ESERCITAZIONE ELETTRICITA’ E CIRCUITI – ESEMPI GUIDATI Tre resistenze in serie Un circuito è formato da tre resistenze collegate in serie a una batteria da 24,0 V. La corrente nel circuito è di 0,0320 A. Sapendo che R1 = 250,0 , R2 = 150,0 , trovare: a. il valore di R3; R1 b. la differenza di potenziale ai capi di ciascuna resistenza. Descrizione In figura è mostrato il circuito. Osserviamo che attraverso ciascuna resistenza passa la medesima corrente I = 0,0320A I R2 V R3 I Strategia a. Innanzitutto, possiamo ottenere la resistenza equivalente del circuito utilizzando la legge di Ohm: R eq = V I . Poiché le resistenze sono in serie, sappiamo anche che Req = R1 + R2 + R3 , e da questa relazione possiamo ricavare l'unica incognita R3. b. Possiamo quindi calcolare la differenza di potenziale ai capi di ciascuna resistenza utilizzando ancora la legge di Ohm, V = R ∙ I Soluzione a. 1. Utilizziamo la legge di Ohm per trovare la resistenza equivalente R eq = V I = 24,0V 0,0320A = 750 2. Uguagliamo Req alla somma delle resistenze e ricaviamo R3 Req = R1 + R2 + R3 R 3 = R eq – R1 – R 2 = 750 − 250,0 − 150,0 = 350 b. 3. Utilizziamo la legge di Ohm per determinare la differenza di potenziale ai capi di R1 V1 = R1 ∙ I = (250,0 ) ∙ (0,0320A) = 8,00V 4. Troviamo la differenza di potenziale ai capi di R2 V2 = R 2 ∙ I = (150,0 ) ∙ (0,0320A) = 4,80V 5. Troviamo la differenza di potenziale ai capi di R3 V3 = R 3 ∙ I = (750,0 ) ∙ (0,0320A) = 11,2V Osservazioni Maggiore è la resistenza, maggiore è la relativa differenza di potenziale. Inoltre, la somma delle singole differenze di potenziale è 8,00 V + 4,80 V + 11,2 V = 24,0 V, come deve essere. Problema Trovare la potenza dissipata su ciascuna resistenza. Tre resistenze in parallelo Considera un circuito con tre resistenze, R1 = 250,0 , R2 = 150,0 e R3 = 350,0 , collegate in parallelo con una batteria da 24,0 V. Trovare: a. la corrente totale fornita dalla batteria; b. la corrente che passa attraverso ciascuna resistenza. I1 I Descrizione In figura è mostrato il collegamento in parallelo delle resistenze V con la batteria. In questo caso, ciascuna resistenza ha, ai suoi capi, la medesima differenza di potenziale. R1 I2 R2 I3 R3 I Strategia V a. Possiamo trovare la corrente totale utilizzando la relazione I = dove Req è calcolata mediante la formula 1 Req = 1 R1 + 1 R2 + , Req 1 R3 b. Per ciascuna resistenza la corrente è data dalla legge di Ohm, I = V Req . Soluzione a. 1. Troviamo la resistenza equivalente del circuito: 1 Req = 1 R1 + 1 R2 + 1 R3 = 1 250,0 R eq = + 1 150,0 1 0.01352 −1 + 1 350,0 = 0,01352 −1 = 73,96 b. 2. Utilizziamo la legge di Ohm per trovare la corrente totale V I= V Req 3. Calcoliamo I1 utilizzando I1 = R con V = 24,0 V I1 = 4. Ripetiamo il calcolo precedente per le resistenze 2 e 3 I2 = 1 I3 = V R1 V R2 = = = 24V 73,96 24V 250,0 24V 150,0 = 0,325 A = 0,0960 A = 0,160 A V 24V = = 0,0686 A R 3 350,0 Osservazioni Come si vede la resistenza minore è attraversata dalla corrente maggiore e la somma delle tre correnti fornisce la corrente totale I I = I1 + I2 + I3 = 0,325A + 0,0960A + 0,160A = 0,325A Problema Trovare la potenza dissipata su ciascuna resistenza Tre resistenze