Algebra matriciale

OPERAZIONI FRA MATRICI
Algebra matriciale
In questa unita considereremo soltanto matrici quadrate dello stesso ordine.
Sommadiduematrici
Se A e B sono due matrici, la matrice C ottenuta sommando gli elementi corrispondenti in A ed in B
si dice somma delle matrici A e B e si scrive:
C =A+B:
Risulta quindi
fcij g = faij + bij g
Differenzadiduematrici
Si denisce dierenza fra la matrice A e la matrice B la somma di A e dell'opposta di B , cioe:
C = A B = A + ( B)
Risulta quindi
Indicata con O la matrice nulla si ha:
(i )
(ii)
(iii)
Si verica inoltre:
(iv)
fcij g = faij bij g :
A O = A; O A = A
A A=O
A+B =B+A
(A + B )T = AT + B T
Dalla proprieta iii) e iv) discende che A + AT e A AT sono rispettivamente una matrice simmetrica ed
una matrice antisimmetrica. Infatti:
(A + AT )T = AT + (AT )T = AT + A
(A AT )T = AT (AT )T = AT A
Sia
si ha:
2
3
3 2 1
A = 44 1 25
3 1 6
2
3 2 1
3
2
3 4 3
3
2
3
6 6 4
35
4 3 12
A + AT = 4 4 1 2 5 + 4 2 1 1 5 = 4 6 2
e
3 1 6
2
3
1 2 6
2
3
2
3 2 1
3 4 3
0
A AT = 4 4 1 2 5 4 2 1 1 5 = 4 2
3 1 6
1 2 6
2
matrice rispettivamente simmetrica ed antisimmetrica.
2
0
1
3
2
15
0
Prodottodiunoscalareperunamatrice
Data una matrice A ed uno scalare (numero) , si dice matrice prodotto dello scalare per A, la
matrice i cui elementi sono ottenuti dagli elementi della matrice A previa moltiplicazione per ; tale matrice
si indica con A. Risulta quindi:
faij g = faij g
1
Si ha in particolare:
(i )
(ii)
(iii)
(iv)
(v )
(vi)
(vii)
0A = 0
0 = 0
1A = A
( 1)A = A
(A + B ) = A + B
( + )A = A + B
(A)T = AT
Le proprieta e le denizioni stabilite n qui, ci permettono di dare il seguente importante teorema.
Ogni matrice A si puo decomporre in modo unico nella somma di una matrice simmetrica e di una
antisimmetrica. Si ha infatti identicamente:
A = 21 (A + AT ) + 12 (A AT )
con
1 ( A + AT )
2
simmetrica e
1 ( A AT )
2
antisimmetrica. Queste due matrici si chiamano la parte simmetrica e la parte antisimmetrica della
matrice A.
Se
3
2
2 3 1
p
A = 64 12 0 2 75
2 4 1
allora la parte simmetrica e la parte antisimmetrica di A sono rispettivamente: @p 1.5pc
p
2
2
6
6
= 666
4
3
3+ 2 3
6 2
2
4 77 1
1 (A + AT ) = 66 3 + p2
7
T
6
0
3 77 2 (A A )
6 2
2
5
4 3
3
1
4
p
3
2
1
3
0
2
4 77
p
7
3+ 2
7
0
1
7
2
5
1
1
0
4
e si ha: @p 1.5pc
2
p
3
2
p
3+ 2 3
3 2
2
3
0
6 2
7
6
2
3
1
2
47 6
2
p
p
p
6
6 2 0 27 6 3 + 2
7 6 3+ 2
+
7
6
4 1
5=6
0
37 6 2
0
6 2
4
1
4 3
5 4
1
2
3
1
1
4
4
Prodottorigapercolonnaoscalare
2
3
1
4 77
7
1 77
0
5
Se
v = [v11 ; v12 ; : : : ; v1h ; : : : ; v1n ]
e una matrice [1; n], matrice riga, e
w11 3
6 w21 7
7
6
2
..
