Consigli vari- corso Logica 2015

Consigli vari- corso Logica 2015
Per chiarimenti e correzioni scrivere a [email protected]
Nell’intento di cercare una derivazione di un sequente è meglio:
applicare PRIMA le regole di FORMAZIONE
usare SOLO le ULTIME lettere dell’alfabeto
w, x, y, z come VARIABILI
eventualmente con indice numerico
w1 , w2 , . . . , x1 , x2 , x3 , . . .
quando applicate le regole di ∃ e ∀ formazione
se USATE una variabile NUOVA sieti sicuri di soddisfare la condizione di non dipendenza
le lettere minuscole dell’alfabeto a, b, c, d, . . . fino ad x escluso sono usate come costanti:
quindi NON usate queste lettere nelle regole di ∃ e ∀ formazione
le lettere u,v, t,s sono usate come METAVARIABILI per termini
ovvero sono usate al posto SIA di costanti che di variabili
NON usate a, b, c, . . . e NEPPURE u,v, t,s nelle regole di ∃ e ∀ formazione
applicare le regole di RIFLESSIONE ∀-re e ∃-re con TERMINI giá presenti nelle formule del sequente
(se ce ne sono)
quando applichi
la regola ∀-re perchè c’è ..∀z A(z) ` ... nel sequente conclusione
o la regola ∃-re agendo su ... ` ∃z A(z)... nel sequente conclusione
CONTROLLA di non mettere al posto di z una variabile w
che diventa VINCOLATA in A(w)!!
(ad esempio se A(z) ≡ ∀w C(w, z)
la sostituzione A(w) ≡ ∀w C(w, w) NON è LECITA!!!)
1
Come tradurre una frase italiano in formula logica
Consiglio generale: per evitare errori grossolani nel tradurre una frase in italiano in formula logica
conviene che:
trovata la formula,
ritraduci la formula in una frase in italiano alla lettera
e poi vedi se corrisponde a quella di partenza che dovevi tradurre
controlla che la formula logica NON abbia variabili x, y, . . .
perchè tutte le frasi in italiano si traducono in formule logiche
le cui variabili che compaiono DEVONO ESSERE QUANTIFICATE
Come tradurre frasi con negazione
nel tradurre frasi che iniziano con ”non si dà il caso che ...”
traduci con ¬(frase in forma positiva)
Cosa traducono & ed →
Si noti che la congiunzione pr1 &pr2 traduce legami tra pr1 e pr2 del tipo
pr1 &pr2 traduce
pr1 e pr2
pr1 perchè pr2
pr1 però pr2
pr1 mentre pr2
pr1 quindi pr2
pr1 ma pr2
mentre l’ implicazione pr1 → pr2 traduce legami del tipo
pr1 → pr2 traduce
se pr1 allora pr2
pr2 se pr1
pr1 solo se pr2
solo se pr2 vale pr1
2
Trucco per tradurre il solo se
- riscrivere la frase togliendo il “solo”
- tradurre la frase ottenuta usando l’implicazione
- se la frase ottenuta è pr1 → pr2 allora la traduzione della frase iniziale si trova
SCAMBIANDO antecedente con conseguente, ovvero scrivendo pr2 → pr1
Cosa traducono i quantificatori
∀x( P(x) → Q(x) ) traduce
Chi è P(x) è pure Q(x)
Quelli che sono P(x)... sono Q(x)
I P(x) sono Q(x)
Chiunque è P(x), è pure Q(x)
Ogni P(x) è Q(x)
Soltanto i Q(x) sono P(x)
Se uno è P(x) allora è pure Q(x)
Solo se uno è Q(x) allora è pure P(x)
∃x( P(x) &Q(x) ) traduce
C’è un P(x) che è Q(x)
esiste un P(x) che è Q(x)
qualche P(x) è Q(x)
¬∃x( P(x) &Q(x) ) traduce
nessun P(x) è un Q(x)
non esiste un P(x) che è Q(x)
Trucco per tradurre il soltanto quelli, solo quelli che
- riscrivere la frase togliendo il ”soltanto”, o “solo”
- tradurre la frase ottenuta usando la quantificazione universale e l’implicazione
- se la frase ottenuta è ∀x ( fr1 (x) → fr2 (x) ) la traduzione della frase iniziale è ottenuta
SCAMBIANDO antecedente con conseguente, ovvero scrivendo ∀x ( fr2 (x) → fr1 (x) )
3
Come mettere le parentesi nelle formule
¬, ∀, ∃
lega più di
∨, &
lega più di
Esempi:
• “(negazione di A ) e B”
si scrive
¬A&B
• “negazione di ( A e B )”
si scrive
¬(A&B)
• “la ( negazione di A ) implica ( B e C )”
si scrive
¬A→B&C
• “la negazione di ( ( A implica B ) e C ) ”
si scrive
¬( ( A→B)&C )
• “(tutti gli x tale che A(x) ) o B”
si scrive
∀xA(x)∨B
• “tutti gli x tale che ( A(x) o B )”
si scrive
∀x(A(x)∨B)
• “ ( esiste un x tale che A(x) ) implica ( B o C )”
si scrive
∃x A(x)→B∨C
• “( esiste un x tale che ( A(x) implica B ) ) o C ”
si scrive
∃x( A(x)→B )∨C
4
→