2 - Sezione di Fisica

Corso di Fisica I per Matematica
DOCENTE:
Marina COBAL: [email protected] – Tel. 339- 2326287
TESTO di RIFERIMENTO:
Mazzoldi, Nigro, Voci: Elementi d fisica,Meccanica e Termodinamica Ed. EdiSES
FONDAMENTI DI FISICA - Meccanica e Termologia D. Halliday, R. Resnick, J. Walker
CALENDARIO:
1) Introduzione, cinematica in 1D-2D
2) Cinematica in 3D
3) Dinamica del punto, leggi di Newton
4) Dinamica del punto, tipi di forze
5) Dinamica del punto: Energia
6) Dinamica del punto: momento angolare, moti relativi
7) Dinamica di sistemi di punti, centro di massa
8) Dinamica di sistemi di punti, Konig, Huygens-Steiner
9) Corpo rigido, rotolamento puro
10)Termodinamica, 1° principio, calore e lavoro, gas perfetti
11)Termodinamica, macchine termiche, ciclo di Carnot, 2° principio
PROGRAMMA DEL CORSO di FISICA GENERALE I
Vettori e calcolo vettoriale
Cinematica del punto materiale
Moto unidimensionale (posizione, velocità, accelerazione). Moto in due dimensioni. Moto circolare e moto dei gravi
Dinamica del punto materiale.
Concetto di forza. I tre principi di Newton . La quantità di moto. Risultante delle forze, equilibrio e reazioni vincolari.
Classificazione delle forze: forza peso, forze di attrito radente, piano inclinato, forza elastica, forza di attrito viscoso, forze
centripete.
Dinamica del punto: lavoro, energia, momenti
Lavoro e potenza. Energia cinetica e Teorema dell energia cinetica. Lavoro di alcune forze: forza peso, forza elastica e forza
di attrito.
Forze conservative e energia potenziale. Energia meccanica e sua conservazione. Momento di una forza e momento della
quantità di moto.Teorema del momento angolare.
Dinamica dei sistemi di punti
Definizione di sistema di punti materiali. Forze interne e forze esterne. Centro di massa di un sistema e suo moto.
Conservazione della quantità di moto per un sistema. Momento angolare di un sistema e conservazione del momento
angolare.
Sistema di riferimento del centro di massa. Teoremi di Konig, lavoro ed energia. Corpo rigido: definizione e centro di massa.
Dinamica del corpo rigido
Teoremi di Huygens-Steiner e Konig. Dinamica del corpo rigido in generale. Pendolo composto e rotolamento puro.
Leggi di conservazione.
Termodinamica
Sistema termodinamico. Definizione, variabili termodinamiche, equilibrio del sistema. Equazione di stato.
Trasformazioni termodinamiche, trasformazioni reversibili e irreversibili. Temperatura di un sistema. Primo Principio della
Termodinamica.
Esempi di trasformazioni termodinamiche.Trasformazioni cicliche. Ciclo di Carnot. Secondo Principio della
Termodinamica. Teorema di Carnot. Entropia.
