Quantità di moto
Definizione
Sistemi isolati
Teorema degli impulsi
Moto di un razzo
Quantità di moto
• In meccanica, la quantità di moto è una grandezza vettoriale
definita come il prodotto della massa dell'oggetto per la sua velocità.
• Le dimensioni della quantità di moto sono: [MKS-1], sono cioè le
dimensioni di una forza [MKS-2] per un tempo [S].
• La quantità di moto è una grandezza fisica conservativa, che
rimane uguale nel tempo.
• Quindi in un sistema isolato, dove non ci sono forze esterne
dp/dt = 0
• Se invece il sistema non è isolato la variazione della quantità di
moto non è nulla, dp/dt ≠ 0, e possiamo dire che dp/dt = F.
• La Forza applicata ad un corpo determina una variazione della
quantità di moto.
• La differenza fra la quantità di moto finale e la quantità di moto
iniziale diviso l’intervallo di tempo in cui avviene la variazione
(derivata di p), è una forza.
• la direzione della forza è data dalla differenza dei vettori quantità di
moto (finale ed iniziale).
Quantità di moto e Impulso
• La seconda legge di Newton lega l’azione di una forza alla
variazione di p
dp
F
dt
Dp
F
Dt
FDt Dp
• ovvero il prodotto FDt (meglio noto come impulso) è l’equivalente
alla variazione della quantità di moto
FDt Dp mDv m( v2 v1 )
Impulso J
J l’impulso è anche definito come l’integrale del prodotto della
forza per il tempo ed è pari alla variazione della quantità di moto.
ò
pi
pf
tf
dp = ò F (t ) × dt = J = p f - pi
ti
Le aree sotto le due
curve di figura sono
uguali è sono entrambe
un impulso. Quindi
conoscere l’impulso
vuole dire conoscere
solo il valore della forza
media
Applicazione dell’impulso
• L’impulso è un concetto che si utilizza quando una forza
molto intensa esercita la sua azione per un tempo
estremamente breve (urti).
• In questo caso ha senso conoscere solo la forza media <F>
che interviene durante l’urto e si ottiene conoscendo la massa
del corpo e le velocità prima e dopo l’urto.
FDt Dp p2 p1
F (t 2 t1 ) m(v2 v1 )
Esempio di uso dell’impulso
Una palla di 200 g lanciata alla velocità
di 100 km/h, viene colpita da un bastone
e torna indietro nella stessa direzione,
con una velocità di 150 km/h. Se il tempo
di contatto tra bastone e palla non
supera i 2 milliecondi, dire quale è la
forza media esercitata dal bastone sulla
palla
Dp mDv
F
Dt
Dt
0,2kg (150km / h 100km / h)
F
0,002 s
2 10 1 5 10
3
F
5
10
[N ]
3
2 10
F
<F>
t1
t2 t
Altro esempio
Un ragazza di 50 kg salta da un tavolino alto 1m e atterrando flette le
ginocchia di circa 5 cm. Quale è la forza media con cui la ragazza
colpisce il pavimento ?
• Dp è la variazione fra la velocità di atterraggio e la velocità di
rimbalzo che non si conosce, ma si può ricavare supponendo una
decelerazione costante.
• La velocità con cui arriva al suolo è data da v2 = v02 +2gh ovvero
v = √2gh
• Supponendo che la flessione delle ginocchia sia il risultato di una
decelerazione lineare; dalla relazione che lega lo spazio percorso e il
tempo impiegato, cioè
2
x-x0 = ½ (vi+vf) Dt con
2
m 2 gh
Dp mv mv
mgh
x-x0 = d
F
Dt 2d v
2d
2d
d
(flessione delle ginocchia)
e (vi+vf) pari a vi perché la
50kg 9,8m / s 2 1m
F
9800 N
vf = 0, avremo
0,05m
Dt = 2d/v e Dp = 0 - mvi
Conservazione del momento
• In un sistema isolato non ci sono forze esterne, quindi la relazione
F = dp/dt diventa dp/dt = 0. Ma se la derivata è zero la funzione
primitiva deve essere costante.
• Quindi possiamo dire che in un sistema isolato la quantità di moto
p si conserva (III legge di Newton)
• Supponiamo di avere due corpi di
massa m1 ed m2, fermi su un binario
privo di attrito separati da una molla e
tenuti insieme da uno spago. Appena lo
spago viene tagliato i due corpi si
dirigeranno nella direzione opposta con
velocità tali che la somma vettoriale mv1
+ mv2 deve essere uguale alla quantità
di moto che aveva prima del taglio dello
spago. Cioè deve essere nulla.
La forza di reazione
Esercizio ipotetico
Un uomo al centro di un lago ghiacciato
indossa pattini assolutamente privi di
attrito, cosa fa per arrivare alla riva?
In questa situazione la quantità di moto
iniziale p0 = 0 è deve rimaner zero in
qualunque istante successivo.
Soluzione
se lancio un guanto con una forza Fx nella direzione delle X crescenti,
questa forza dovrà essere bilanciata da un’altra forza –Fx nella direzione
opposta. Le forze i gioco hanno modulo uguale e versi opposti, ma i corpi a
cui esse sono applicate hanno masse molto diverse, per cui le accelerazioni
che il guanto ed il pattinatore subiscono saranno inversamente
proporzionali alle loro masse. Cioè se il al guanto ha una massa 1000 volte
più piccola dell’uomo, questi si muoverà con una accelerazione 1000 volte
più piccola del guanto.
Moto di un razzo
Al tempo t si osservi, da un sistema inerziale, il
moto di un razzo e supponiamo:
1. che il moto razzo non risenta della forze
di gravità
2. che il razzo abbia velocità v e massa M
Dopo un tempo dt il razzo avrà gettato una massa dM con velocità
+ U rispetto al nostro sistema di riferimento. Il sistema razzo + gas di
scarico dovra’ conservare la propria quantità di moto pi = pf quindi
Mv = dM U + (M - dM)(v + dv)
Dal sistema del razzo, avremo che la velocità di scarico u vale
u = (v +dv) - U
ovvero U = v + dv - u e sostituendo
Mv = dMv + dMdv - dMu + Mv - dMv + Mdv - dMdv
Pertanto resta
dMu = Mdv
Dividendo per l’unità di tempo dt si avrà:
Ru = Ma (Ru è la spinta del razzo)
dM
dv
uM
dt
dt
Calcolo della velocità del razzo
• R = dM/dt ed u = (v + dv) - U ; cioè sono la quantità di carburante
che si brucia nell’unità di tempo e la velocità del gas di scarico
rispetto alla velocità del razzo stesso (la temperatura a cui brucia il
gas di scarico)
• La velocità del razzo in funzione della massa di carburante bruciata è:
dM
dv u
M
che integrata da
vf
vi
dv u
Mf
Mi
dM
M
La soluzione di questo integrale da il valore della velocità finale
corrispondente alla diminuzione della massa totale del razzo
v f vi u(ln M i ln M f )
