Esercizi

Corso di Laurea: Diritto per le Imprese e le istituzioni
a.a. 2016-17
Statistica
Statistica Descrittiva Univariata 3
Esercizi: 5, 6
Docente: Alessandra Durio
1
Contenuti degli ESECIZI
•  Misure di posizione: la media aritmetica
•  Misure di variabilità: range e differenza interquartilica
•  Misure di variabilità:varianza e scarto quadratico medio
2
Esercizio 5.1: Testo
Esercizio 3.1
Si supponga che per la v.s.
i supponga
che per la v.s. X “ numero di pagine prodotte al
X = “ numero di pagine prodotte al minuto ”,
minutorilevata
”, rilevata
su un collettivo costituito da 12 stampanti laser,
su un collettivo costituito da 12 stampanti laser, si abbia il
i abbia
il seguente
insieme
di dati individuali
seguente
insieme
di dati individuali
{x̃a }a=1,...,12 = {4, 5, 4, 6, 8, 8, 10, 8, 6, 5, 4, 7}
Calcolare:
a) laSimedia
calcoliaritmetica
la media aritmetica
b) la media armonica
c) la media quadratica
d) la media geometrica.
OSSERVAZIONE: per risolvere questo esercizio basta ricordare 3
e definizioni delle medie richieste.
Soluzione Esercizio 3.1
Esercizio 5.1 - Soluzione — i
a) la media aritmetica
1 n
1
75
µX = Â x̃a =
(4 + 5 . . . + 7) =
= 6.25
n a=1
12
12
b) la media armonica
Ma =
n
Âna=1 x̃a 1
12
12
= 1 1
=
= 5.71105
1
2.101190
4 + 5 +...+ 7
c) la media quadratica
s
r
r
n
4
1
1 2
511
2
2
2
Mq =
x̃ =
(4 + 5 + . . . + 7 ) =
= 6.52559
n  a
12
12
Esercizio 3.2
I valori che seguono, rappresentano le temperature (in gradi
Farenheit) registrate alle ore 10.00 nel centro di Denver in una
settimana di gennaio:
Si calcoli la media aritmetica di tali temperature. Si esprima,
infine, la media delle temperature registrate espressa in gradi
Celsius.
Per inciso si ricorda la relazione
1
C = (F − 32)
5
5
Soluzione Esercizio 3.2 (i)
6
Soluzione Esercizio 3.2 (ii)
7
Soluzione Esercizio 3.2 (iii)
8
Esercizio 5.3: Testo Esercizio 3.3
Un
le pratiche
pratichedidipagamenti
pagamenti
sinistri
Unrevisore
revisorecontabile
contabile esamina
esamina le
sinistri
effettuati da una compagnia di assicurazione nel settore R.C.
effettuati
da una compagnia
di assicurazione
nelasettore
R.C.capo i
auto,
e sottopone
al responsabile
dell’agenzia
cui fanno
auto, rimborsati,
e sottopone la
al seguente
responsabile
dell’agenziadia frequenze
cui fanno capo
clienti
distribuzione
per ila
v.s.
X importo
liquidato,
in euro:
clienti
rimborsati,
la seguente
distribuzione di frequenze per la v.s.
X importo liquidato, in euro:
Classi di Importo
0
400
600
1000
a
a
a
a
400
600
1000
2000
ni
1200
2500
1200
980
Con riferimento alla v.s. X, calcolarne il valor medio nonché i primi
Con riferimento alla v.s. X, calcolarne il valor medio nonche ́ i
tre quartili.
primi tre quartili.
9
Soluzione Esercizio 3.3 (i)
Esercizio 5.3 - Soluzione — i
Iniziamo con il determinare le distribuzioni di frequenze relative e
cumulate della v.s. e le riportiamo in forma tabellare.
