School of Economics and Management Prova Finale di Statistica (esempio) Nome_____________________Cognome_________________________Matr. ______________ Per ogni quesito, va barrata con una “X” la lettera associata alla risposta ritenuta corretta. In caso di errore è possibile effettuare la correzione cerchiando la lettera associata alla risposta ritenuta erroneamente corretta. Ogni risposta corretta vale 1 punto, la dimostrazione vale 2 punti. Per superare la prova è necessario rispondere correttamente ad almeno 3 quesiti di teoria. TEORIA (per superare la prova è necessario rispondere correttamente ad almeno 3 quesiti) 16. Considerata la funzione di ripartizione F(x) di una variabile casuale discreta X indicare quale fra le seguenti affermazioni risulta falsa a) Fissato un valore x1< x2 della X risulta F(x1)≤ F(x2) b) 0≤ F(x)≤1 per -∞< x <+∞ c) F(x) è una funzione a gradini, continua a destra e costante a tratti d) F(x) è definita anche per valori che la X non può effettivamente assumere e) calcolata in corrispondenza di un valore x, la F(x) fornisce la probabilità che la variabile X assuma quel particolare valore 17. Considerata una popolazione finita di N elementi in cui la variabile di interesse X ha distribuzione nota e considerato un campione di n elementi estratto da questa popolazione, indicare quale fra le seguenti affermazioni risulta falsa a) le n variabili casuali Xi “valore della variabile X sulla i-esima unità estratta” hanno una distribuzione di probabilità uguale alla distribuzione del carattere X nella popolazione b) le n variabili casuali Xi “valore della variabile X sulla i-esima unità estratta” sono indipendenti fra di loro quale che sia il metodo di estrazione utilizzato (con o senza ripetizione) c) le n variabili casuali Xi “valore della variabile X sulla i-esima unità estratta” hanno tutte la medesima distribuzione N n 1 d) il numero di campioni con ripetizione non ordinati che è possibile estrarre è pari a n N e) il numero di campioni senza ripetizione non ordinati che è possibile estrarre è pari a n 18. Considerata una variabile la cui distribuzione è caratterizzata da un solo parametro ignoto , indicare quale fra le seguenti affermazioni risulta falsa a) è un valore numerico ignoto b) è una variabile casuale c) è un valore numerico che non può mai essere stimato con certezza assoluta d) lo stimatore T di è una variabile casuale e) la stima t è il valore assunto dallo stimatore T di sul campione effettivamente estratto 19. Considerato un intervallo di confidenza per un parametro ad un livello di confidenza 1, indicare quale fra le seguenti affermazioni risulta falsa a) non si è mai certi che l’intervallo in questione contenga il parametro ignoto b) gli estremi dell’intervallo sono variabili casuali c) il livello di confidenza è un valore di probabilità che viene fissato abbastanza elevato, ma sempre inferiore ad 1 d) una numerosità campionaria crescente genera intervalli di confidenza più corti a parità di tutte le altre condizioni e) tanto minore è il livello di confidenza utilizzato, tanto maggiore è la probabilità che il parametro cada all’interno dell’intervallo 20. Indicare quale fra le seguenti affermazioni risulta falsa a) l’ampiezza delle regioni di accettazione e di rifiuto dell’ipotesi nulla dipendono dal livello di significatività prescelto b) la statistica test deve avere una distribuzione completamente nota sotto ipotesi nulla c) le regioni di accettazione e di rifiuto devono essere disgiunte d) l’ipotesi nulla è ritenuta falsa fino a prova contraria e) i valori che delimitano la regione di rifiuto vengono chiamati valori soglia ESERCIZI 21. Un dado è truccato