7
7
7
h
17
6 . 7
4 .. 5
6
w = 666 w.
wn1
una matrice [n; 1], matrice colonna, si denisce prodotto della riga v per la colonna w o prodotto
scalare di v per w e lo si indica con vw, il numero cos denito:
vw = v11 w11 + + v1h wh1 + + v1n wn1 =
n
X
h=1
v1h wh1 :
Se v e w sono due vettori rappresentati dalle matrici righe:
w ) w = [w1 ; w2 ; w3 ]
v ) v = [v1 ; v2 ; v3 ];
risulta
2
3
w1
v w = vwT = [v1 ; v2 ; v3 ] 4 w2 5 = v1 w1 + v2 w2 + v3 w3 :
w3
Prodotto righe per colonne di due matrici
Siano A e B due matrici assegnate; si chiama prodotto righe per colonne della matrice A per la
matrice B , e si scrive AB; la matrice C il cui elemento generico cij risulta il prodotto scalare della riga
i-esima della matrice A per la j -esima colonna della matrice B . Si ha da C = AB :
fcij g =
Siano
2
1 2
A = 44 1
3 2
( n
X
)
h=1
3
aih bhj :
2
3
25
5
3
B = 45
1
3
3
2 1
3 45 :
0 6
Si ha:
c11 =
3
X
h=1
a1h bh1 =a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 =
=1 3 + 2 5 + 3 1 = 16c12 =
a11 b12 + a12 b22 + a13 b32 =
3
X
h=1
a1h bh2 =
3
X
=1 ( 2) + 2 ( 3) + 3 0 = 8c13 =
h=1
a11 b13 + a12 b23 + a13 b33 =
=1 1 + 2 4 + 3 6 = 27c21 =
a21 b11 + a22 b21 + a23 b31 =
3
X
h=1
=4 3 + 1 5 + ( 2) 1 = 15c22 =
a21 b12 + a22 b22 + a23 b32 =
a1h bh3 =
a2h bh1 =
3
X
h=1
a2h bh2 =
=4 ( 2) + 1 ( 3) + ( 2) 0 = 11c23 =
a21 b13 + a22 b23 + a23 b33 =
3
X
=4 1 + 1 4 + ( 2) 6 = 4c31 =
h=1
a31 b11 + a32 b21 + a33 b31 =
=3 3 + 2 5 + 5 1 = 24c32 =
a31 b12 + a32 b22 + a33 b32 =
3
X
h=1
3
X
h=1
a2h bh3 =
a3h bh1 =
a3h bh2 =
=3 ( 2) + 2 ( 3) + 5 0 = 12
c33 =
quindi
3
X
h=1
a3h bh3 =a31 b13 + a32 b23 + a33 b33 =
=3 1 + 2 4 + 5 6 = 41
3
2
2
3
16
c11 c12 c13
C = AB = 4 c21 c22 c23 5 = 4 15
c31 c32 c33
24
8 27
11 4 5 :
12 41
Il prodotto fra matrici non gode della proprieta commutativa, ossia, in generale, AB 6= BA.
Se
2
1
2
1
A= 0 3
e B= 1 0
risulta
AB = 53 20
mentre BA = 42 51
Se le matrici A e B sono tali che AB = BA, si dice che le matrici A e B commutano.
Proprieta del prodotto fra matrici
4
Per il prodotto fra matrici valgono le proprieta seguenti:
1) La matrice unita commuta con ogni altra matrice, cioe:
IA = AI = A
2) Una matrice non degenere commuta con la propria inversa:
AA 1 = A 1 A = I
Tale proprieta giustica il nome di inversa dato alla matrice A 1 .
3) La matrice nulla commuta con ogni altra matrice:
0A = A0 = 0
4) Il prodotto fra matrici e associativo:
(AB ) C = A (BC )
5) Il prodotto fra matrici e distributivo rispetto alla somma fra matrici,
A (B + C ) = AB + AC
6) Si puo vericare che,
e
(B + C ) A = BA + CA
det(A B ) = detA detB;
(AB )T = B T AT ;
(AB ) 1 = B 1 A 1
Potenzadiunamatrice
Se A e una matrice, le potenze de A si deniscono nel modo seguente:
A0 =I
An = A
| A{z: : : A} n intero 1
n-volte
Se poi A e non singolare, si pone
A m = (A 1 )m
( m intero negativo:)
Polinomimatriciali
Di una matrice A abbiamo visto che restano denite le potenze
A0 = I; A1 = A; : : : ; An = A
| A{z: : : A} :
n-volte
Di conseguenza possiamo dare la seguente denizione:
Le espressioni del tipo
n An + n 1 An 1 + + 1 A + 0 I
sono dette polinomi matriciali a coecienti scalari.
