i limiti - Zanichelli

CAPITOLO
12
[numerazione araba]
[numerazione devanagari]
[numerazione cinese]
I LIMITI
NON PUÒ FARE PIÙ FREDDO DI COSÌ!
Non c’è limite al caldo, ma esiste un limite al
freddo. La temperatura più bassa teoricamente
raggiungibile nell’Universo si definisce «zero assoluto» ed è pari a –273,15 °C.
Perché il termometro non può scendere
sotto lo zero assoluto?
La risposta a pag. 765
CAPITOLO 12. I LIMITI
TEORIA
1. GLI INTORNI
● Il termine topologia
significa «studio del luogo»
e deriva dalla parola greca
topos che significa appunto
«luogo».
● Un intervallo è un sottoinsieme di numeri reali
che corrisponde a una semiretta (intervallo illimitato)
o a un segmento (intervallo
limitato) della retta reale.
Un intervallo può essere
chiuso o aperto, a seconda
che gli estremi appartengano o meno all’intervallo.
Parlando di punto di un
intervallo intenderemo sia il
numero reale, sia il punto
del segmento che lo rappresenta.
Esponiamo alcune nozioni fondamentali della topologia dell’insieme R dei numeri reali riguardanti loro particolari sottoinsiemi. Poiché esiste una corrispondenza
biunivoca tra R e i punti di una retta orientata r, detta retta reale, possiamo identificare ogni sottoinsieme di R (insieme numerico) con un sottoinsieme di punti
della retta r e quindi parlare anche di topologia della retta.
Gli intorni di un punto
DEFINIZIONE
Intorno completo
Dato un numero reale x 0, si chiama intorno completo di x 0 un
qualunque intervallo aperto I (x 0 )
contenente x 0 :
I (x 0 ) = ] x 0 - d1; x 0 + d2 [,
con d1, d2 numeri reali positivi.
δ1
δ2
x0 – δ1
x0
x0 + δ2
Ι(x0)
ESEMPIO
Se x 0 = 1, l’intervallo aperto I = ]0; 3[ è un intorno completo di 1. In questo
caso d1 = 1 e d2 = 2, perché possiamo scrivere:
I = ]1 - 1; 1 + 2[.
0
1
Ð1
1
Questo intorno ha ampiezza (x0 + d2) - (x0 - d1) = d1 + d2 = 1 + 2 = 3.
3
Anche ] - 1; 2 [ e E 1 ; 4; sono intorni completi di 1.
2
2
1
––
21
4
Quando d1 = d2, il punto x 0 è il punto medio dell’intervallo. In questo caso parliamo di intorno circolare di x 0.
DEFINIZIONE
Intorno circolare
Dato un numero reale x 0 e un
numero reale positivo d, si chiama
intorno circolare di x 0, di raggio d,
l’intervallo aperto I d(x 0) di centro
x 0 e raggio d:
δ = raggio
x0 − δ
x0
x0 + δ
Ιδ(x0)
I d(x 0 ) = ] x 0 - d; x 0 + d[.
2
3
2
5
Ι2(5)
7
● Ricorda che A (x) 1
è equivalente a
- k 1 A (x) 1 k
e viceversa.
716
L’intorno circolare del punto 5 di raggio 2 è ]5 - 2; 5 + 2[, ossia ]3; 7[.
Poiché l’intorno circolare di x 0 di raggio d è l’insieme dei punti x ! R tali che
x 0 - d 1 x 1 x 0 + d,
cioè tali che - d 1 x - x 0 1 d, possiamo anche scrivere:
Id (x0) = $ x ! R x - x0 1 d. .
PARAGRAFO 1. GLI INTORNI
TEORIA
Per gli intorni completi e circolari di un punto x 0 vale la seguente proprietà.
PROPRIETÀ
L’intersezione e l’unione di due o più intorni di x 0 sono ancora degli intorni
di x 0 .
L’intorno destro e l’intorno sinistro di un punto
Dato un intorno di un punto x 0 , talvolta interessa considerare soltanto la parte
dell’intorno che sta a destra di x 0 oppure quella che sta a sinistra.
In generale, dato un numero d ! R+, chiamiamo:
• intorno destro di x 0 l’intervallo I+d (x 0 ) = ]x 0 ; x 0 + d[;
• intorno sinistro di x 0 l’intervallo I-d (x 0 ) = ]x 0 - d; x 0 [.
b Figura 1
x0 – δ
x0
intorno sinistro di x0
Ι–δ(x0)
● Per esempio:
Ι+δ (x0)
x0
x0 + δ
intorno destro di x0
1
intorno
sinistro di 1
Per esempio, l’intervallo ]2; 2 + d[ è un intorno destro di 2; l’intervallo ] -5; -3[
è sia un intorno sinistro di -3, sia un intorno destro di -5.
Ι–(1)
intorno
destro di 1
Ι+(1)
Gli intorni di infinito
Dati a, b ! R, con a 1 b, chiamiamo:
• intorno di meno infinito un qualsiasi intervallo aperto illimitato inferiormente:
I (- 3) = @- 3; a6 = " x ! R x 1 a, ;
• intorno di più infinito un qualsiasi intervallo aperto illimitato superiormente:
I (+ 3) = @b; + 36 = " x ! R x 2 b, .
Si definisce inoltre intorno di infinito l’unione tra un intorno di - 3 e un intorno
di + 3 , cioè:
I (3) = I (- 3) , I (+ 3) = " x ! R x 1 a 0 x 2 b, .
● La scrittura 3, priva di segno, indica contemporaneamente sia -3 che +3. Quindi, se si
vuole indicare solo +3, bisogna esplicitamente scrivere il segno + davanti al simbolo 3.
Analogamente al caso di un punto reale x 0 , possiamo parlare di intorno circolare
di infinito:
Ic (3) = @- 3; - c 6 , @c; + 36
(c ! R+).
