MATEMATICA CORSO A CORSO DI LAUREA IN SCIENZE

MATEMATICA CORSO A
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE
I PROVA IN ITINERE COMPITO PROVA 10-01-2012
1- Il volume di un corpo di qualsiasi forma è proporzionale al cubo di una qualunque delle sue
dimensioni lineari. Supponiamo che una di queste dimensioni lineari abbia valore stimato
40 cm ed errore assoluto ± 2 cm. Calcola valore stimato, errore assoluto ed errore relativo (a
meno della costante di proporzionalità) del volume del corpo
SOLUZIONE: l’errore relativo della dimensione l assegnata è dato da 2/40 = 1/20 =
0.05<0.1, quindi possiamo approssimare il valore stimato di l3 con 403 cm3 ; l’errore relativo
di l3 è ottenuto sommando per tre volte l’errore relativo di l, dunque è 3/20 = 0.15; l’errore
assoluto di l3 è ottenuto dal prodotto del suo valore stimato per il suo errore relativo dunque
da 403·(0.15) = 9600
l3 = 64·103 ± 9.6·103 cm3
2- Sia A e B due eventi con probabilità P(A) = 0.4 e P(B) = 0.1. Determina:
a) la probabilià che B non si verifichi;
b) la probabilità che A e B si verifichino contemporaneamente sapendo che P(A|B) = 0.3;
c) la probabilità che si verifichi almeno uno dei due eventi.
3- Risolvi la disequazione x-sqr(x2 –5x+4)≥0
SOLUZIONE: la radice quadrata è definita se e solo se x2 –5x+4≥0, dunque se e solo se x≤1
oppure x≥4, si osserva, inoltre, che non potranno mai esserci soluzioni per x<0; dunque si
cercano soluzioni per 0≤x≤1 oppure x≥4, in tale insieme possiamo elevare al quadrato ambo i
membri della disequazione, dopo avere portato la radice quadrata a destra, vale a dire
x≥ sqr(x2 –5x+4)
x2 ≥x2 –5x+4, da cui –5x+4≤0 e quindi x≥4/5
dunque le soluzioni della disequazione sono date dai numeri x tali che
4/5≤x≤1 oppure x≥4
4- Paolo e Francesca hanno deciso di divorziare. Essendosi sposati in comunione dei beni,
devono stabilire come suddividere i loro averi.
a) Su suggerimento degli avvocati, decidono di vendere la loro auto ricavandone 10000 euro.
Gli avvocati suggeriscono anche di suddividere questa cifra in modo proporzionale alla
percentuale d'uso dell'auto da parte dei due (ex-)coniugi nell'ultimo anno. Sapendo che
nell'ultimo anno Paolo ha guidato l'auto per 360 ore mentre Francesca l'ha guidata per 840
ore, calcola la percentuale di utilizzo dell'auto di Paolo, e quanti euro del ricavato vanno a
Francesca.
b) Sapendo che il numero di ore di guida di Paolo è stato calcolato con un errore relativo del
10% , tra quali valori può variare il ricavo di Francesca?
c) Paolo e Francesca avevano investito in azioni. All' inizio del divorzio, il valore totale delle
azioni a loro disposizione era di 15 000 euro; di queste, il 40% era a nome di Paolo. Inoltre,
ciascuna azione valeva 7.5 euro. Alla fine del divorzio, Paolo ha dovuto cedere il 20% delle
sue azioni a Francesca. Sapendo che nel frattempo il valore totale delle azioni è diminuito del
10%, qual è il valore delle azioni rimaste a Francesca alla fine del divorzio?
d) Paolo e Francesca avevano investito anche in BOT. All'inizio del divorzio, Paolo
possedeva il 40% dei BOT; alla fine del divorzio, ha dovuto cedere il 20% dei suoi BOT a
Francesca. Sapendo che nel frattempo il valore totale dei BOT da loro posseduti è diminuito
del 20%, alla fine del divorzio il valore dei BOT posseduti da Francesca è aumentato o
diminuito?
SOLUZIONE: a) Le ore di utilizzo sono in tutto 1200, da cui 360/1200=30% percentuale di
utilizzo dell’auto da parte di Paolo, quindi la percentuale di uso di Francesca è 70%, quindi a
Francesca vanno 70%10000= 7000 euro;
b) essendo le ore di guida di Paolo calcolate a meno di un errore relativo del 10%, le ore di
guida di Paolo possono essere 360±36 e quindi la percentuale di utilizzo di Paolo è compresa
tra 324/1200=27% e 396/1200=33%, quindi la percentuale di utilizzo di Francesca varia tra il
67% e il 73% e quindi il suo ricavo può variare tra 6700 e 7300 euro;
c) Paolo possiede prima del divorzio il 40% delle azioni, dopo il divorzio cede il 20% del suo
40% a Francesca, quindi possiede alla fine l’80% (40%)= 32% delle azioni e quindi
Francesca, dopo il divorzio, possiede il 68% delle azioni. Il valore delle azioni è diminuito del
10% ed è quindi 15000(0.9)=13500 euro. Il valore delle azioni rimaste a Francesca è quindi
13500(0.68)= 9180 euro;
d) Indichiamo con VI il valore totale iniziale dei BOT (che non conosciamo), Francesca
possedeva il 60% di VI, quindi 0.6 VI. Ora, dopo il divorzio, Paolo ha ceduto il 20% del suo
40% dei BOT a Francesca e quindi, come nel caso delle azioni, Paolo detiene il 32% dei BOT
e Francesca il 68%. Il valore dei BOT è diminuito del 20% ed è quindi 0.8VI, dunque il
valore dei BOT posseduti da Francesca dopo il divorzio è 0.68(0.8)VI, poiche
0.6>0.68(0.8)=0.544, il valore dei BOT posseduti da Francesca dopo il divorzio è diminuito
rispetto al valore dei BOT posseduti da Francesca prima del divorzio.