In tal modo si possono adattare in maniera del tutto naturale ai polinomi matriciali i metodi e le
proprieta dell'ordinaria algebra dei polinomi scalari, istituendo la cosiddetta algebra matriciale.
Calcolare
(A B )2 =A2 AB BA + B 2
(A + B )(A B ) =A2 AB + BA B 2
(2A + 3B )(A 2B )
5
ed estendere, quanto piu e possibile, i risultati dell'ordinaria algebra all'algebra matriciale.
Il prodotto righe per colonne, che abbiamo gia denito per matrici quadrate dello stesso ordine, si puo
denire piu in generale per matrici A e B di tipo diverso, essendo suciente, anche AB risulti ben denita,
che il numero di colonne di A risulti eguale al numero di righe di B ; in tal caso, se A e di tipo [m; n] e B e
di tipo [n; l], AB risulta di tipo [m; l].
Se
2
3
2 3
A = 4 0 1 5 B = 02 01 10 03
1 2
sono due matrici di tipo [3; 2] e[2; 4] rispettivamente, allora AB e di tipo [3; 4] e vale, come facilmente si
verica:
2
3
6 3 2 9
AB = 4 2 1 0 3 5
4 2 1 6
Il sistema lineare
8a x + a x + + a x = y
11 1
12 2
1n n
1
>
>
< a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = y2
..
>
>
: .
an1 x1 + an2 x2 + + ann xn = yn
posto
2
3
2 3
2 3
a11 a12 : : : a1n
a22 : : : a2n 77
6a
A = 64 21
..
.
si scrive:
..
.
...
..
.
an1 an2 : : : ann
5
y1
x1
6x 7
x = 64 ..2 75
.
xn
e
6 y2 7
y = 64 .. 75
.
;
yn
Ax = y
Il sistema se A e non singolare, si risolve in modo concettualmente semplice, moltiplicando a sinistra per
A 1 la sua rappresentazione matriciale
A 1 Ax = A 1 y
ovvero
x = A 1y
che e la ben nota regola di Cramer.
Risolvere il sistema:
8
x + x2 + x3 + x4 = 2
>
< 1
x1 x2 + x3 + x4 = 0
>
: x1 + x2 x3 + x4 = 1
x1 + x2 + x3 x4 = 1
Dire quali proprieta in continuano a valere nel caso del prodotto righe per colonne di matrici che non sono
dello stesso tipo.
Stabilire le proprieta del prodotto scalare per mezzo del prodotto righe per colonne.
Equazione caratteristica e trasformazione di similitudine
Equazione caratteristica ed autovalori
Se A e una matrice, la matrice A I e detta matrice caratteristica di A; l'equazione in detjA I j =( 1)n n + ( 1)n 1 I1 n 1 + + ( 1)n i Ii n i + + ( 1)In 1 + In = 0
di grado n, se n e l'ordine di A, e detta equazione caratteristica della matrice A. Le n radici (reali
o complesse) dell'equazione caratteristica si chiamano autovalori, valori propri o radici latenti della
matrice A.
6
Se
2
3
1
A = 41
3
la matrice caratteristica e:
2 0
3 15
12 4
2
1 A I = 4 1
3
2
0
1
3
5
3 12 4 l'equazione caratteristica e:
det(A I ) = (1 )[(4 )( 3 ) + 12] 2[(4 ) 3] =
= (1 )(2 2) = 3 + 22 + 2 = 0
e le radici caratteristiche sono, come facilmente si vede,
1 = 2;
2 = 1;
3 = 1:
Di particolare importanza e il seguente teorema, che ci limitiamo ad enunciare: (Hamilton - Cayley Sylvester) Ogni matrice A soddisfa la propria equazione caratteristica.
Sia
A = 11 22 ;
si ha:
det[A I ] = det 1 1 2 2 = (1 )(2 ) + 2 =
= 2 2 + 2 + 2 = 2 3 + 4 ;
pertanto l'equazione caratteristica e:
2 3 + 4 = 0 :
Verichiamo che:
A2 3A + 4I = 0 A2 = 11 22
quindi:
1 2 =
1 2
1 6
3 2
1 6 3 1 2 +4 1 0 =
3 2
1 2
0 1
1 6 + 3 6 + 4 0 = 0 0
3 2
3
6
0 4
0 0
Il teorema (4:1:1) permette di calcolare, per ricorrenza, le potenze m-esime (m n) di una matrice di ordine
n per mezzo di quelle di grado minore o uguale ad n 1.
