Probabilità - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Roma

Probabilità
Maura Mezzetti
[email protected]
Introduzione alla Probabilità
•
•
•
•
Esperimenti, Eventi, Probabilità
Regole Calcolo Probabilità
Probabilità Condizionata
Teorema di Bayes
1
Cos’è la probabilità?
Probabilità studia esperimenti aleatori o casuali
Un esperimento è un qualsiasi processo di
osservazione o misurazione
Un fenomeno è aleatorio quando di esso non si
può predire con certezza il risultato.
Esempi: il lancio di un dado / di una moneta, il
rapporto euro/dollaro nei prossimi giorni, il
numero di vendite di un determinato prodotto
• Spazio campionario {Ω}: l’insieme degli
eventi elementari di un esperimento.
• Eventi semplici (risultati elementari): punti
campione dello spazio campionario. Uno
dei possibili risultati della prova, verrà
denotato con ω. Un evento semplice è un
sottoinsieme unitario di Ω
• Evento composto (risultati non elementari):
combinando gli eventi elementari possiamo
costruire eventi complessi.
2
• Evento certo: un evento che si deve
necessariamente verificare; è
rappresentato da tutti i punti dello spazio
campionario
• Evento impossibile: un evento che non si
può verificare; è definito dall’insieme vuoto
{ ∅} che non contiene alcun punto
campione
Esperimento
Lancio di una moneta:
Lancio 2 monete
Estrazione di 1 carta
Estrazione di 1 carta, colore
Partita di calcio
Esame universitario
Numero dei clienti
Durata di una lampadina
Rendimenti di un titolo
Spazio
Campionario
Testa, Croce
TT, TC, CT, CC
2♥, 2♦, ..., A♠ (52)
Rosso, Nero
Vittoria, Sconfitta, Pareggio
{Insuff, 18, …. , 30, 30 lode}
{0,1,2,…..,10,….}
R+ = [0, ∞)
R = (- ∞, ∞)
3
Operazioni su Insiemi di Eventi
unione di 2 eventi = l’uno o l’altro o tutti e due E1∪E2
.OR.
E1 ∪ E2
intersezione di 2 eventi = l’uno e l’altro E1∩E2
.AND.
E1∩E2
Operazioni su Insiemi di Eventi
Eventi mutuamente esclusivi A e B mutuamente
esclusivi se non hanno elementi in comune
E1∩E2 =ø
Evento Complementare Ac : l’insieme degli eventi
elementari che appartengono a Ω ma non ad A
4
Esempio
Esperimento: estrai una carta da un mazzo.
Nero
Spazio
campionario
:2R♥, 2R♦,
2B♣, ..., AB♠
S
Evento nero:
2B♣, 2B♠, ..., AB♠
Complementare dell’evento
Nero, Neroc: 2R♥, 2R♦, ..., AR♥,
AR♦
Esempio Eventi
mutuamente esclusivi
Spazio
Campionario:
2♥ , 2♦ , 2♣ ,
..., A♠
Evento Picche:
2♠, 3♠, 4♠, ..., A♠
♠
Cuore:
2♥ , 3♥ ,
4♥, ..., A♥
♥
S
Evento ♠ &♥ Mutuamente esclusivi
5
Diagramma di Venn
Evento (A):
A
Intersezione di eventi (A ∩ B ):
A
A∩B
B
Unione di Eventi (A ∪ B ):
A
B
Spazio Campionario (S) :
E1
E2
Ek
S
6
Eventi mutuamente esclusivi (A ∩ B =ø):
A
B
Evento complementare ( A ) :
A
A
Cos’è la probabilità?
•
Una misura numerica
della confidenza che si
verifichi un evento
•
Numero da 0 & 1
•
Somma di probabilità di
eventi mutuamente
esclusivi ed esaustivi è
uguale1
1
Certo
0.5
0
Impossibile
7
Come assegnare
probabilità
Metodo Classico
assumiamo tutti gli eventi siano
equiprobabili
Metodo delle frequenze relative
Metodo soggettivo
Approccio classico
La probabilità dell’evento A è
P( A ) =
NA
N
dove NA è il numero di esiti che soddisfano le condizioni
dell’evento A e N è il numero totale di eventi dello spazio
campionario
Esempio
Esperimento: Lancio del dado
Spazio campionario: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Probabilità: ogni elemento dello spazio
campionario ha 1/6 di probabilità di realizzarsi
8
• Qual è la probabilità di
ottenere testa se si
lancia una moneta non
truccata? Ipotizziamo 0
(croce) e 1 (testa).
• Lancia la moneta due
volte. Otteniamo una
volta testa e una volta
croce?