Tre resistenze, R1 = 150,0 , R2 = 250,0 e R3 = 350,0 , sono collegate come in figura e alimentate da una batteria da 24,0 V. Trovare: a. la corrente totale fornita dalla batteria; b. la differenza di potenziale (d.d.p.) ai capi di R2 (VAC) c. la differenza di potenziale (d.d.p.) tra i punti A e B R1 d. la corrente che passa attraverso ciascuna resistenza. I1 R3 A I2 R2 I C V B Strategia a. Per determinare la corrente totale fornita dalla batteria è necessario trovare la resistenza equivalente totale. Perciò bisogna esaminare ogni coppia di resistenze per vedere se sono in serie o in parallelo e sostituire alla coppia la resistenza equivalente. Procedendo in questo modo si arriverà ad una unica resistenza equivalente e la corrente totale sarà data dalla legge di Ohm: I = V Req b. la d.d.p. VAC ai capi di R2 è data dalla corrente I (che è la corrente totale precedentemente calcolata) che passa nella resistenza R2 c. poiché il punto A è a potenziale minore del punto C (a causa della caduta di potenziale causata dalla resistenza R2), la d.d.p. tra i punti A e B è data dalla differenza tra la d.d.p. della batteria, V, e la d.d.p. ai capi di R2. d. la corrente che passa in R1 è data dalla legge di Ohm: I1 = V1 R1 = VAB R1 dove VAB è la d.d.p. ai capi di R1 il calcolo della corrente in R3 è analogo. Soluzione a. Per trovare la resistenza equivalente iniziamo con l’esaminare R1 ed R2; queste non sono in serie, poiché nel punto A è inserita anche la resistenza R3 e quindi la corrente che passa in R1 non è la stessa di quella che passa in R2; non sono in parallelo perché il potenziale del punto A è lo stesso per entrambe, ma il potenziale del secondo estremo di R1 (punto B) non è lo stesso del potenziale del secondo estremo di R2 (punto C), poiché tra i punti B e C è inserita la batteria. Esaminiamo ora R2 ed R3; per lo stessa analisi precedente non sono né in serie né in parallelo. Infine R1 ed R3; queste due resistenze hanno un loro estremo al potenziale A e l’altro estremo al potenziale B, quindi sono sottoposte alla stessa differenza di potenziale VAB e quindi sono in parallelo. Possiamo ridisegnare la figura per rendere più evidente questo fatto: I1 I2 I2 R2 R1 I1 A A R2 I C V B R3 R1 C R3 B I V La resistenza equivalente del parallelo di R1 ed R3 è data da: R AB = (150,0 ) ∙ (350,0 ) R1 ∙ R 3 = = 105 R1 + R 3 (150,0 ) + (350,0 ) A Ed il circuito può essere disegnato come nella figura a fianco; ora le resistenze RAB ed R2 sono evidentemente in serie, e la resistenza equivalente a questa serie è data da : R eq = R AB + R 2 = (105,0 ) + (250,0 ) = 355 R2 C RAB Quindi nel circuito finale (figura sottostante): B la corrente totale è: I C Req V I= V Req = 24V 355 = 67,6 ∙ 10−3 A b. la d.d.p. ai capi di R2 è data dalla legge di Ohm: VAC = V2 = R 2 ∙ I = (250,0 ) ∙ (67,6 ∙ 10 −3 A) = 16,9V c. mentre la d.d.p. tra i punti A e B è: VAB = VAC + V = 24,0V − 16,9V = 7,1V d. infine la corrente in R1 è: I1 = V1 VAB 7,1V −3 = = = 47,3 ∙ 10 A R1 R1 150,0 I3 = V3 VAB 7,1V −3 = = = 20,3 ∙ 10 A R3 R3 350,0 E la corrente in R3 è Osservazione Si noti come la somma delle due correnti I1 e I2 è pari alla corrente totale I (conservazione della carica) I V