Corso di Fisica I
Prof. M. Cobal
[email protected]
Calcolo Vettoriale
Vettori dello spazio bidimensionale
Dato un sistema di
riferimento sul piano di
due assi cartesiani
ortogonali
3
y
2
1
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
1
2
3
x
Vettori dello spazio bidimensionale
Dato un sistema di
riferimento sul piano
formato da due assi
cartesiani ortogonali
3
y
2
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-2
-3
Ad ogni segmento orientato si può
associare una coppia ordinata di
numeri reali (x;y), data dalle
coordinate dell estremo del
segmento orientato
Vettori dello spazio bidimensionale
v = (3;2)
3
P (3; 2)
2
v
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-2
Ogni vettore nel piano si può quindi
rappresentare come
-3
coppia ordinata di numeri reali
(rappresentazione algebrica o
analitica)
Vettori dello spazio bidimensionale
v = (3;2)
3
u =(-1;-3)
P (3; 2)
2
v
1
j
-3
-2
0
-1
i
1
2
3
-1
u
-2
Ogni vettore nel piano si può quindi
rappresentare come
coppia ordinata di numeri reali
Q (-1; -3)
(rappresentazione algebrica o
analitica)
Vettori dello spazio bidimensionale
w = (2;3)
T (2; 3)
3
r =(1;-3)
2
i = (1;0)
w
1
-3
-2
-1
0
i
1
-1
-2
-3
S (1; -3)
2
3
Vettori dello spazio bidimensionale
v = (3;2)
u =(1;-3)
3
i = (1;0)
2
j = (0;1)
P (3; 2)
v
1
j
-3
-2
-1
0
i
1
-1
u
0 = (0;0)
-2
-3
Q (1; -3)
2
3
Vettori dello spazio tridimensionale
Ogni vettore nello spazio
tridimensionale si può
rappresentare come
terna ordinata
di numeri reali
(rappresentazione
algebrica/analitica)
-1
-2
-3
3
x
v = (3;4;4)
z
0 = (0;0;0)
3
i = (1;0;0)
2
j = (0;1:0)
V
1
k = (0;0:1)
k
i
-1
-2
-3
j
1
2
3
y
Vettori dello spazio tri-dimensionale
v = (3;4;4)
z
I vettori di modulo unitario
(lunghezza = 1)
si dicono versori
0 = (0;0;0)
3
i = (1;0;0)
2
j = (0;1:0)
V
1
k = (0;0:1)
k
0
-3
-2
-1
i
j
1
2
3
y
-1
3
x
-2
-3
I versori lungo i tre assi
coordinati
i=(1;0;0), j= (0;1;0),
k= (0;0;1)
Sono i versori principali
Somma e differenza di vettori
In rappresentazione geometrica la somma di due
vettori degli spazi R2 e R3 è data dalla
regola del parallelogramma :
u
u+v
v
Somma e differenza di vettori
In rappresentazione geometrica la differenza di
due vettori si ottiene come indicato in figura:
( La differenza di due vettori è uguale alla somma
del primo con l opposto del secondo )
u-v
u
u-v
v
(I due segmenti orientati blu
sono equipollenti e quindi
rappresentano lo stesso vettore
differenza u – v)
Somma e differenza di vettori
In rappresentazione algebrica la somma (o la
differenza) di due vettori (di coordinate date) è un
terzo vettore che ha come coordinate la somma (o
la differenza) delle coordinate corrispondenti.
Es,:
dati: u = (1; -3; 2);
u + v = (3; -3; 7) ;
v = (2; 0; 5)
u - v = (-1; -3; -3)
Vettori dello spazio n-dimensionale
Oltre le tre dimensioni non è possibile nessuna
rappresentazione geometrica dei vettori, ma solo
la rappresentazione algebrica ( o analitica):
Un vettore è rappresentato da una
successione ordinata di n numeri (n-pla ordinata)
v = (x1; x2; x3; ….; xn)
Vettori dello spazio n-dimensionale
Esempi:
u = (1; -3; 2.5; 2) è un vettore dello spazio R 4
v = (2; 0; 5; -2; 8) è un vettore dello spazio R 5
w = (1; -3; 2.5; 2; 0; 1; -5)) è un vettore dello spazio R 7
Vettori dello spazio n-dimensionale
I vettori
La somma di due vettori nello spazio Rn è un vettore che ha
per coordinate la somma delle coordinate corrispondenti
(analogamente per la differenza).
Se: u = (x1; x2; x3; …xn)
e
v = (y1; y2; y3; …yn)
Allora: u + v = (x1+y1; x2+y2; x3+y3; …; xn+yn)
Es,:
u = (1; -3; 2.5; 2);
u + v = (3; -3; 7.5; 0)
v = (2; 0; 5; -2)
Modulo di un vettore
Dato il vettore v, il suo modulo v è la lunghezza, in valore
assoluto, del segmento orientato che rappresenta il vettore
(fino a tre dimensioni - spazio R3)Se un vettore è dato mediante le sue coordinate: v = (x; y; z)
⇒ v=
x 2 + y2 + z2
L espressione sotto radice (x2 + y2 + z2) è anche detta
norma del vettore v. Come si vedrà più avanti, essa è uguale
al prodotto scalare del vettore per se stesso, v v = v2
E, in generale, per un vettore dello spazio Rn (vettore a
n coordinate), il suo modulo è dato da:
v = (x1; x2; x3; … ; xn) ⇒ v=
n
∑ i xi
1
2
Modulo di un vettore
Dato il vettore v sul piano (spazio R2 ), definito
analiticamente da due coordinate, v = (x;y), il suo modulo
v è dato da:
y
v
v=
x2 + y 2
x
Esso deriva dall applicazione del Teorema di Pitagora
nella rappresentazione geometrica, come facilmente si
desume dalla figura
Modulo di un vettore
La precedente relazione per il
modulo di un vettore dello spazio
R 3 (vettore a tre coordinate):
z
V
y
v = (x; y; z) ⇒
v=
x 2 + y2 + z2
x
deriva dal Teorema di Pitagora
generalizzato nello spazio.