717
TEORIA
CAPITOLO 12. I LIMITI
I punti di accumulazione
● Il termine accumulazione indica che i punti di A
si addensano intorno a x0.
DEFINIZIONE
Punto di accumulazione
Si dice che il numero reale x 0 è un punto di accumulazione di A, sottoinsieme di R, se ogni intorno completo di x 0 contiene infiniti punti di A.
ESEMPIO
Consideriamo l’insieme:
A = &0,
1 2 3 4 5 6
n 0
, n ! N.
, , , , , , f,
2 3 4 5 6 7
n+1
All’aumentare di n, i corrispondenti valori di A si avvicinano al valore 1,
come si può osservare dalla tabella:
10
n
100
1000
f
10 000
n
10
100
1000
10000
= 0, 90
= 0, 9900
= 0, 999000
= 0, 9999000 f
n + 1 11
101
1001
10001
● Osserva che il punto 1 è
punto di accumulazione di
A, ma non appartiene ad A.
È possibile verificare che il punto 1 gode della seguente proprietà: comunque
scegliamo un intorno completo di 1 (anche di raggio molto piccolo), questo
contiene infiniti elementi di A. Quindi 1 è un punto di accumulazione di A.
Per esempio l’intorno ]0,9; 1,1[ del punto 1 contiene infiniti punti di A:
10 11 12
,
,
,f
11 12 13
L’intorno ]0,99; 1,01[ contiene altri infiniti punti di A:
100 101 102
,
,
,f
101 102 103
E così via.
c Figura 2 Disegniamo
alcuni punti dell’insieme
A contenuti in ] 0,9; 1,1 [.
Ingrandiamo poi la figura e
disegniamo alcuni punti di
A, contenuti in ] 0,99; 1,01 [.
Questo procedimento può
essere ripetuto considerando
un intorno con raggio preso
piccolo a piacere.
0,99
0,9
0,99
1
1,01
1,1
10 –––
11 –––
12
–––
11 12 13
100 ––––
101 ––––
102
––––
101 102 103
1
1,01
Ogni punto di un intervallo è di accumulazione per l’intervallo stesso. Anche gli
estremi dell’intervallo sono suoi punti di accumulazione.
● Si dimostra che è equivalente alla definizione data dire che x0 è punto di accumulazione di A
se ogni intorno completo di x0 contiene almeno un elemento di A distinto da x0.
718
PARAGRAFO 2. LA DEFINIZIONE DI xlim
f ( x) = <
x
TEORIA
0
2. LA DEFINIZIONE DI xlim
f ( x) = <
x
0
Sia D un sottoinsieme di R. Consideriamo la funzione f : D " R, y = f (x) e supponiamo che il suo grafico sia quello rappresentato nella figura 3.
● Negli esempi che consiy
f(x)
f(x)
, = f(x0)
,
→
y
dereremo, D sarà spesso un
intervallo o un’unione di
intervalli.
f(x)
O
x0 x
x
→
→
a. Nel caso di una funzione f come
quella disegnata in figura vediamo
che, se x si avvicina a x0, allora f(x) si
avvicina a , = f(x0).
x
x x x
→ 0
O
b. Possiamo porci la stessa domanda
anche nel caso in cui x0 è punto di
accumulazione per D, ma x0 Ó D e
quindi l’espressione f(x0) non
ha significato. A quale valore , si
avvicina f(x) quando x si avvicina a x0?
c Figura 3 Quando x si avvicina a x0, f(x) si avvicina a ,?
Introduciamo uno strumento matematico che permetta di descrivere con precisione
la proprietà che vediamo nella figura 3: più scegliamo x vicino al valore x 0 e più la sua
immagine f (x) si avvicina a un certo valore l.
● Vedremo che l può coin-
Consideriamo, per esempio, la funzione, definita in D = R - {3}:
cidere con f (x 0 ), ma può
anche essere diverso.
y = f (x) =
2x2 - 6x
.
x-3
Vogliamo studiare il comportamento della funzione vicino al punto x 0 = 3.
Osserviamo che f (x) non è definita in 3, quindi non ha senso considerare f (3).
Cerchiamo allora a quale valore l si avvicina la funzione quando x si approssima
al valore 3.
Diamo alla variabile x dei valori che si avvicinano sempre più (per eccesso o per
difetto) a 3 e calcoliamo le loro immagini f (x).
x
f(x)
x
f(x)
2,9
5,8
3,1
6,2
2,99
5,98
3,01
6,02
2,999
5,998
3,001
6,002
2,9999
5,9998
3,0001
6,0002
f
f
f
f
m Tabella 1
m Tabella 2
Vediamo che quanto più x si avvicina a 3, tanto più f (x ) si avvicina al valore 6.
Più in generale, se prendiamo un qualunque valore di x in un intorno di 3 sempre
più piccolo, allora f (x) si trova sempre più vicino a 6, cioè si trova in un intorno di
6 sempre più piccolo. Per comodità, consideriamo degli intorni circolari.
719
TEORIA
CAPITOLO 12. I LIMITI
Possiamo allora dire che, se consideriamo un qualunque intorno circolare di 6 di
ampiezza f, che indichiamo con If (6), esiste sempre un intorno di 3 i cui punti x
(con x ! 3) hanno immagine f (x ) contenuta in If (6).
Infatti i punti dell’intorno If (6) sono quei valori di f(x) per cui si ha:
f (x) - 6 1 f , ossia
● Ricordiamo che i punti
di un intorno circolare
I f(x 0 ) sono i numeri reali x
tali che x 0 - f 1 x 1 x 0 + f
ossia x - x 0 1 f .
● Stiamo studiando il
comportamento di f(x) in
un intorno di 3, ma non in
3, quindi possiamo considerare x ! 3 e semplificare.
