rifiuta H0. Esercizio 8 Su un campione casuale di 2000 elementi 478 presentano una certa caratteristica A. Verificare l’ipotesi che la proporzione di individui con tale caratteristica nella popolazione sia pari a 0.25 ai due livelli di significatività=0.05 e=0.10. Soluzione La statistica test risulta uguale a circa 1.1361, i due quantili di riferimento sono 1.645 e 1.96, per cui in entrambi i casi non si ha motivo di rifiutare H0. Esercizio 9 Su un campione casuale di 100 individui su cui sono state rilevate due variabili qualitative si sono ottenute le informazioni riportate nella tabella successiva. Verificare l’ipotesi che le variabili nella popolazione risultino indipendenti al livello di significatività=0.01. X\Y A B C a 8 12 30 50 b 40 10 0 50 48 22 30 100 Soluzione La statistica test risulta uguale a circa 51.5152, il quantile di riferimento è pari a 9.2104, per cui si rifiuta H0. Esercizio 10 Su un campione casuale di 80 individui su cui sono state riportate nella tabella successiva. Verificare l’ipotesi che significatività=0.10. X\Y a b c rilevate due variabili qualitative si sono ottenute le informazioni le variabili nella popolazione risultino indipendenti al livello di A B 28 32 5 5 3 7 36 44 60 10 10 80 Soluzione La statistica test risulta uguale a circa 1.0774, il quantile di riferimento è pari a 4.6052, per cui non si ha motivo di rifiutare H0. Esercizio 11 Su un campione casuale di 80 individui su cui sono state riportate nella tabella successiva. Verificare l’ipotesi che significatività=0.10. X\Y a b c rilevate due variabili qualitative si sono ottenute le informazioni le variabili nella popolazione risultino indipendenti al livello di A B 28 32 5 5 3 7 36 44 60 10 10 80 Soluzione La statistica test risulta uguale a circa 1.0774, il quantile di riferimento è pari a 4.6052, per cui non si ha motivo di rifiutare H0. Esercizio 12 Su un campione casuale di 50 individui su cui sono state riportate nella tabella successiva. Verificare l’ipotesi che significatività=0.05. X\Y a b rilevate due variabili qualitative si sono ottenute le informazioni le variabili nella popolazione risultino indipendenti al livello di A B 14 21 35 6 9 15 20 30 50 Soluzione Le frequenze interne corrispondono a quelle teoriche sotto ipotesi di indipendenza. La statistica test risulta uguale a zero e l’ipotesi di indipendenza non può essere quindi rifiutata (il quantile di riferimento è pari a 3.8415).