Compito di Fisica 1 - Corso di Laurea in Elettronica e Telecomunicazioni - 9 settembre 2013
1) Un punto materiale di massa m = 50g si trova inizialmente in quiete
alla base del piano liscio di figura 1(a) (y verticale ascendente), inclinato
rispetto all’orizzontale (x) di un angolo α = 15°. Ad esso viene impressa
una forza impulsiva diretta come il piano verso l’alto, di modulo
variabile come mostrato nel grafico (1a) con F0 = 10N; t1 = 50ms; t2
=2t1. Il punto materiale percorre quindi il piano inclinato, finendo con il
colpire la parete con profilo y(x) parabolico con vertice in A (xA = 1m ) e
tale che
=
y
1(a)
= 1 m-1, posta di fronte al piano inclinato. Determinare le
coordinate del punto di impatto con la parete parabolica.
x
α
O
A
F
1(b)
F0
2) Si consideri un razzo nello spazio interstellare, lontano da altri corpi. Sia M la
0
t2 t
massa istantanea del razzo comprensiva del combustibile non utilizzato, k la massa
t1
del gas scaricato dal razzo per unità di tempo, vg la velocità relativa del gas scaricato
rispetto al razzo, supposta costante. considerando che al tempo t = 0 la velocità del razzo sia v0 e la sua massa
totale M0, determinare: (a) l’andamento della velocità del razzo in funzione della massa M; (b) la legge oraria
del moto nel caso il razzo vari la sua massa in funzione della relazione k = λM con λ costante.
3) Nel sistema di figura una fune inestensibile e senza peso è avvolta sul disco
B
omogeneo, di centro O, m = 1 Kg e raggio r = 8 cm. Al disco è saldata rigidamente in
φ
A, sul bordo del disco, un'asta omogenea di massa 2m e lunghezza 3r (O, A, B
T
A
allineati lungo stessa direzione radiale). Il sistema è vincolato a mantenersi in un
piano verticale e l'estremo inferiore del disco poggia su un piano orizzontale
O
scabro. Sia φ l'angolo che l'asta forma con la verticale ascendente. Si determini: (a)
orizzontale
la tensione della fune necessaria perché il sistema sia in equilibrio con φ = 30°; (b) il
momento d'inerzia del sistema rispetto ad O. Nel caso manchi la fune (T=0) e il disco compia un moto di puro
rotolamento, determinare (c) la relazione che intercorre, per un generico angolo φ, fra il modulo della velocità
del centro di massa e la velocità angolare ω del sistema.
7) (a) Un pallone aerostatico sferico di diametro L = 3m, di massa totale m = 20 Kg (si suppone esso sia
indeformabile e quindi di volume costante) ad un determinato istante si muove verso l’alto con una
accelerazione a = 2 m/s2. Supposta trascurabile la resistenza viscosa dell’aria ed ogni perturbazione ad opera
dei venti calcolare la densità dell’aria. b) Se la pressione atmosferica varia con la quota z secondo la legge p =
p0exp(-z/b) ( p0 = 1 atm , b = 8.0 Km ) determinare la densità dell’aria in funzione della quota. c) Determinare la
massima quota raggiungibile dal pallone.
5) Una mole di un gas perfetto monoatomico che si trova inizialmente a pressione pA e temperatura TA compie
il ciclo reversibile seguente: compressione isobara fino a ridurre a metà il suo volume iniziale (VA=2VB),
compressione adiabatica fino allo stato C con TC = 5/4 TB, espansione isoterma fino allo stato D e quindi isocora
DA. Calcolare: (a) i rapporti fra le temperature degli stati C ed A (TC/TA ) ed i volumi degli stati D e C (VD/VC); b)
il rendimento del ciclo. c) Dimostrare che nel caso in cui il gas, partendo da B, venga compresso in modo
adiabatico, fino al raggiungimento della stessa TC ma con trasformazione irreversibile, il volume dello stato F
raggiunto in questo caso, è più grande del volume dello stato C.
Soluzioni
=
1) L’impulso dato al corpo è pari all’area sottesa dalla funzione F(t) nel grafico 1(b) quindi: :
=
∆ . Dato che inizialmente il corpo era fermo, esso acquista la velocità: =
= 10 / . Per conoscere la
velocità con cui giunge alla sommità del piano inclinato utilizziamo il principio di conservazione dell’energia
=
ℎ+
→ =
− 2 ℎ =9.73 m/s con h = xAtg(α)= 0.268m.
meccanica:
Poniamo l’origine in A e consideriamo t=0 quando il corpo lascia il piano inclinato. Il corpo segue un moto
parabolico con legge oraria:
!" # =
$" # = ℎ +
−
.
L’equazione della traiettoria è: $" # = ℎ +
% &
!