● L’ampiezza dell’intorno
di 3 dipende dalla scelta
dell’intorno di 6.
2x 2 - 6 x
- 6 1 f.
x-3
Svolgendo i calcoli, otteniamo:
2 (x 2 - 6x + 9)
2x 2 - 6x - 6x + 18
1f"
1f"
x-3
x-3
(x - 3) 2
f
f
f
" 2$
1 f " x - 3 1 "- 1 x - 3 1 ,
2
2
2
x-3
f
f
1 x 1 3 + . Quindi le soluzioni della disequazione sono i punti
2
2
f
f
dell’intorno I (3) = E3 - ; 3 + ;.
2
2
cioè 3 -
Riassumendo: per ogni f 2 0 esiste un intorno I (3), che dipende da f, tale che per
ogni x ! I (3), con x ! 3,
f (x) - 6 1 f .
Diciamo allora che «per x che tende a 3, f (x ) ha limite 6» e scriviamo:
lim f (x) = 6 .
x"3
● Come abbiamo visto, non è necessario che il punto x 0 = 3 appartenga al dominio D della
funzione, ma poiché dobbiamo considerare le immagini di punti sempre più vicini a x 0 , occorre che la funzione sia definita in questi punti. Ciò significa che x 0 deve essere un punto di accumulazione per D.
In generale possiamo dare la seguente definizione.
DEFINIZIONE
Limite finito per x che tende a x0
Si dice che la funzione f (x ) ha per
limite il numero reale l, per x che
tende a x 0 , e si scrive
lim f (x) = l ,
y
y = f(x)
,+ε
f(x)
,
f(x)–, <ε
, Ðε
x " x0
● La validità della condi-
zione f (x) - l 1 f presuppone che f (x) sia definita in I (escluso al più x0).
Il punto x 0 è di accumulazione per il dominio della
funzione. Non ci interessa il
valore che la funzione f (x)
assume eventualmente in x 0.
720
quando, comunque si scelga un
numero reale positivo f, si può
determinare un intorno completo
I di x0 tale che risulti
O
l - f 1 f (x) 1 l + f , ossia f (x) - l 1 f ,
per ogni x appartenente a I, diverso (al più) da x 0.
x0
x1
Ιε(x0)
x
f ( x) = ᐍ
PARAGRAFO 2. LA DEFINIZIONE DI xlim
x
TEORIA
0
In simboli la definizione di xlim
f (x) = l si può formulare così:
"x
0
6f 2 0 7I (x 0)
f (x) - l 1 f, 6x ! I (x 0), x ! x 0 .
● 6 significa comunque,
per ogni; 7 significa esiste;
significa tale che.
Il significato della definizione
Nella definizione appena data, considerando f, pensiamo a valori che diventano
sempre più piccoli. Diremo che f è preso «piccolo a piacere».
Inoltre, se esplicitiamo il valore assoluto nell’espressione f (x) - l 1 f , otteniamo
- f 1 f (x) - l 1 f
"
l - f 1 f (x) 1 l + f,
ossia f( x) appartiene all’intorno ]l - f; l + f[.
Interpretiamo la definizione
La definizione dice che l è il limite di f (x ) se, fissato un f qualsiasi, anche «molto
piccolo», troviamo sempre un intorno di x 0 tale che, per ogni x ! x0 di quell’intorno, f (x ) appartiene a ]l - f; l + f[, cioè f (x ) è «molto vicino» a l (figura 4).
y
y
ᐉ+ε
f(x)
ᐉ
f(x)
ᐉ–ε
x
ᐉ+ε
O
ᐉ
f(x)
ᐉ–ε
x
O
{
x0 x
Ι
Ι
b. Se riduciamo ε, troviamo un
intorno di x0 più piccolo.
a. Fissiamo ε > 0. Individuiamo un
intorno I di x0 tale che
f(x) 僆 ]ᐉ – ε; ᐉ + ε[ per ogni x 僆 I.
x
x x0
{
x0 x
y
ᐉ+ε
ᐉ
ᐉ–ε
{
O
. Figura 4
Ι
c. Più piccolo scegliamo ε, più piccolo
diventa, in genere, l’intorno I.
La verifica
Per eseguire la verifica del limite xlim
f (x) = l , applichiamo la definizione.
"x
0
ESEMPIO
Verifichiamo che lim (2x - 1) = 3 .
x"2
Dobbiamo provare che, scelto f2 0, esiste un intorno completo di 2 per ogni x
del quale (escluso al più 2) si ha:
(2x - 1) - 3 1 f "
2x - 4 1 f .
Esplicitiamo il valore assoluto: - f 1 2x - 4 1 f.
Aggiungiamo 4 ai tre membri: 4 - f 1 2x 1 4 + f.
f
f
Dividiamo ciascun membro per 2: 2 - 1 x 1 2 + .
2
2
L’insieme delle soluzioni della disequazione è quindi: E2 - f ; 2 + f ; .
2
2
721
CAPITOLO 12. I LIMITI
TEORIA
● Il raggio d dell’intorno
trovato dipende da f;
f
d= .
2
● Facendo un esempio
numerico, possiamo dire
che se scegliamo f = 0, 6 ,
troviamo l’intorno di 2,
] 2 - 0, 3; 2 + 0, 3 [ , ossia
] 1, 7; 2, 3 [ . Preso un valore
di x appartenente all’intorno, per esempio
x = 2, 02 , abbiamo
f (2, 02) = 3, 04 .
Risulta vero che:
3 - f 1 3, 04 1 3 + f ,
ossia 2, 4 1 3, 04 1 3, 6 .
Abbiamo trovato un intorno circolare di 2 per cui è vera la condizione iniziale, quindi il limite è verificato.