Sia A la matrice dell'esempio precedente, la (4:1:1) fornisce
A2 = 3A 4I
poi, moltiplicando per A:
ovvero
A3 = 3A2 4A
A3 = A(3A 4I ) 4A = 9A 12I 4A = 5A 12I
e cos via.
7
Quando la matrice A e non singolare, lo stesso teorema permette di calcolare A m .
La (4:1:1) moltiplicata per A 1 da:
A 3I + 4A 1 = 0
cioe:
A 1 = 41 ( A + 3I ) = 41 11
21
2 +3 1 0 =42
1
2 4 0 1
4
2
3
Analogamente si puo determinare A , A , ecc. in termini di A e I .
13
2
1 5
4
Trasformazioni per similitudine e matrici simili
La matrice A si dice ottenuta dalla matrice B per trasformazione di similitudine, se esiste una
matrice non singolare R tale che:
A = RBR 1
La (4:2:1) moltiplicata per R a destra e per R 1 a sinistra fornisce
R 1 AR = (R 1 R)B (R 1 R)
ovvero B = R 1 AR, cioe la matrice B si ottiene per trasformazione di similitudine, tramite la matrice R 1
dalla matrice A; si dice anche che le matrici A e B sono simili o equivalenti. Se la matrice R e ortogonale,
A e B si dicono congruenti.
Le trasformazioni di similitudine lasciano immutate le proprieta algebriche, e quindi lasciano invariate
le equazioni algebriche fra matrici.
Se
e
C = RFR 1
A = RBR 1
allora:
8
8 0
i) B
i ) A
>
>
>
>
< ii) B + F
< ii0 ) A + C
sono simili a
iii) BF
iii0 ) AC
>
>
>
>
:
:
..
..
.
.
Da:
A = RBR 1
deduciamo
A = RBR 1 = R(B )R 1
cioe i0 ); analogamente da:
A = RBR 1 e da C = RFR 1
si ha:
A + C = RBR 1 + RFR 1 = R(B + F )R 1
cioe ii0 ); sempre da:
A = RBR 1 e da C = RFR 1
otteniamo, moltiplicando ambo i membri
AC = RB (R 1 R)FR 1 = RBFR
1
ovvero iii0 ) e cos via.
L'equazione caratteristica e invariante per trasformazione di similitudine; cioe, matrici simili hanno le
stesse radici caratteristiche.
8
Se A e simile a B , A = RBR 1 , si ha:
det(A I ) = det(RBR 1 I ) =
= det(RBR 1 RIR 1 ) =
= det(R(B I )R 1 ) = detRdet(B I )detR 1 =
= (detR) (detR) 1 det(B I ) = det(B I ):
Dal teorema discende il seguente notevole corollario:
I coecienti I1 ; I2 ; : : : ; In dell'equazione caratteristica, che per un noto teorema dell'algebra sono funzioni delle radici caratteristiche, risultano invarianti per trasformazione di similitudine.
Invarianti
Le quantita I1 ; I2 ; : : : ; In sono dette 1 ; 2 ; : : : ; N invariante della matrice A (e delle matrici equivalenti!).
Scrivere almeno due matrici del terzo ordine che ammettano le seguenti radici caratteristiche:
1 = 3;
2 = 1;
3 = 2
Dimostrare che l'n-esimo invariante di una matrice A coincide con detA:
an = detA
Radice quadrata di una matrice denita positiva
Prima di concludere questa parte dedicata all'algebra matriciale, vogliamo denire il concetto di \radice
quadrata" di una matrice denita positiva; questo concetto servira in seguito per la risoluzione dei sistemi
di equazioni dierenziali che reggono il moto delle piccole oscillazioni. Se
2
6
d11
0
6
D = 66 0.
4
..
0
0
0
0
d22
d33
0
..
.
0
..
.
0
:::
:::
:::
...
0
0
0
..
.
: : : dnn
3
7
7
7
7
5
e una matrice diagonale denita positiva, cioepcon d11 d22 dnn , si denisce radice quadrata della
matrice D, la matrice quadrata indicata con D, denita come segue:
2 pd
6
6
D = 66
4
0
0
..
.
0
11
pd0
0
..
.
0
0
0
p
22
d33
..
.
0
9
:::
:::
:::
0
0
0
..
...
p.
:::
dnn
3
7
7
7
7
5