Molte ripetizioni
Numero teste/
Numero di lanci
1.00
0.75
0.50
0.25
0.00
0
25
50
75
100
125
Numero dei Lanci
9
Probabilità definita tramite
frequenza relativa
Definire la probabilità tramite la frequenza
relativa significa attribuire come probabilità ad
un evento la proporzione di volte che l’evento A
si verifica ripetendo infinite volte l’esperimento,
P( A ) =
nA
N
dove nA è il numero di volte che l’evento A si
verifica ripetendo lìesperimento N volte
Assiomi della probabilità
1) P(Ω)=1
2) Per ogni evento A, P(A)≥0
3) Se Ei sono eventi disgiunti (Ei∩ Ej=Ø)


P U Ei  = ∑ P( Ei )
 k
 k
10
Regole di Probabilità
Evento complementare
Sia A un evento e A il suo complementare,
allora:
P( A ) = 1- P(A)
Regola della Probabilità
Addizione
Siano A e B due eventi. La probabilità della loro
unione è data da:
P(A ∪ B ) = P ( A ) + P( B ) - P( A ∩ B )
se A e B sono mutuamente esclusivi
P(A ∪ B ) = P ( A ) + P( B )
11
A ∪ B = (A ∩ B ) ∪ B
A∩B
A∩B
B
A = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ B)
A∩B
A∩B
A∩B
B
Probabilità Condizionata
P(E1|E 2 )=
P(E1 ∩ E 2 )
P(E 2 )
Evento
Evento
SI
E2
NO
SI
E1
NO
E1∩E2
E2
E1
1,0
12
Probabilità condizionata
B= carta rossa
P( A | B) =
P( A ∩ B )
P( B )
A= carta cuori
P(A)=0.25
P(B)=0.50
P(A|B)=0.50
Probabilità condizionata
Condizionare per “un evento” significa considerare
quell’evento come il nuovo spazio degli eventi.
Per questo motivo si divide per la sua probabilità.
E’ come dividere per il totale di riga o il totale di colonna
quando nella tabella ci sono frequenze invece di
probabilità.
P(E1|E 2 ) =
P(E1 ∩ E 2 )=P(E1|E 2 ) ⋅ P(E 2 )
=
1
10
×
40
4
=
100
100
Carattere
docile (E1)
P(E1 ∩ E 2 )
4
1
=
≠ P(E1 )=
P(E 2 )
40
4
Capelli rossi
(E2)
Si
No
Si
4
21
25
No
36
39
26
40
100
13
EVENTI INDIPENDENTI
Due eventi sono indipendenti quando la probabilità del primo condizionata al
secondo è uguale alla probabilità del primo non condizionata (e viceversa)
Se
P(E1 |E2) = P(E1)
ed
P(E2|E1) = P(E2)
allora E1 ed E2 sono indipendenti
P( A ∩ B) = P( A) × P ( B)
CONDIZIONE DI INDIPENDENZA
Eventi Indipendenti?
Esempio dei due dadi
? P(somma=10)
P(somma=10 | due dadi sono uguali)
P(somma=pari | due dadi sono diversi)
? P(somma = pari)
P(dadi uguali | primo dado pari)
? P(dadi uguali)
P(primo dado pari | dadi uguali)
? P(primo dado pari)
14
evento= una coppia di valori: uno per ciascuna variabile
titolo di studio del genitore
elementare media
diploma
4
1
0
titolo di elementare
studio
media
6
24
5
del figlio diploma
5
30
25
totale
15
55
30
totale
5
35
60
100
Probabilità condizionata
Probabilità di eventi marginali :
P(Gd) = P(titolo di studio del genitore = diploma) = 0,30
P(Fd) = P(titolo di studio del figlio
= diploma) = 0,60
Probabilità dell’unione di eventi:
P(Gd∪Fd)=P[(genitore=diploma) o (figlio=diploma)] = 0,30+0,60-0,25 = 0,65
P(Ge∪Fe)=P[(genitore=element.) o (figlio=element.)]= 0,05+0,15-0,04= 0,16
P(Gd∪Fe)=P[(genitore=diploma) o (figlio=element.)] = 0,30+0,05-0,00= 0,35
Eventi Indipendenti?
Esempio dei titoli di studio di genitori e figli
P(figlio con diploma | genitore con diploma) ? P(figlio con diploma)
P(figlio con medie | genitore con diploma)
? P(figlio con medie)
15
Un qualunque esito per uno dei due dadi può manifestarsi in concomitanza con un
qualunque esito per l'altro dado. Se entrambi i dadi sono ben bilanciati, tutte le facce
hanno la medesima probabilità di comparire. L'esito del lancio di uno qualunque dei
due dadi è ininfluente sull'esito del lancio dell'altro dado.