in modo che le facce 1 e 2 hanno entrambe probabilità 1/20, la faccia 6 ha probabilità 3/20 e le restanti facce sono tutte equiprobabili fra loro. Determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale X che assume valore 0 se nel lancio del dado si ottiene una faccia pari e valore 1 se si ottiene una faccia dispari. a) b) c) d) e) x P(x) x P(x) x P(x) x P(x) x P(x) 0 0.5 0 12/20 0 9/20 0 11/20 0 1/3 1 0.5 1 8/20 1 11/20 1 9/20 1 2/3 1.0 1.00 1.00 1.00 1.0 22. Data una popolazione di N=4 elementi su cui la variabile di interesse X assume i valori x1=0; x2=1; x3=2; x4=2, la distribuzione di probabilità della media campionaria X per un campione di 2 elementi estratto senza ripetizione corrisponde a a) b) c) d) e) x 0.0 0.5 1.0 2.0 Px 1/6 2/6 2/6 1/6 1.0 x Px 0.5 1.0 1.5 2.0 1/4 1/4 1/4 1/4 1.0 x 0.5 1.0 1.5 2.0 Px 1/6 2/6 2/6 1/6 1.0 x 0.0 0.5 1.0 1.5 Px 2/16 6/16 6/16 2/16 1.0 x 0.5 1.0 1.5 Px 1/3 1/3 1/3 1.0 23. Data una variabile casuale X con la seguente funzione di ripartizione F x atteso E(X) risulta a) 0.0 b) -1.0 c) 0.5 d) 1.0 e) 1.5 1 3 x 1 2 per x 1;1, il valore 24 Data la variabile casuale doppia (X,Y)con funzione di densità congiunta f x, y 6 2 x y 5 0 x 1, 0 y 1, la funzione di densità marginale di X è 6x2 3 5 6x 2 d) f x x 5 a) f x x 0 x 1 0 x 1 6x2 5 6x e) f x x 5 b) f x x 0 x 1 c) f x x 6x3 3x 5 0 x 1 0 x 1 25. Siano X1 e X2 due variabili casuali indipendenti ciascuna con distribuzione normale di valore atteso 2 e varianza 5. Calcolare P(2X1X2)>0. a) 0.5 b) 0.3446 c) 0.5319 d) 0.6554 e) 0.4681 26. Da una popolazione in cui una variabile X si distribuisce in modo normale con varianza 2 = 9 è stato estratto un campione di 16 elementi la cui media è risultata uguale a 6. L’intervallo di confidenza di al livello di probabilità 1=0.95 risulta approssimativamente a) (1.59; 10.41) b) (4.8975; 7.1025) c) (4.7664; 7.2336) d) (2.2991; 9.7009) e) (4.53; 7.47) 27. Su un campione di 9 elementi estratto da una popolazione normale di varianza nota 2=4 è stata ottenuta una media campionaria pari a 148. Per la verifica dell’ipotesi H0:=150 al livello di significatività=0.05 si ottengono i seguenti risultati a) Il p-valore è pari a 0.0027. Si rifiuta H0 b) Il p-valore è pari a 0.1336. Non si ha motivo di rifiutare H0 c) Il p-valore è pari a 0.1336. Si rifiuta H0 d) Il p-valore è pari a 0.0027. Non si ha motivo di rifiutare H0 e) Il p-valore è pari a 0.005. Si rifiuta H0 28. Su due campioni provenienti da due popolazioni normali e omoschedastiche sono stati ottenuti i seguenti risultati relativi alla numerosità, alla media e alla varianza corretta n1=10, x1 8.2 , s12 12.5 n2=15, x2 6.5 , s22 16.2 Per la verifica dell’ipotesi H0: 1=2 al livello di significatività=0.05 si ottengono i seguenti risultati a) la statistica test vale circa 0.7108 e il quantile di riferimento è pari a 2.0687. Non si ha motivo di rifiutare H 0 b) la statistica test vale circa 1.0842 e il quantile di riferimento è pari a 2.0687. Non si ha motivo di rifiutare H0 c) la statistica test vale circa 1.0842 e il quantile di riferimento è pari a 1.95996. Si rifiuta H 0 d) la statistica test vale circa 0.1152 e il quantile di riferimento è pari a 1.7139. Non si ha motivo di rifiutare H0 e) la statistica test vale circa 0.1807 e il quantile di riferimento è pari a 1.64485. Non si ha motivo di rifiutare H0 DIMOSTRAZIONE 29. Siano X e Y due variabili casuali discrete con funzione di probabilità congiunta P(x,y) e valori attesi rispettivamente pari a E(X) e E(Y). Considerata la variabile casuale somma S=X+Y, dimostrare che il suo valore atteso è pari a E(S)=E(X)+E(Y) Soluzione: 1)e 2)b 3)b 4)e 5)d 6)c 7)c 8)a 9)a 10)d 11)e 12)a 13)b