Classi di importo
xi
ni
fi
Fi
wi
0 a 400
400 a 600
600 a 1000
1000 a 2000
200
500
800
1500
1200
2500
1200
980
0.20
0.43
0.20
0.17
0.20
0.63
0.83
1.00
400
200
400
1000
OSSERVAZIONE: abbiamo indicato per ciscuna classe:
il centro xi ! servirà per il calcolo della media aritmetica
l’ampiezza wi ! servirà per il calcolo dei quantili
10
Esercizio
Esercizio 5.3 -Soluzione
Soluzione
— ii3.3
(ii)
Per determinare la media aritmetica a partire dalla distribuzione di
frequenze di una v.s. dobiamo utilizzare la formula:
1 k
E(X) = Â xi ni
n i=1
Ricordando che in questo caso di dati raccolti in classi si usa il
centro di classe quale rappresentante e sapendo che
n = Âki=1 ni = 5880 abbiamo:
1
µX =
(200 · 1200 + . . . + 1500 · 980) = 666.67
5880
11
Soluzione Esercizio 3.3 (iii)
Esercizio 5.3 - Soluzione — iii
Per determinare i tre quartili, guardando la colonna delle
frequenze cumulate, stabiliamo che il primo x0.25 e il secondo x0.5
appartengono entrambi alla seconda classe mentre il terzo x0.75
appertiene alla terza classe. Con la solita formula:
wi · (a F(li ))
xa = li +
.
fi
Otteniamo:
x0.25 = 400 + 200 ·
0.25 0.20
= 423.2558
0.43
x0.50 = 400 + 200 ·
0.50 0.20
= 539.5349
0.43
x0.75 = 600 + 400 ·
0.75 0.63
= 840.0000
0.20
12
Soluzione Esercizio 3.3 (iv)
Esercizio 5.3 - Soluzione — iv
0.0005
0.0010
0.0015
x0.25 = 423.26
x0.5 = 539.53
µX = 666.67
x0.75 = 840
0.0000
Densità
0.0020
0.0025
Come commentereste le misure di posizione appena calcolate?
0
500
1000
1500
2000
Classi di importo
13
Esercizio 3.4
14
Soluzione Esercizio 3.4 (i)
15
Soluzione Esercizio 3.4 (ii)
16
Soluzione Esercizio 3.4 (iii)
17
Soluzione Esercizio 3.4 (iv)
18
Soluzione Esercizio 3.4 (v)
19
Soluzione Esercizio 3.4 (vi)
20
Esercizio 3.5 TESTO E SOLUZIONE
Esercizio 5.6: Testo -Soluzione —i
Uno studente ha sotenuto in tutto 12 esami e la sua media
aritmetica è 24.58, mentre la mediana dei voti è 25.50. Sapendo
che il voto di un nuovo esame, il tredicesimo, è pari a 30, calcolare
la nuova media e la mediana dei voti.
SOLUZIONE: per calcolare la media aritmetica dei voti di tutti i 13
esami dello studente ricaviamo dalla media dei primi 12 voti la loro
somma moltiplicandola per n = 12
12
 x̃a = µX · 12 = 24.58 · 12 = 294.96
a=1
la media aritmetica di tutti i 13 voti sarà dunque:
1 13
1 12
1
x̃
=
(
x̃
+
x̃
)
=
 a 13  a 13 13 (294.96 + 30) = 24.99692
13 a=1
a=1
NON POSSIAMO determinare la MEDIANA dei 13 voti non
conoscendo l’insieme dei dati individuali della v.s.
21
Contenuti degli ESECIZI
•  Misure di posizione: la media aritmetica
•  Misure di variabilità: range e differenza interquartilica
•  Misure di variabilità:varianza e scarto quadratico medio
22
Esercizio 3.6
Siano X e Y due variabili statistiche con insiemi dei dati individuali
rispettivamente
Costruiti i diagrammi a “scatola e baffi” per ciascuna variabile
statistica, se ne valuti la variabilità.
23
Soluzione Esercizio 3.6 (i)
24
Soluzione Esercizio 3.6 (ii)
25
Soluzione Esercizio 3.6 (iii)
26
Soluzione Esercizio 3.6 (iv)
27
Soluzione Esercizio 3.6 (v)
28
Soluzione Esercizio 3.6 (vi)
29
Soluzione Esercizio 3.6 (vii)
30
Contenuti degli ESECIZI
•  Misure di posizione: la media aritmetica
•  Misure di variabilità: range e differenza interquartilica
•  Misure di variabilità:varianza e scarto quadratico medio
31
Esercizio 3.7
32
Soluzione Esercizio 3.7 (i)
33
Soluzione Esercizio 3.7 (ii)
34
Soluzione Esercizio 3.7 (iii)
35
Esercizio 3.8
36
Soluzione Esercizio 3.8 (i)
37
Soluzione Esercizio 3.8 (ii)
38
Soluzione Esercizio 3.8 (iii)
39