dado
B
1
2
3
4
1
1/36 1/36
2
1/36
1/36
3
1/36
1/36 1/36
4
1/36
1/36
5
1/36
5
6
dado
A
1/36
1/36
6
punti
1/36
Somma dei due dadi:
dado
B
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
dado
A
punti
16
? P(somma=10)
P(somma=10 | due dadi sono uguali)
A={somma=10}
dado
B
1
B={i due dadi sono uguali}
2
3
4
5
dado
A
6
1
2
3
4
5
punti
6
P(somma=pari | due dadi sono diversi)
? P(somma = pari)
P(somma=pari)=1/2 P(due dadi sono diversi)=5/6
dado
B
1
1
2
2
3
6
3
4
4
4
4
4
5
2
6
6
dado
A
8
8
8
8
8
6
6
6
6
5
10
10
10
12
punti
17
P(somma=pari | due dadi sono diversi)
? P(somma = pari)
P(somma=pari)=1/2 P(due dadi sono diversi)=5/6
P(somma=pari Ո due dadi sono diversi)=12/36
dado
B
1
1
2
2
3
3
4
dado
A
8
8
8
8
8
6
6
6
6
5
6
6
6
4
4
4
4
5
2
10
10
10
12
P(dadi uguali | primo dado pari)
punti
? P(dadi uguali)
P(dadi uguali)=1/6
dado
B
1
2
3
4
5
6
dado
A
1
2
3
4
5
6
punti
18
P(dadi uguali | primo dado pari)
? P(dadi uguali)
P(primo dado pari)=1/2
dado
B
1
2
3
4
5
6
dado
A
1
2
3
4
5
punti
6
P(dadi uguali | primo dado pari)
dado
B
1
2
3
4
5
? P(dadi uguali)
6
dado
A
1
2
3
4
5
6
punti
19
Eventi Indipendenti?
Esempio dei due dadi
P(somma=10 | due dadi sono uguali)
1/6
P(somma=pari | due dadi sono diversi)
12/30
P(dadi uguali | primo dado pari)
3/18
P(primo dado pari | dadi uguali)
3/6
≠ P(somma=10)
≠ 3/36
Falso
≠ P(somma = pari)
≠ 18/36
Falso
= P(dadi uguali)
= 6/36
Vero
= P(primo dado pari)
= 18/36
Vero
Esempio dei titoli di studio di genitori e figli
≠ P(figlio con
P(figlio con diploma | genitore con diploma)
diploma)
≠ 0,60
0,83
P(figlio con medie | genitore con diploma) ≠ P(figlio con medie)
0,16
≠ 0,35
Falso
Falso
4. Proprietà Moltiplicativa della probabilità
P(E1∩E2)=P(E1|E2)xP(E2)
Dalla definizione di probabilità condizionata si
deriva la proprietà
Intuizione:
Fingiamo per un attimo che E2 si verifichi con certezza, e calcoliamo
P(E1|E2).
Adesso, rilasciamo questo assunto; E2 ridiventa un evento
incerto, quindi moltiplichiamo per la probabilità di P(E2).
Il prodotto è
la probabilità che E1 ed E2 si verifichino, cioè la probabilità
dell’intersezione dei due eventi.
Se E1 ed E2 sono indipendenti
P(E1|E2)=P(E1)
quindi P(E1∩E2) = P(E1) x P(E2)
20
Regola del prodotto
P(E1∩E2) = P(E1) x P(E2)
Questo è un caso particolare della proprietà moltiplicativa:
La probabilità che due eventi indipendenti si verifichino entrambi
è uguale al prodotto delle loro probabilità
(esempio: probabilità di fare testa due volte di seguito =
= probabilità testa 1° lancio x probabilità testa 2° lancio
= 0,5 x 0,5 = 0,25)
1)
due eventi mutuamente esclusivi non sono mai indipendenti
2)
due eventi indipendenti, non sono mai mutuamente esclusivi
PROBABILITÀ: PROSPETTO RIASSUNTIVO
Dato l'insieme I : {A1 , A2 , ... An ∈ I}
Evento certo: p(A1 ∪ A2 ∪ ... An ) = p(I) = 1
Evento impossibile: p(B | [B ∉ I]) = 0
Evento complementare: p(A i )=1-p(A i )
Unione di eventi: p(Ai∪Aj)=p(Ai) + p(Aj) - p(Ai∩Aj)
Evento condizionato: p(Ai | Aj ) = p(Ai ∩ Aj ) /p(Aj )
Intersezione di eventi: p(Ai ∩ Aj ) = p(Aj ) × p(Ai | Aj )
Eventi incompatibili: p(Ai ∩ Aj ) = 0
regola della somma : p(Ai ∪ Aj ) = p(Ai ) + p(Aj )
Eventi indipendenti: p(Ai | Aj ) = p(Ai )
regola del prodotto : p(Ai ∩ Aj ) = p(Ai ) × p(Aj )
21
Esercizi
• Siano A e B due eventi tali che P(A)=0.7 e
P(B)=0.4. I due eventi possono essere
incompatibili?
