CP110: Probabilità 1

CP110: Probabilità 1
Docente: Prof. Pietro Caputo
Foglio di esercizi 2
Esercitatore: Matteo Quattropani
[email protected];
14 marzo 2017
1. Altri esercizi di calcolo combinatorio
Esercizio 1. Dimostrare le seguenti identità
i−1
Y n − Pj k` n
`=0
(1)
=
k1 , . . . , k i
kj+1
j=0
X
(2)
k1 ,...,ki t.c. k1 +···+ki =n
n
k1 , . . . , ki
= in
Suggerimento: Quanti modi ci sono per formare una stringa lunga n con i caratteri distinti? In quanti di questi
modi si ottiene che il simbolo j compare kj volte?
Esercizio 2. Quante sono le possibili mani dello scopone scientifico? (Mazzo di carte napoletane, 4 giocatori,
10 carte a ciascun giocatore).
Esercizio 3. (Esempio 6b del Ross) Un investitore dispone di 20000e, e decide di ripartirli in 4 diversi
investimenti (ognuno dei quali consiste di un numero intero di migliaia di euro).
(1) Quante sono le strategie possibili se l’investitore decide di investire l’intero capitale?
(2) Quante se l’investitore può anche decidere di investire solo parte del capitale totale?
2. Spazio campionario, eventi, probabilità
Esercizio 5. Siano A e B due eventi. Sapendo che P(A) = 3/5, P(B) = 3/10 e P(A ∩ B) = 1/10. Scrivere
formalmente1 e quindi calcolare la probabilità dei seguenti eventi:
(1) A o B si verificano.
(2) Uno ed un solo evento tra A e B si verifica.
(3) Al massimo un evento tra A e B si verifica.
(4) Né A né B si verifica.
Esercizio 6. Immagina di lanciare due dadi, uno rosso ed uno blu. Considera gli eventi
A = {Il dado blu dà un numero pari}
B = {Il dado rosso dà un numero pari}
C = {La somma dei risultati dei due dadi dà un numero pari}
e calcola:
(1) P(A), P(B), P(C).
(2) P(A ∩ B), P(B ∩ C), P(A ∩ B).
(3) P(A ∩ B ∩ C).
Esercizio 7. Qual è la probabilità che in una classe di n persone (ignorando gli anni bisestili):
(1) Nessuno compia gli anni oggi.
1I.e. in termini insiemistici.
1
2
(2) Almeno una persona compia gli anni oggi.
(3) Nessuno compia gli anni nello stesso di giorno di nessun’altro.
(4) Esistano almeno due persone che compiano gli anni nello stesso giorno.
Esercizio 7. Sia Ω = {0, 1, 2, . . . , 10} spazio campionario. Determinare P : 2Ω → [0, 1] t.c. P({n}) è proporzionale ad n, ∀n ∈ Ω. Secondo questa legge, qual è la probabilità dell’evento A = {n ∈ Ω | n ≡ 0 mod(2)}.
Esercizio 8. Immagina di avere un mazzo con n chiavi diverse di cui una sola apre la porta che davanti. Le
chiavi sono tra loro indistinguibili.
(1) Qual è la probabilità di riuscire ad aprire la porta al k-esimo tentativo, assumendo di non poter ricordare
le chiavi che sono già state provate?
(2) Qual è la probabilità se assumiamo invece che le chiavi già provate vengano rimosse dal mazzo?
Esercizio 9. Il problema del Cavalier Dé Meré. È maggiore la probabilità di vincere scommettendo che
esca almeno un 6 su 4 tiri consecutivi, lanciando un dado alla volta, oppure scommettendo che escano almeno
due 6 su 24 tiri, lanciando due dadi alla volta?
Soluzione (SBAGLIATA!) La probabilità di avere un 6 è 1/6. Effettuando 4 lanci, la probabilità di avere
un 6 è quindi 4 × 1/6 = 2/3. Se si lanciano due dadi la probabilità di fare un doppio 6 ad ogni lancio è uguale a
1/36. Su 24 lanci, la probabilità diventa 24 × 1/36 = 2/3. Secondo l’argomento del Cavalier Dé Meré, se lancio
12 volte un dado, la probabilità di avere un 6 è pari a 2! :)
Esercizio 10. Immaginiamo che il prezzo di un titolo finanziario possa ogni giorno solamente salire o scendere
di 1e. Sapendo che il titolo oggi vale 40eed aveva lo stesso valore 30 giorni fa, qual è la probabilità che il titolo
non sia mai sceso sotto i 40e?
Suggerimento: Riguardare l’esercizio del Foglio 1 sui numeri di Catalan.
Esercizio 10. (Es. 10 Cap. II Ross) Si consideri l’esperimento dato da una corsa di cavalli alla quale
partecipano 6 cavalli. Supponiamo che A sia l’evento in cui il cavallo Soldatino arriva in una delle prime tre
posizioni e B l’evento in cui D’Artagnan arriva al secondo posto. Qual è la probabilità di A ∪ B?
Esercizio 11. Disuguaglianza di Bonferroni Siano A e B due eventi tali che P(A) = 9/10 e P(B) = 8/10.
Dimostrare che P(A ∩ B) ≥ 7/10.