Osserviamo nell’esempio precedente che lim f (x) = f (2).
x"2
In generale, l’esistenza del limite di una funzione in un punto x0 è indipendente
dal comportamento della funzione in x0. Sono possibili i seguenti casi:
• esiste
lim f (x) = l
e
l = f (x 0);
lim f (x) = l
e
l ! f (x 0);
lim f (x) = l
e
non esiste f (x 0).
x " x0
• esiste
x " x0
• esiste
x " x0
Le funzioni continue
Se per una funzione f(x) si verifica che, per un punto x0 appartenente al dominio
di f, esiste il limite di f(x) per x " x0 e si ha
lim f (x) = f (x0),
x " x0
allora si dice che f è continua in x0. Diciamo poi che f è continua nel suo dominio
D quando risulta continua in ogni punto di D.
Sono funzioni continue nel loro dominio quelle il cui grafico è una curva senza
interruzioni; è il caso, per esempio, di una retta o di una parabola.
● Per esempio, sapendo
che la funzione f (x) = 2x è
continua nel punto 7, risulta
lim 2x = 2 $ 7 = 14 .
x"7
Se una funzione è continua in un punto, il calcolo del limite in quel punto
risulta semplice, perché basta calcolare il valore della funzione in quel punto.
Elenchiamo le funzioni continue in R (o in intervalli di R) più utilizzate.
La funzione polinomiale
La funzione f(x) = 3x 2 - 2x + 5, espressa mediante un polinomio, è continua in R.
In generale, è continua in tutto R ogni funzione polinomiale, ossia ogni funzione
del tipo f (x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … + a n -1 x + a n.
● La funzione radice quadrata è un caso particolare
della funzione potenza con
esponente reale. Infatti
1
f (x) = x 2 =
x.
La funzione radice quadrata
La funzione, definita in R+ 傼 {0}, y = x è continua per ogni x reale positivo o
nullo.
Più in generale, sono continue le funzioni potenza con esponente reale, definite in
R+: y = x a (a ! R).
Le funzioni goniometriche
Sono continue in R le funzioni sen x e cos x.
● La funzione tg x non è
definita per x =
r
+ kr .
2
● La funzione cotg x non è
definita per x = kr .
È continua anche la funzione tangente in R - &
r
+ kr, k ! Z0 .
2
La funzione cotangente è continua in R - {kr, k ! Z }.
Infine, si può dimostrare che le funzioni secante, cosecante, arcoseno, arcocoseno,
arcotangente, arcocotangente sono continue nel loro dominio.
La funzione esponenziale e la funzione logaritmica
La funzione esponenziale y = a x, con a 2 0, è continua in R.
La funzione logaritmica y = log a x, con a 2 0, a ! 1, è continua in R+.
722
PARAGRAFO 2. LA DEFINIZIONE DI xlim
f ( x) = <
x
TEORIA
0
Il limite destro e il limite sinistro
Il limite destro
Il limite destro di una funzione viene indicato con il simbolo: lim+ f (x) = l .
x " x0
La definizione del limite destro è analoga a quella già data di limite, con la sola
differenza che la disuguaglianza u f (x) - l u 1 f deve essere verificata per ogni x
appartenente a un intorno destro di x 0 , ossia a un intorno del tipo ]x 0 ; x 0 + d[.
Il limite sinistro
Il limite sinistro di una funzione viene indicato con il simbolo: lim- f (x) = l .
x " x0
Anche per il limite sinistro valgono le stesse considerazioni fatte per il limite
destro, con la sola differenza che f (x) - l 1 f deve essere verificata per ogni
x appartenente a un intorno sinistro di x 0 , ossia un intorno del tipo ]x 0 - d; x 0 [.
● La scrittura x " x +0
si legge «x tende a x 0 da
destra». Significa che x si
avvicina a x 0 restando però
sempre maggiore di x 0 .
● La scrittura x " x 0 si
legge «x tende a x 0 da
sinistra». Significa che x si
avvicina a x 0 restando però
sempre minore di x 0 .
ESEMPIO
Consideriamo la funzione il cui grafico è illustrato nella figura 5.
3x - 1
f (x) = )
2x + 1
y
se x 1 1
se x $ 1
y = 2x + 1
3
Verifichiamo che lim- f (x) = 2 , mentre lim+ f (x) = 3 .
x"1
Infatti, per ogni numero reale f 2 0 , è possibile trovare rispettivamente un
intorno sinistro e un intorno destro di 1 in cui:
f (x) - 2 1 f, con x 1 1.
2
x"1
y = 3x − 1
O
x
1
f (x) - 3 1 f, con x 2 1.
m Figura 5
Verifichiamolo:
(3x - 1) - 2 1 f
(2x + 1) - 3 1 f
3x - 3 1 f
2x - 2 1 f
- f 1 3x - 3 1 f
- f 1 2x - 2 1 f
3 - f 1 3x 1 3 + f
2 - f 1 2x 1 2 + f
1-
f
f
1 x 1 1 + , con x 1 1
3
3
1-
1-
f
1 x 1 1.
3
1 1 x 1 1+
La disuguaglianza iniziale
è verificata in un intorno
sinistro di 1.
f
f
1 x 1 1 + , con x 2 1
2
2
f
.
2
La disuguaglianza iniziale
è verificata in un intorno
destro di 1.
Osserviamo che il xlim
f (x) = l esiste se e solo se esistono entrambi i limiti destro
" x0
e sinistro e coincidono:
lim f (x) = l + lim+ f (x) = l / lim- f (x) = l .
x " x0
x " x0
x " x0
Infatti, fissato f 2 0 , la disuguaglianza f (x) - l 1 f è verificata in un intorno
completo I di x 0, con al più x ! x0 , se e solo se è verificata sia in un intorno destro
di x 0 sia in un intorno sinistro di x 0.