Si generalizza ulteriormente per gli spazi astratti R n a più
di tre dimensioni, portando alla già citata relazione
generale:
n
v = (x1; x2; x3; … ; xn) ⇒ v=
∑ i xi 2
1
Distanza tra due punti
Dati due vettori:
u = (x1; y1; z1)
v = (x2; y2; z2)
Il modulo della differenza tra i due vettori u e v (in R2 o R3)
u - v è dato da:
u - v= ( x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2 + ( z1 − z2 )2
dove il terzo addendo (z1-z2)2 è nullo nel caso che i vettori
siano di R2 (vettori del piano x, y).
Distanza tra due punti
Dati due vettori:
u = (x1; x2; x3); v = (y1; y2; y3)
se consideriamo i loro estremi P1 e P2 (le cui coordinate
sono quelle indicate), il modulo della differenza dei due
vettori (vedi rappresentazione geometrica) corrisponde alla
distanza (numero assoluto!) tra i punti estremi P1 e P2.
Nell esempio in figura
abbiamo:
P1 = (x1; y1); P2= (x1; y1)
y1
P1
u
u-v
La loro distanza, d(P1P2) è:
d(P1P2) =
( x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2
v
y2
x1
x2
P2
Prodotto di un numero per un vettore
Per qualsiasi insieme di vettori si definisce il
prodotto di un numero (reale) c per un vettore v :
u=cv
Il risultato di tale moltiplicazione è un vettore (u) che ha:
-  stessa direzione di v (u parallelo a v)
-  verso concorde o discorde a quello di v, a seconda che c sia
rispettivamente positivo o negativo
- modulo di u uguale a modulo di c per modulo di v
u= cv
Prodotto di un numero per un vettore
Es.:
u=3v
u
v
v
u
u = -2 v
Prodotto di un numero per un vettore
In rappresentazione analitica (vettori rappres. mediante
le coordinate), il prodotto di c per un vettore v si ottiene
moltiplicando ciascuna coordinata per c.
Es.: sia dato: v = (2; -3; 1)
u = 3 v = 3 (2; -3; 1) = (6; -9; 3)
w = -2 v = -2 (2; -3; 1) = (-4; 6; -2)
Prodotto di un numero per un vettore
Quindi si può dare un criterio di parallelismo tra due vettori:
Due vettori u e v (non nulli) sono paralleli (o proporzionali)
se e solo se uno di essi si può ottenere dall altro
moltiplicandolo per un opportuno numero c, cioè se le
coordinate dei due vettori sono proporzionali
Ovvero: u || v
se esiste un numero c tale che v = cu
Es.: u = (2; -1; 5) e v = (-8; 4; -20)
sono paralleli, poiché v = -4u
Le coordinate di u e v risultano proporzionali (è costante il rapporto tra
le coordinate corrispondenti:
2/(-8) = -1/(-4) = 5/(-20) = -4
Prodotto scalare o interno di due vettori
NON è un vettore, ma un numero (o scalare)
In rappresentazione geometrica:
u v = uvcos θ
Prodotto dei moduli (lunghezze dei
vettori) per il coseno dell angolo tra
i vettori
ovvero: modulo di un vettore per la
proiezione dell altro sulla direzione
del primo
v
θ
u
Prodotto scalare o interno di due vettori
Esempio 1:
v= 2; u= 2.2;
θ = 30° ⇒ cos θ = √3/2
u v = uvcos θ = 2 • 2.2 • √3/2 ≈ 3.81
v
30°
u
Prodotto scalare o interno di due vettori
Esempio 2:
v= 1; u= 2.2;
θ = 120° ⇒ cos θ = -1/2
u v = uvcos θ = 1 • 2.2 • (-1/2) = -1.1
v
120°
u
Prodotto scalare o interno di due vettori
Esempio 3:
θ = 90° ⇒ cos θ = 0
v= 1; u= 2.2;
u v = uvcos θ = 1 • 2.2 • 0 = 0