5- Il colore autunnale delle foglie in una specie di aceri giapponesi è determinata
geneticamente da un gene con tre possibili alleli: l’allele “A” che fornisce un colore
arancione, l’allele “R” che fornisce un colore rosso, e l’allele “M” che fornisce un colore
marrone. Gli alleli “A” e “R” sono dominanti sull’allele “M”; inoltre il genotipo “AR”
produce un bellissimo colore viola. La popolazione di aceri che stai studiando soddisfa le
ipotesi della legge di Hardy-Weinberg, e sai che il 15% degli aceri hanno foglie arancioni, il
32% rosse, il 4% viola e il 49% marroni.
a) Calcola la probabilità di tutti gli alleli e di tutti i genotipi.
b) Qual è la probabilità che un acero preso a caso nella popolazione abbia foglie rosse
sapendo che entrambi i genitori avevano foglie viola?
c) Qual è la probabilità che un acero preso a caso nella popolazione abbia foglie rosse
sapendo che uno dei due genitori aveva foglie rosse?
d) Qual è la probabilità che un acero preso a caso nella popolazione abbia foglie rosse
sapendo che entrambi i genitori avevano foglie marroni?
SOLUZIONE: a) indichiamo con p la frequenza dell’allele A, con q la frequenza dell’allele R
e con r la frequenza dell’allele M; è noto che p2 + 2pr=0.15, q2 + 2qr=0.32, 2pq=0.04,ed
infine r2 =0.49; dall’ultima relazione ricaviamo r=0.7, dalla prima relazione ricaviamo p=0.1
e, dalla relazione p+q+r=1, ricaviamo q=0.2; siamo ora in grado di calcolare le frequenze
genotipiche: genotipo AA p2 =0.01 , genotipo AM 2pr=0.14, genotipo RR q2 =0.04, genotipo
RM 2qr= 0.28, genotipo AR 2pq=0.04, ed infine genotipo MM r2 =0.49;
b) E’ richiesta la probabilità di figlio R, sapendo entrambi i genitori viola e quindi AR,
questo evento accade unicamente se entrambi i genitori trasmettono l’allele R al figlio, quindi
probabilità 1/4;
c) è richiesta la probabilità di figlio R sapendo che un genitore (non si sa quale) è R e per
l’altro genitore non è noto niente, indichiamo questa probabilità con P(FR| GR), dunque una
probabilità condizionale in cui la probabilità da mettere al denominatore è q2 + 2qr, per
calcolare la probabilità da mettere al numeratore si deve tenere conto che un genitore è
fenotipicamente R e l'altro deve essere tale da poter ottenere figlio fenotipicamente R;
il genitore R può essere RR oppure RM
se è RR (prob. q2) si deve tenere conto di quali sono gli incroci con il genotipo dell'altro
genitore tali da generare un figlio R. Qui di seguito trovate i genotipi dell'altro genitore e
vicino le probabilità che allora il figlio sia R: Tutti i casi che seguono sono incroci doppi
(padrex madre, madrexpadre) tranne RRxRR caso singolo
AA prob.0
AM prob 1/2
RR prob 1
RM prob 1
AR prob 1/2
MM prob 1
Se il genitore R è RM(prob 2qr) allora tenendo conto dell'altro genitore e ragionando come
prima si ha:
Tutti i casi che seguono sono incroci doppi (padrex madre, madrexpadre) tranne RMxRM
AA prob 0
AM prob 1/4
RR prob 1
RM prob 3/4
AR prob 1/2
MM prob 1/2
Mettendo insieme quanto detto, si ha che la probabilità richiesta è ottenuta nel modo
seguente
[q2(2(1/2)2pr+q2+4qr+2(1/2)2pq+2r2)+2qr(2(1/4)2pr+2q2+(3/4)2qr+2(1/2)2pq+2(1/2)r2)]/(q2+
+2qr) =0.99875
6- Tutti i venerdì una linea aerea collega con un piccolo aereo da 30 posti Milano e Catania
via Pisa. Le tariffe sono: Milano–Pisa 100 euro; Pisa– Catania 140 euro; Milano–Catania 180
euro. 10 passeggeri hanno già comprato il biglietto per la tratta Pisa–Catania, e non vengono
venduti altri biglietti per questa tratta. Qual è la distribuzione di biglietti fra le tratte
Milano–Pisa e Milano–Catania (che sia compatibile con il numero di posti sull’aereo e con i
biglietti già venduti per la tratta Pisa–Catania) che rende massimo il ricavo della linea aerea?
Qual è il ricavo massimo ottenibile?
SOLUZIONE: Poiché da Pisa a Catania sono già stati venduti 10 posti e non sono vendibili
altri, ed essendoci un guadagno maggiore da Milano a Catania rispetto a Milano- Pisa,
conviene vendere il numero max di biglietti possibili , 30-10=20, Milano - Catania e quindi
10 biglietti Milano - Pisa.
Dunque il ricavo sarà 180x20+ 100x10 + 140x10= 6000 euro