% '
−
(
!
% '
. La rampa parabolica con vertice in A ha equazione
$ ) = ! . Il punto di incontro corrisponde a y = y’ → ! = ℎ +
!
,
=
+ &
+ &
±-.
/
+ '
+ '
01230
230
4
5
+ '
4
+ '
56
% &
!
% '
−
(
% '
! . Risolvendo otteniamo
= −0.393 ; 0.648 . Solo la soluzione positiva ha significato. La posizione in cui
avviene l’urto rispetto all’origine O ha quindi coordinata xP = 1.648m.
2) (a) La velocità del gas rispetto ad un sistema di riferimento
inerziale è v - vg, con v velocità del razzo. Ad un istante t il razzo ha
quantità di moto a (M+dm)v. Al tempo t+dt il razzo ha espulso la
massa dm ed ha perciò aumentato la sua velocità: v + dv. La quantità
di moto finale del razzo è M(v + dv), quella del gas è dm(v-vg).
Applichiamo il principio di conservazione della quantità di moto al
sistema razzo + gas:
"> +
# = >" +
della quantità > = −
%
%
=−
(b) Se D =
A A
( A A
=−
A
#+
→
→
%
%4
? −
=−
= (
( @ → >
A
. Integrando tra il
A
A
= − ( BC A .
= E> allora vale: E
=−
A
A
=
y
vg
dm
M
x
z
. Nel tempo dt il razzo ha diminuito la sua massa
tempo t = 0 ed il tempo t otteniamo:
%
%4
e quindi:
%
=E
(
. Poiché
l’accelerazione del razzo, che risulta costante, il moto è uniformemente accelerato.
3) a) Rispetto al polo in C il momento delle forze di attrito e della forza peso
del disco sono nulli, quindi abbiamo:
2GH − 2
b) L =
I
G JCK = 0 da cui risulta: T = 3/5 mg.
G +
2 "3G# + 2
I
v + dv
. + 1/ G = 10mr2.
%
=Fè
B
φ
T
A
O
C
c) Il centro di massa del sistema si trova in G con !M = N
. 0 /
I
O
P
= I G ( valore calcolato rispetto a O
nella direttrice OAB). La relazione tra velocità del centro di massa e velocità angolare si scrive: vG = ωR
con R = GC ( C asse istantaneo di rotazione).
Il segmento GC è pari, per il teorema del coseno, a :
QR = SG + . G/ − 2 r cos"X − K# = GS1 +
P
I
=[
Z
quindi:
P
P
I
O
Y
34 + 10cos K.
I
+
I
cos"K# =
O
I
34 + 10cos K
4) a) ΣFi= S - P = ma con S = ρaria g V = Spinta di Archimede, P = mg. Abbiamo perciò:
\=
"]0(#
` I
1
con _ = I X . / . (b) sapendo che a"b# = a J cd/e abbiamo:
(^
legge di Stevino in forma differenziale:
f
d
= −\
c) La massima quota si ha quando S = P → \"b
b
]
=
rt
rm
P
u
fm ^m
=
fq ^q
no
Pfm ^m
uft
=
fm ^m
fm
ft
^
no
v
=
v
w
fm ^m
v
w
= . t / 2v . Dato che VD = VA →
^
m
g
h
J ci =
^
g
= − e a0 J−b/g. Per la
J cd/e .
da cui si ottiene
rm
; Hs =
ft ^t
no
P
= Hp →
1
C
pC
. Poiché si ha adiabatica reversibile
tra B e C abbiamo as _s = ap _p =
f
f
d
p
; Hp =
no
nort
ft
= . _s =
#=
]
f ^
g ln .
/.
(e
5) (a) Hl =
otteniamo: \"b# =
f
pA=pB
pD
e quindi
^x
^t
P I/
= 2. /
1
B
VC
.
VA/2
A
D
V
VA
Si noti che Vc =0.35 VA; pC = 5/8 pA /0.35 =1.78pA;
pD = RTD/VA = RTA/VA = 5/8 pA quindi pD < pA. Il grafico pV risulta quindi qualitativamente come in figura.
b) y =
z
{|
=
•
€
N
or} ~n x c fm ^m c o"rt crq #
•t
•
N
ort ~n x 0 o"rm crt #
•t
=
•
€
N
or} ~n x c orm c orm
•t
ۥ
•
‚
ort ~n x 0 orm
•t
=
ƒ •x € N
~n c c
„ •t
ۥ
ƒ •x ‚
~n 0
„ •t
<0
c) Utilizzando la disuguaglianza di Clausius nel caso di irreversibilità: Rln(VD/VF) - Rln(VD/VC ) < 0 otteniamo VC/VF
< 1 e quindi VF > VC.