723
TEORIA
CAPITOLO 12. I LIMITI
3. LA DEFINIZIONE DI xlim
f ( x) = 3
x
0
● Per questi limiti e per i
successivi, gli esempi di
verifica si trovano negli
esercizi.
Il limite è + 3
Consideriamo la funzione f (x) =
1
definita per x ! 1.
(x - 1) 2
Calcoliamo i valori della funzione per valori di x che si avvicinano sempre di più
(per eccesso o per difetto) a 1.
x
f(x)
x
f(x)
0,9
100
1,1
100
0,99
10 000
1,01
10000
0,999
1 000 000
1,001
1000000
0,9999
100 000 000
1,0001
100 000 000
f
f
f
f
m Tabella 3
m Tabella 4
Osserviamo che, per valori di x sempre più vicini a 1, i valori di f(x) crescono
sempre di più.
Diciamo allora che per x che tende a 1 la funzione tende a + 3 .
Per essere sicuri che l’avvicinamento non sia dovuto ai particolari valori che abbiamo scelto, ma sia vero sempre, è necessario poter affermare che, preso un numero
reale positivo M grande quanto vogliamo, esiste sempre un intorno di 1 in cui f(x)
è ancora più grande del valore scelto. Diamo allora la seguente definizione.
DEFINIZIONE
● La funzione è definita in
tutti i punti di I tranne che
in x0.
Limite + 3 per x che tende a x0
Sia f (x) una funzione non definita in
x 0.
Si dice che f (x) tende a + 3 per x che
tende a x 0 e si scrive
lim f (x) =+ 3
x"x
f(x) > M
f(x)
0
● Nella definizione,
quando diciamo «per ogni
numero reale positivo M»,
pensiamo a valori di M che
diventano sempre più
grandi. Diremo allora che
M è preso grande a piacere.
y = f(x)
y
quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno
completo I di x 0 tale che risulti
f (x ) 2 M
per ogni x appartenente a I e diverso
da x 0.
M
O
x x0
I
x = x0
Sinteticamente possiamo dire che xlim
f (x) =+ 3 se:
"x
0
6M 2 0 7I (x 0) f (x) 2 M, 6x ! I (x 0) - " x 0, .
Se xlim
f (x) =+ 3 , si dice anche che la funzione f diverge positivamente.
"x
0
724
x
PARAGRAFO 3. LA DEFINIZIONE DI xlim
f ( x) = 3
x
TEORIA
0
Il limite è ⫺3
. Figura 6
Ci sono anche funzioni che decrescono sempre di più in prossimità di un certo
punto x 0 , ossia che tendono a - 3 per x che tende a x 0 , come per esempio la funzione disegnata nella figura 6. In questo caso diciamo che la funzione ha limite
- 3 per x che tende a x 0 . In generale vale la seguente definizione.
y
x0
O
x
DEFINIZIONE
Limite - 3 per x che tende a x0
Sia f (x) una funzione non definita
in x0. Si dice che f (x) tende a - 3
per x che tende a x 0 e si scrive
lim f (x) =- 3
y
x = x0
I
x x0
y = f(x)
x
O
x " x0
quando per ogni numero reale
positivo M si può determinare un
intorno completo I di x 0 tale che
risulti:
−M
f(x)
f (x ) 1 - M
per ogni x appartenente a I e diverso d
da x 0 .
In simboli, diciamo che xlim
f (x) =- 3 se:
"x
0
6M 2 0 7I (x 0) f (x) 1 - M, 6x ! I (x 0) - " x 0, .
Se xlim
f (x) =- 3 , si dice anche che la funzione f diverge negativamente.
"x
0
I limiti destro e sinistro infiniti
Anche per i limiti infiniti si possono distinguere limiti destri e sinistri.
Se...
la disequazione...
è soddisfatta
per x ! x 0 , in un...
lim f (x) =+ 3
f (x) 2 M
intorno destro di x0
lim f (x) =+ 3
f (x) 2 M
intorno sinistro di x0
lim f (x) =- 3
f (x) 1- M
intorno destro di x0
lim- f (x) =- 3
f (x) 1- M
intorno sinistro di x0
x " x+
0
x " x0
x " x+
0
x " x0
ESEMPIO
Consideriamo la funzione y =
che: lim+
x"0
y +3
1
(figura a lato). Nel grafico puoi osservare
x
1
1
=+ 3 e lim- =- 3 .
x
x"0 x
1
y=—
x
x
O
a
−3
725
CAPITOLO 12. I LIMITI
TEORIA
● Questa scrittura significa
che f (x ) appartiene a un
intorno circolare di 3.
● Le scritture lim+
x"0
lim
x"0
y
1
1
= + 3 e lim- = - 3 si possono riassumere in una sola,
x
x"0 x
1
= 3,
x
cioè scrivendo «infinito» senza segni + o - e lo 0 senza specificare se da destra o da sinistra.
Quando scriviamo xlim
f (x) = 3 , intendiamo dire che f diverge, ma non importa specificare
"x
f(x)
M
0
se positivamente o negativamente.
I
O
x
x0
−M
−f(x)
⏐f(x)⏐> M
La definizione di xlim
f (x) = 3 è analoga alle precedenti, ma con la seguente
" x0
variazione:
per ogni M 2 0, è possibile trovare un intorno I di x0 tale che f (x) 2 M, per
ogni x ! I nel dominio di f, con x ! x0.
La disequazione f (x) 2 M si può scrivere in modo equivalente come
f (x) 2 M 0 f (x) 1 - M,
e quindi le sue soluzioni sono l’unione delle soluzioni delle singole disequazioni.
Gli asintoti verticali
DEFINIZIONE
● In particolare, può
Asintoto
Una retta è detta asintoto del grafico di una funzione se la distanza
di un generico punto del grafico
da tale retta tende a 0 quando
l’ascissa o l’ordinata del punto
tendono a 3.
accadere che
lim
f (x) = + 3
x"c
oppure
lim
f (x) = - 3 .
x"c
y
asintoto
H
r
P(x; y)
y = f(x)
O
x
Per x " + 3, PH " 0
y
Studiamo ora gli asintoti verticali.
