PROGRAMMA DI
ELEMENTI DI ANALISI MATEMATICA E GEOMETRIA
CORSI A-L e M-Z
ANNO ACCADEMICO 2014-2015
Proff. Giovanni Emmanuele e Raffaella Cilia
NUMERI REALI.
Numeri reali: rappresentazione decimale. Uguaglianza. Ordinamento. Valore
assoluto e proprietà. Definizione di funzione e di successione. Successioni stabilizzate. Operazioni elementari con numeri reali. Principio di induzione ed alcune applicazioni. Teorema di esistenza ed unicità della radice n-esima aritmetica. Studio dell'equazione x^n = a. Potenze con esponente reale e proprietà.
Teorema di esistenza ed unicità del logaritmo. Proprietà. Equazioni e disequazioni irrazionali, esponenziali e logaritmiche. Richiami di trigonometria, equazioni e disequazioni trigonometriche. Proprietà di Archimede in R. Densità di
Q e di R\Q in R.
NUMERI COMPLESSI.
Numeri complessi: definizione, operazioni, isomorfismo algebrico tra l'insieme
dei numeri reali e un sottoinsieme di C; forma algebrica di un numero complesso ed operazioni tra numeri complessi scritti in tale forma. Modulo di un numero complesso. Complesso coniugato. Forma trigonometrica. Formula di De
Moivre. Radice n-sima di un numero complesso.
INSIEMI NUMERICI.
Maggioranti, minoranti, massimo e minimo di un insieme numerico. Insiemi
numerici limitati. Esistenza del minimo (massimo) dell'insieme dei maggioranti
(minoranti) di un insieme numerico limitato superiormente (inferiormente).
Estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme numerico. Proprietà caratteristiche dell'estremo inferiore e dell'estremo superiore. Insiemi separati ed insiemi contigui.
FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE.
Restrizioni, prolungamenti di una funzione. campo di esistenza. Immagine di
una funzione. Grafico. Funzioni periodiche. Funzioni pari e funzioni dispari.
Funzioni monotòne. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche, funzioni inver-
tibili. Funzione composta. Funzione inversa. Funzioni elementari: funzione valore assoluto, funzioni razionali fratte, funzione esponenziale, funzione logaritmica, funzioni trigonometriche, funzioni iperboliche. Invertibilità di opportune restrizioni delle funzioni trigonometriche e delle funzioni iperboliche.
ELEMENTI DI TOPOLOGIA.
Distanza in R e in R^2. Definizione di intorno sferico. Punti interni, esterni,
isolati, di frontiera e di accumulazione per insiemi in R e in R^2. Insiemi aperti
e insiemi chiusi e alcune loro proprietà.
SUCCESSIONI NUMERICHE.
Definizione di successione numerica. Successioni numeriche limitate. Successioni convergenti; successioni divergenti; successioni non regolari. Teorema
dell' unicità del limite, Teorema della permanenza del segno. Teoremi di confronto. Teorema di limitatezza delle successioni convergenti. Successioni monotòne. Teorema del limite di una successione monotòna e applicazione al
problema della ricerca degli estremi di un insieme numerico. Successioni
estratte e loro limiti. Operazioni con limiti. Forme indeterminate. Limiti
notevoli. Numero di Nepero. Limiti dedotti da quello del numero di Nepero.
Teorema di Bolzano-Weierstrass e suo Corollario. Criterio di convergenza di
Cauchy.
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE.
Definizioni di limite di una funzione reale di variabile reale. Teorema che lega
limiti di funzioni a limiti di successioni. Operazioni con limiti. Teorema di
unicità del limite. Teorema della permanenza del segno. Teoremi di confronto.
Teorema di limitatezza locale. Limite destro e limite sinistro. Teorema del limite di una funzione composta. Teorema del limite di una funzione monotòna.
Funzioni continue. Continuità delle funzioni elementari. Classificazione delle
discontinuità. Discontinuità delle funzioni monotòne. Continuità delle funzioni
composte. Teoremi fondamentali sulle funzioni continue: Teorema di esistenza
degli zeri; Teorema dei valori intermedi; Teorema di Weierstrass. Relazioni tra
monotonìa, continuità e invertibilità. Teorema di continuità della funzione inversa. Asintoti.
