16. Sostituzione di variabile: attenzione a cattura

16. Sostituzione di variabile: attenzione a cattura variabili!
Definizione di sostituzione di un termine Dato un termine t di un linguaggio predicativo e una
formula pr(x) allora indichiamo con pr[x/t] la formula ottenuta sostuendo x con t in pr(x). Tale formula
è definita come segue:
Pk (t1 , . . . , tm )[x/t]
 ≡ Pk (t1 [x/t], . . . , tm [x/t])
∀yi pr[x/t] se yi 6= x e x compare in pr

(∀yi pr)[x/t] ≡
e yi NON compare libera in t


se yi ≡ x o x non compare in pr
∀yi pr

∃y
pr[x/t]
se
yi 6= x e x compare in pr
 i
(∃yi pr)[x/t] ≡
e yi NON compare libera in t


∃yi pr
se yi ≡ x o x non compare in pr
(pr1 & pr2 )[x/t] ≡ pr1 [x/t] & pr2 [x/t]
(pr1 ∨ pr2 )[x/t] ≡ pr1 [x/t] ∨ pr2 [x/t]
(pr1 → pr2 )[x/t] ≡ pr1 [x/t] → pr2 [x/t]
(¬pr1 )[x/t] ≡ ¬pr1 [x/t]
MORALE
Quando sostituisci una variabile y al posto di x in un predicato pr(x)
controlla che - SE compare ∀y o ∃y in pr(x) la sostituzione di x con y NON faccia cadere il nuovo y
sotto il POTERE di ∀y o ∃y
ovvero aumenti il numero di occorrenze di y in loro potere!
∃y y = y ` ∇
∀−S
∀x ∃y x = y ` ∇
∀y y = a ` y = z
∀−D
∀y y = a ` ∀x x = z
NOOOOO!!!!
SI!!!!
Stabilire quali delle seguenti applicazioni di ∀-S o ∃-D sono lecite
1. È lecita la seguente applicazione di ∀-S
∀y ∃x x < y + z ,
∃x x < x + z ` ∇
∀−S
∀y ∃x x < y + z ` ∇
??
2. È lecita la seguente applicazione di ∀-S
∀y ∃x x < y + z ,
∃x x < z + z ` ∇
∀−S
∀y ∃x x < y + z ` ∇
??
3. È lecita la seguente applicazione di ∀-D
1
Γ ` ∃x x < z + z
∀−D
Γ ` ∀y ∃x x < y + z
??
4. È lecita la seguente applicazione di ∀-D
Γ ` ∃x x < x + z
∀−D
Γ ` ∀y ∃x x < y + z
??
5. È lecita la seguente applicazione di ∀-D
∀y C(y) ` ∃x x < y + z
∀−D
∀y C(y) ` ∀w ∃x x < w + z
??
Esercizi su uguaglianza
1. Nell’estensione di LC con uguaglianza, ovvero in LC= , stabilire se sono validi o meno, o soddisfacibili o meno i seguenti sequenti:
(a) ` ¬∀x x = x
(b) `∀y ∀x x=y
(c) ` ∀y ∀x ∀z ( x = y & z = y → x = z )
(d) ` ∃x ∃y x = y
(e) ` ∀x ∃y ∃z ( x = y ∨ y = z )
(f) ∀w w = a ` ∀x ∀y x = y
2. Formalizzare l’ asserzione
Franco è venuto ad una sola riunione.
Franco non è venuto all’ultima riunione.
Franco è venuto alla riunione del 10 giugno.
L’ultima riunione non è quella del 10 giugno.
utilizzando:
V(x,y)= x è venuto alla riunione y
u=ultima riunione
d=riunione del 10 giugno
f=Franco
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Paradosso Russell e curiosa verità
1. È vero che in questa aula
“C’è un tale che se lui ride allora tutti ridono.”
??
Formalizzare con
R(x)= “x ride”
2. È vero che in questa aula
“C’è un tale che se lui vota contro l’uso del tablet a lezione allora tutti votano contro l’uso del
tablet a lezione .”
??
Formalizzare con
V (x)= “x vota contro l’uso del tablet a lezione”
Stabilire se la formula ottenuta è valida o meno e soddisfacibile o meno in logica classica.
3. come si formalizza
“Esiste uno che rade tutti quelli che non radono se stessi.”
??
si consiglia di usare:
R(x,y)=“x rade y”
4. come si formalizza
“Esiste uno che rade soltanto quelli che non radono se stessi.”
??
Poi stabilirne la validità e soddisfacibilità o meno in logica classica.
5. come si formalizza
“Esiste uno che rade tutti quelli che non radono se stessi e soltanto loro.”
??
Poi stabilirne la validità e soddisfacibilità o meno in logica classica.
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