P
O
H
x=c
y = f(x)
asintoto
verticale
DEFINIZIONE
x
si dice che la retta x = c è asintoto verticale per il grafico della funzione.
m Fi
Figura 7
y
O
La distanza di un generico punto del grafico di una funzione da un suo asintoto
verticale, di equazione x = c, tende a 0 quando x " c (figura 7).
Infatti, essendo P(x; y) il generico punto del grafico, si ha:
y = lnx
1
m Figura 8 Il grafico della
funzione y = ln x ha come
asintoto verticale l’asse y,
cioè x = 0.
726
Asintoto verticale
Data la funzione y = f (x), se si verifica che lim
f (x) = 3 ,
x"c
x
lim
PH = lim
x - c = 0.
x"c
x"c
La definizione di asintoto verticale è ancora valida se consideriamo il limite destro
(x " x+0 ) o il limite sinistro (x " x-0 ) e i due limiti sono entrambi infiniti, ma con
segno opposto, oppure solo uno dei due limiti è infinito.
ESEMPIO
Prendiamo in esame la funzione logaritmo y = ln x, per la quale: lim+ ln x =- 3.
x"0
La retta x = 0 è asintoto verticale del grafico della funzione.
f ( x) = <
PARAGRAFO 4. LA DEFINIZIONE DI xlim
"3
TEORIA
● Il grafico di una funzione può avere più asintoti verticali, anche infiniti, come nel caso di
y = tg x.
f ( x) = <
4. LA DEFINIZIONE DI xlim
"3
x tende a ⫹3
Dicendo «x tende a + 3 » intendiamo dire che consideriamo valori di x sempre
più grandi e tali da superare qualsiasi numero reale positivo c fissato.,
3x + 2
Consideriamo la funzione f (x) =
, definita per x ! 0 .
x
Assegniamo a x valori positivi sempre più grandi e otteniamo per f(x) i valori
indicati nella tabella 5.
Osserviamo che per valori di x crescenti, i valori della funzione si avvicinano al
valore 3, ossia per x che tende a + 3 la funzione tende a 3.
Per essere sicuri che l’avvicinamento non sia dovuto ai particolari valori che
abbiamo scelto ma sia vero sempre, occorre che, preso a piacere un intorno di 3,
anche molto piccolo, esista un intorno di + 3 in cui per ogni valore di x il valore
corrispondente di f(x) appartiene all’intorno di 3 scelto.
Più precisamente, diciamo che, per ogni f 2 0 , si può trovare un intorno I di + 3
tale che per ogni x di I la funzione differisce dal limite 3 per meno di f:
3x + 2
-3 1 f "
x
"
x
1
2
2
f
2
1f "
x
" x 1-
x
f(x)
10
3,2
100
3,02
1000
3,002
10000
3,0002
100 000
3,00002
f
f
m Tabella 5
2
2
0 x2 .
f
f
DEFINIZIONE
Limite finito di una funzione per x che tende a + 3
Si dice che una funzione f (x) tende
al numero reale l per x che tende a
y
ø+ε
+ 3 e si scrive
y=ø
lim f (x) = l
x "+3
quando, comunque si scelga un numero reale positivo f, si può determinare un intorno I di + 3 tale
che:
● Per valori di x crescenti,
la distanza tra f(x) e l, cioè
f (x) - l , diventa sempre
più piccola.
ø
f(x)
ø−ε
O
I(+3)
c x
x
y = f(x)
f (x) - l 1 f per ogni x ! I .
Considerato che un intorno di + 3 è costituito da tutti gli x maggiori di un numef (x) = l se:
ro c, possiamo dire che x lim
"+3
6f 2 0 7c 2 0
f (x) - l 1 f, 6x 2 c .
727
CAPITOLO 12. I LIMITI
TEORIA
L’interpretazione della definizione è data nella figura 9.
y
y
⎜f(x) − 艎 ⎜
艎 + ε1
⎜f(x) − 艎 ⎜
艎 + ε3
艎 + ε2
艎
ε2 f(x)
艎 − ε2
艎
ε1
y
⎜f(x) − 艎 ⎜
f(x)
艎 − ε1
y = f(x)
ε3
y = f(x)
c1
O
x
x
m Figura 9
y = f(x)
O
a. Fissiamo ε > 0. Individuiamo c1 > 0
tale che ⎜f(x) − 艎 ⎜< ε per ogni x > c1,
ossia per ogni punto dell’intorno di
+3: ]c1; +3[.
艎
f(x)
艎 − ε3
c2
x x
b. Se ε diventa più piccolo, la
disuguaglianza ⎜f(x) − 艎 ⎜< ε è ancora
vera, purché scegliamo valori di x più
grandi di c2 > c1.
c3 x x
O
c. Scegliamo ε ancora più piccolo.
In genere, perché f(x) sia distante da
艎 meno di ε, dovremo prendere c3
ancora più grande.
Ciò significa che, al crescere dei valori di x, f (x ) si avvicina al valore l.
x tende a ⫺3
Il caso in cui «x tende a - 3 » è analogo al precedente.