CALCOLO DIFFERENZIALE.
Derivabilità di una funzione e definizione di derivata. Funzione derivata. Derivabilità delle funzioni elementari e calcolo delle derivate. Continuità delle funzioni derivabili. Significato geometrico della derivata. Punti angolosi, punti cuspidali, punti di flesso a tangente verticale. Derivabilità della funzione composta. Derivabilità della funzione inversa e significato geometrico. Derivabilità
delle funzioni arcsen x, arcos x, arctg x. Definizione di punto di estremo relativo per una funzione. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange. Corollari: funzioni con derivata nulla; caratterizzazione delle primitive di
una funzione in un intervallo; relazione tra il limite del rapporto incrementale e
il limite della derivata; criterio di monotonìa e criterio di stretta monotonìa.
Condizione sufficiente affinchè un punto sia di estremo relativo. Ricerca degli
estremi relativi ed assoluti di una funzione. Teoremi di De L'Hopital. Discontinuità della funzione derivata.
FUNZIONI CONVESSE IN UN INTERVALLO.
Definizioni di funzioni convessa e di funzione concava in un intervallo. Equivalenza tra la definizione analitica e la definizione geometrica. Continuità ed
esistenza di derivata destra e sinistra in ogni punto interno all'intervallo di definizione di una funzione convessa. Caratterizzazione delle funzioni convesse
derivabili una volta e delle funzioni convesse derivabili due volte. Punti di
flesso. Condizione necessaria affinchè un punto sia di flesso. Ricerca dei punti
di flesso. Grafico di una funzione. Formula di Taylor con resto di Lagrange e
con resto di Peano. Calcolo dei limiti e calcolo approssimato usando la formula
di Taylor. Applicazione della formula di Taylor nella ricerca degli estremi
relativi e nella ricerca dei flessi.
INTEGRAZIONE SECONDO RIEMANN.
Definizione di integrabilità secondo Riemann per funzioni limitate in un
intervallo [a;b]. Funzione di Dirichlet. Criterio di Riemann. Integrabilità delle
funzioni continue. Integrabilità delle funzioni monotòne e delle funzioni generalmente continue e limitate. Teorema della media. Proprietà dell'integrale di
Riemann. Integrale definito e sue prime proprietà. Funzione integrale e sue
prime proprietà. Derivabilità della funzione integrale. Teorema Fondamentale
del Calcolo Integrale e suo Corollario.
INTEGRAZIONE INDEFINITA.
Definizione di primitiva e caratterizzazione delle primitive in un intervallo.
Esempi di funzioni prive di primitive. Integrale indefinito. Proprietà di omogeneità. Proprietà distributiva. Integrali elementari. Integrazione per parti.
Primo Teorema di Sostituzione e sue applicazioni al calcolo di vari tipi di
integrali indefiniti. Metodo di integrazione per decomposizione in fratti
semplici. Secondo Teorema di Sostituzione e sue applicazioni al calcolo di vari
tipi di integrali indefiniti.
CENNI SUGLI INTEGRALI IMPROPRI.
Definizione di integrali impropri di prima e seconda specie e prime proprietà.
Assoluta sommabilità in senso improprio. Relazione tra la assoluta sommabilità
in senso improprio e la sommabilità in senso improprio. Studio di funzioni
composte tramite funzioni integrali.
SERIE NUMERICHE.
Serie numeriche. Criterio di convergenza di Cauchy per le serie numeriche.
Condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica. Serie resto.
Serie geometrica, serie telescopiche e di Mengoli, serie armonica. Serie
armonica generalizzata. Serie a termini non negativi. Criteri di convergenza e
divergenza per le serie a termini non negativi: confronto e corollari; rapporto e
corollario; radice e corollario; Raabe e corollario; condensazione di Cauchy.
Maggiorazione dell’errore. Assoluta convergenza. Serie a termini di segno
alterno. Teorema di Leibnitz e condizioni sufficienti affinchè una serie a segno
alterno sia indeterminata. Maggiorazione dell'errore nel Teorema di Leibnitz.
Serie logaritmica e serie esponenziale.
TESTO CONSIGLIATO:
G. Emmanuele, Analisi Matematica I, Pitagora Editore (2010).