v
90°
u
Prodotto scalare o interno di due vettori
In rappresentazione algebrica:
Il prodotto scalare si può ottenere se sono date
le coordinate dei vettori :
u = (x1; y1; z1)
v = (x2; y2; z2)
Il loro prodotto scalare è:
u v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
Es.: u = (3; -1; 4) ;
v = (2; 5; -3)
u v = 3*2 + (-1)*5 + 4 *(-3) = -11
Prodotto scalare o interno di due vettori
In rappresentazione algebrica:
Il prodotto scalare di due vettori nello spazio ndimensionale R n (n coordinate):
u = (x1; x2; x3; … ; xn)
v = (y1; y2; y3; … ; yn )
n
Il loro prodotto scalare è: u v = ∑ i xi yi
1
Es.: u = (3; -1; 4; 0; 5) ;
v = (2; 5; -3; 1; -2)
u v = 3*2 + (-1)*5 + 4 *(-3) + 0 * 1+5 * (-2)= -21
Prodotto scalare o interno di due vettori
Attraverso il prodotto scalare possiamo dare la:
Condizione di perpendicolarità tra due vettori :
Due vettori (siano u e v) non nulli sono perpendicolari
(o ortogonali) se e solo se
Il loro prodotto scalare è nullo (uv=0)
Es.: u = (3; -1; -1);
v = (2; 5; 1)
u v = 3*2 + (-1)*5 + (-1) *(1) = 0
i due vettori sono perpendicolari
;
Prodotto scalare o interno di due vettori
Il modulo ( o norma) di un vettore di uno spazio R n
(vettore a n coordinate):
v = (x1; x2; x3; … ; xn) ⇒ v=
n
∑ i xi
2
1
si può esprimere come la radice quadrata del prodotto
scalare del vettore per se stesso (v . v = v2):
v= (v . v)1/2 = (v2)1/2.
Uno spazio vettoriale per il quale sia stata definita la
norma dei suoi vettori si dice normato .
Prodotto vettore o esterno tra due vettori
  Si definisce una matrice 2x2...
! a b $
&&
A = ##
" c d %
  Come un ente astratto soggetto ad una sua algebra
  Algebra lineare
  Vengono definiti la somma, vari tipi di prodotto,
inversione, etc.
  Vengono definite varie proprietà: ordine, rango, ...
Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine
Prodotto vettore o esterno tra due vettori
  È necessario avere un po di nozioni sui
determinanti
  Ricordiamo la definizione di un determinante 2x2
a b
a b 
= det 
 = ad − bc
c d
c d 
Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine
Prodotto vettore o esterno tra due vettori
  Ecco una matrice 3x3
 a11 a12

A =  a21 a22
a
 31 a32
a13 

a23  = a jk
a33 
  Definizione del determinante per una 3x3
a22
det A = a11
a32
a23
a21 a23
a21 a22
− a12
+ a13
a33
a31 a33
a31 a32
Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine
Prodotto vettore o esterno tra due vettori
  Dato che due vettori individuano sempre un
piano:
(
w = (w
)
v y v z = (1 0 0)
v = vx
 xˆ

v∧w = 1
w
 x
x
yˆ
0
wy
) (
wy wz = wx wy
0
)
zˆ 

0  = 0 xˆ + 0 yˆ + wy zˆ = wy zˆ
0 
Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine
Prodotto vettore o esterno tra due vettori
  Quindi il prodotto esterno di due vettori è un
vettore con
  Direzione: perpendicolare al piano dato dai
primi due
  Verso: il primo gira verso il secondo in senso
antiorario (e per meno di 180°!)
  Modulo: prodotto dei moduli per il seno
dell angolo compreso
Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine
Prodotto vettore o esterno tra due vettori