• Siano A e B due eventi indipendenti dello
spazio campionario, si sappia che
P(A)=0.5 e P(B)=0.4. Determinare P(A∪B)
Esercizi
• Siano A e B due eventi tali che P(A)=0.7 e
P(B)=0.4. I due eventi possono essere
incompatibili? NO PERCHE’ CI SAREBBE
UN EVENTO AUB CON PROBABILITà
MAGGIORE DI 1
• Siano A e B due eventi indipendenti dello
spazio campionario, si sappia che
P(A)=0.5 e P(B)=0.4. Determinare P(A∪B)
22
Due dadi sono uguali
dado
B
1
1
X
2
2
3
4
5
6
dado
A
X
3
X
4
X
5
X
6
x
punti
Somma dei due dadi è pari
dado
B
1
1
2
2
3
6
3
4
4
4
4
4
5
2
6
6
dado
A
8
8
8
8
8
6
6
6
6
5
10
10
10
12
punti
23
Somma dei due dadi pari ∩ I due dadi sono uguali
dado
B
1
1
2
2
3
3
4
dado
A
8
8
8
8
8
6
6
6
6
5
6
6
6
4
4
4
4
5
2
10
10
10
12
punti
Un qualunque esito per uno dei due dadi può manifestarsi in concomitanza con un
qualunque esito per l'altro dado. Se entrambi i dadi sono ben bilanciati, tutte le facce
hanno la medesima probabilità di comparire. L'esito del lancio di uno qualunque dei
due dadi è ininfluente sull'esito del lancio dell'altro dado.
dado
B
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
dado
A
punti
24
Note:
Punteggi ottenibili con due dadi da gioco a 6 facce
dado
B
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
dado
A
punti
PROBABILITÀ DI UN EVENTO
Evento: E
= punteggio minore di 6
p(E)
= p(2) + p(3) + p(4) + p(5) =
1
36
=
+
2
36
3
36
+
dado
B
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
+
4
36
=
10
36
dado
A
punti
25
UNIONE DI EVENTI(1) Evento:E (punteggio< 6) ∪ (punteggio≥ 8)
=
dado
B
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
UNIONE DI EVENTI (2)
dado
A
+
punti
Evento:E(punteggio PARI)∪(punteggio<6)
p(E) = p(PARI) + p(<6) - p([PARI]∩[<6] =
=
18
36
+
dado
B
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
10
4
36
36
= 24
36
dado
A
punti
26
INTERSEZIONE DI EVENTI (1)
Evento:E (punteggio PARI)∩(punteggio<6)
= p(PARI) × p(<6|PARI) =
p(E)
4 =
18
×
18
36
=
dado
B
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
4
36
dado
A
punti
INTERSEZIONE DI EVENTI (2) Evento:E= (A=1)∩(punteggio=7)
p(E)= p(A=1) × p(7|A=1) =
=
6
×
36
1
=
6
1
36
dado
B
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
 dado A
punti
nb: (A=1) e (punteggio=7) sono eventi indipendenti P(7) = p(7|A=1) =
1
6
27
Esercizio
Si supponga che in un'urna U vi siano 4
palline bianche, 3 rosse e 3 nere.
– Si estraggono due palline SENZA
reimmissione. Si calcoli la probabilità di
ottenere due palline bianche.
– Si supponga invece che l’estrazione avvenga
CON reimmissione, calcolare la probabilità di
ottenere due palline bianche.
Esercizio
In un mazzo di carte da briscola vi sono
dieci carte (A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, J, D, R) per
ciascuno dei quattro semi (♥,♦,♠,♣). Dopo
avere ben mischiato il mazzo di carte,
estraggo tre carte a caso. Qual è la
probabilità che non più di due siano Picche?
28
Esercizio
Un’urna contiene 4 palline gialle e 6 rosse.
Lancio una moneta: se esce testa aggiungo
all’urna una pallina gialla, se esce croce ne
aggiungo una rossa. Estraggo ora una
pallina dall’urna: qual è la probabilità che sia
gialla?
Esercizio
Maria compra tre biglietti di tre differenti
lotterie, la probabilità di vittoria è
rispettivamente 0.1, 0.2 e 0.05.
Qual è la probabilità che Maria vinca ad
almeno una lotteria?
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Esercizio
Maria compra tre biglietti di tre differenti
lotterie, la probabilità di vittoria è
rispettivamente 0.1, 0.2 e 0.05.
Qual è la probabilità che Maria vinca ad
almeno una lotteria?
P( A) = 0.1 P( B) = 0.2 P(C ) = 0.05
P( A ) = 0.9 P( B ) = 0.8 P(C ) = 0.95
P( A ∩ B ∩ C ) = 0.9 × 0.8 × 0.95 = 0.684
P( A ∪ B ∪ C ) = 1 − P( A ∩ B ∩ C ) = 1 − 0.684 = 0.316
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