DEFINIZIONE
Limite finito di una funzione per x che tende a - 3
Si dice che una funzione f (x) ha
limite reale l per x che tende a - 3
e si scrive
y
艎+ε
艎
lim f (x) = l
艎−ε
x "-3
se per ogni f 2 0 fissato è possibile trovare un intorno I di - 3 tale
che risulti:
y=艎
f (x)
I(− ⬁)
x
−c
O
x
f (x) - l 1 f per ogni x ! I .
f (x) = l se:
In simboli, x lim
"-3
6f 2 0 7c 2 0
f (x) - l 1 f, 6x 1 - c.
x tende a 3
I due casi precedenti possono essere riassunti in uno solo se si considera un intorno di 3 determinato dagli x per i quali
● x 2 è un intorno circolare di 3.
x
−c
0
728
c
x 2 c , ossia x 1 - c 0 x 2 c,
o anche x ! ] - 3 ; - c [ ,]c ; + 3 [, dove c è un numero reale positivo grande a
piacere. Diciamo allora che x tende a 3 omettendo il segno + o -.
f (x) = l quando per ogni f 2 0 è possibile trovare un intorno
Si dice che xlim
"3
I di 3 tale che
f (x) - l 1 f per ogni x ! I.
PARAGRAFO 5. LA DEFINIZIONE DI xlim
f ( x) = 3
"3
ESEMPIO
Consideriamo la funzione y =
TEORIA
y
4x + 5
, definita in D = R - {0}.
x
4x + 5
y = ––––––
x
Nel grafico puoi osservare che:
4x + 5
lim
= 4.
x"3
x
4
O
x
Gli asintoti orizzontali
DEFINIZIONE
● Se il limite esiste finito
Asintoto orizzontale
Data la funzione y = f (x), se si verifica una delle condizioni
lim f (x) = q o x lim
f (x) = q o xlim
f (x) = q ,
"-3
"3
x "+3
si dice che la retta y = q è asintoto orizzontale per il grafico della funzione.
soltanto per x " + 3 (o
x " - 3 ), abbiamo un asintoto orizzontale destro (o
sinistro). Se sono valide
entrambe le condizioni, possiamo anche scrivere:
lim f (x) = q .
x"3
La distanza di un generico punto P del
grafico di una funzione da un suo asintoto orizzontale, di equazione y = q,
tende a 0 quando x tende a + 3.
y
asintoto
orizzontale
y=q
H
Detto P (x; f (x)) il punto, si ha:
P
y = f(x)
lim PH = x lim
f (x) - q = 0 .
"+3
x "+3
Considerazioni analoghe si hanno per
x " 3 o x " - 3.
O
x
M
m Figura 10
ESEMPIO
Prendiamo in esame una funzione
nota, la funzione esponenziale y = e x,
il cui grafico è rappresentato nella
figura 11. Sappiamo che x lim
e x = 0,
"-3
quindi la retta y = 0 è asintoto orizzontale sinistro.
b Figura 11 Il grafico della
funzione y = ex ha come
asintoto orizzontale sinistro
l’asse x, cioè y = 0.
y
y = ex
1
O
x
f ( x) = 3
5. LA DEFINIZIONE DI xlim
"3
Il limite è ⫹3 quando x tende a ⫹3 o a ⫺3
In questo caso si può anche dire che la funzione diverge positivamente.
Studiamo i due casi:
lim f (x) =+ 3 e x lim
f (x) =+ 3 .
"-3
x "+3
729
TEORIA
CAPITOLO 12. I LIMITI
y
y = x3
O
x
Consideriamo la funzione y = x 3, il cui grafico è nella figura a lato.
Se attribuiamo a x valori positivi crescenti, per esempio 1, 2, 3, 4, …, i corrispondenti valori x 3, ossia 1, 8, 27, 64, …, aumentano sempre più.
Diciamo che quando x tende a + 3 i valori della funzione tendono a + 3 e scriviamo x lim
x3 =+ 3 .
"+3
DEFINIZIONE
Limite + 3 di una funzione per x che tende a + 3
Si dice che la funzione f (x) ha per
limite + 3 per x che tende a + 3
e si scrive
lim f (x) =+ 3
x "+3
y
y = f(x)
f(x)
M
quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno I di + 3 tale che risulti:
f (x) 2 M per ogni x ! I.
O
c
x
x
Ι(⫹⬁)
f (x) =+ 3 se:
In simboli, x lim
"+3
6M 2 0 7c 2 0 f (x) 2 M, 6x 2 c.
y
O
y = x2
x
Consideriamo ora la funzione y = x 2, il cui grafico è nella figura a lato.
Se attribuiamo a x valori negativi decrescenti, per esempio -1, -2, -3, -4, …,
i corrispondenti valori x 2, ossia 1, 4, 9, 16, …, aumentano sempre più. Diciamo
che quando x tende a - 3 i valori della funzione tendono a + 3 e scriviamo
lim x2 =+ 3 .
x "-3
DEFINIZIONE
Limite + 3 di una funzione per x che tende a - 3
Si dice che la funzione f (x) ha per
limite + 3 per x che tende a - 3
e si scrive
lim f (x) =+ 3
x "-3
quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno I di - 3 tale che risulti:
f (x) 2 M per ogni x ! I.
y = f(x)
y
f(x)
M
x
⫺c
Ι(⫺ ⬁)
O
x
In simboli, x lim
f (x) =+ 3 se:
"-3
6M 2 0 7c 2 0 f (x) 2 M, 6x 1- c.
Il limite è ⫺3 quando x tende a ⫹3 o a ⫺3
In questo caso si può anche dire che la funzione diverge negativamente.
Studiamo i due casi:
lim f (x) =- 3 e x lim
f (x) =- 3 .
"-3
x "+3
730
PARAGRAFO 6. PRIMI TEOREMI SUI LIMITI
DEFINIZIONE
y
Limite - 3 di una funzione per x che tende a + 3
Si dice che la funzione f (x ) ha per limite - 3 per x che tende a + 3 e si
scrive xlim
f (x) =- 3 quando per ogni numero reale positivo M si può
"+3
determinare un intorno I di + 3 tale che risulti f (x) 1 - M per ogni x ! I.
−M
y = f(x)
∀M > 0 ∃c > 0 ⎪
f(x) < − M, ∀x > c
DEFINIZIONE
y
I(2`)
1
y = ax
(a > 1)
O
x
x"+⬁
1
−M
+ ⬁ y y = logax (a > 1)
lim bx = 0
lim ax = 0
lim bx = + 3
x" +
3
x" − 3
a
∀M > 0 ∃c > 0 ⎪
f(x) < − M, ∀x < − c
. Figura 12
+⬁ y
O
1
x
O
x
1
x
x"+⬁
−⬁
lim ax = + 3
y = f(x)
y = logbx (0 < b < 1)
y = bx
(0 < b < 1)
O
O
x
Un esempio di verifica di questo limite si trova negli esercizi, dove esaminiamo
anche il caso di xlim
f (x).
"3
Nella figura 12 mostriamo i limiti della funzione esponenziale e della funzione
logaritmica agli estremi del dominio.
y +⬁
I(1` )
x
O
Limite - 3 di una funzione per x che tende a - 3
Si dice che la funzione f (x ) ha per limite - 3 per x che tende a - 3 e si
f (x) =- 3 quando per ogni numero reale positivo M si può
scrive xlim
"-3
determinare un intorno I di - 3 tale che risulti f (x) 1 - M per ogni x ! I.
+⬁ y
TEORIA
lim loga x = − 3
x" + 3
x " 0+
lim loga x = + 3
x"+ 3
x" − 3
−⬁
lim+ logb x = + 3
x" 0
lim logb x = − 3
x"+ 3
b
6. PRIMI TEOREMI SUI LIMITI
I teoremi e le proprietà che enunceremo in questo paragrafo sono validi per
funzioni definite in un qualsiasi dominio D 3 R e per punti x 0 (in cui calcoliamo il limite) di accumulazione del dominio D. Valgono inoltre per
x " + 3 oppure x " - 3 .
Tuttavia, per semplicità, penseremo sempre a particolari domini D, ossia a intervalli di R o a unioni di intervalli, e a x 0 come punto di D o estremo di uno degli
intervalli che costituiscono D.
I teoremi valgono anche se invece di l abbiamo + 3 , - 3 o 3. Valgono inoltre nei
casi di limite destro o limite sinistro.
TEOREMA
Teorema di unicitˆ del limite
Se per x che tende a x 0 la funzione f (x ) ha per limite il numero reale l, allora tale limite è unico.
● Il teorema vale anche per
i limiti con x " + 3 o
x " - 3.
731
CAPITOLO 12. I LIMITI
TEORIA
● Il teorema afferma che in
un intorno di x 0 la funzione
f (x ) ha lo stesso segno di l
se l ! 0 .
● Il teorema vale anche per
i limiti con x " 3.
TEOREMA
Teorema della permanenza del segno
Se il limite di una funzione per x che tende a x 0 è un numero l diverso
da 0, allora esiste un intorno I di x 0 (escluso al più x 0 ) in cui f (x) e l sono
entrambi positivi oppure entrambi negativi.
TEOREMA
Teorema del confronto
Siano h (x), f (x) e g(x) tre funzioni definite nello stesso dominio
D 3 R, escluso al più un punto x 0 .
Se in ogni punto diverso da x0 del
dominio risulta
y = g(x)
y
y = f(x)
y = h(x)
ø
h (x) # f (x) # g(x)
● Poiché la funzione f
viene «costretta», da h e da
g, a tendere a l, il teorema
viene anche detto teorema
dei due carabinieri.
e il limite delle due funzioni h(x)
e g (x), per x che tende a x 0, è uno
stesso numero l , allora anche il
limite di f (x) per x che tende a x 0 è
uguale a l.
O
x
x0
h(x) ≤ f(x) ≤ g(x)
lim h(x) = ø
x→x
0
f(x) = ø
⇒ lim
x→x
0
lim g(x) = ø
x→x
0
DIMOSTRAZIONE
Fissiamo f 2 0 a piacere. È vero che:
h (x) - l 1 f , per ogni x ! I1 + D , perché h (x) " l per x " x 0 ;
g (x) - l 1 f , per ogni x ! I2 + D , perché g (x) " l per x " x 0 .
Le disuguaglianze valgono entrambe per ogni x del dominio appartenente
all’intorno I = I 1 + I 2 , escluso al più x0 . Quindi, per ogni x ! I, abbiamo:
l - f 1 h (x) 1 l + f ,
c Figura 13
l - f 1 g (x) 1 l + f .
Tenendo conto della relazione fra le
funzioni, abbiamo
l - f 1 h (x) # f (x) # g (x)1l + f ,
per ogni x ! I, che implica
l - f 1 f (x) 1 l + f,
y
,+ε
,
,–ε
O
per ogni x ! I , ossia:
x0
Ι2
f (x) - l 1 f, 6x ! I.
● h(x) e g(x) sono funzioni
polinomiali e quindi continue:
lim h (x) = h (1) ,
x"1
lim g (x) = g (1) .
x"1
732
x
Quest’ultima relazione significa proprio che xlim
f (x) = l .
"x
⊃
Ι1
Ι1 Ι2
0
ESEMPIO
Sono date le funzioni
h (x) = - x 2 + 4x - 2,
rappresentate nella figura 14a .
f (x) = 2x - 1,
g(x) = x 2,
PARAGRAFO 7. SUCCESSIONI E LIMITI
TEORIA
Noto che:
lim h (x) = lim (- x2 + 4x - 2) = 1
x"1
x"1
lim g (x) = lim x2 = 1,
e
x"1
x"1
calcoliamo lim f (x).
x"1
Possiamo osservare che per ogni valore x appartenente all’intervallo ]0; 3[, i
rispettivi valori delle tre funzioni h, f e g sono, nell’ordine, uno minore dell’altro, ossia h (x) # f (x) # g(x).
2
y=x
y
g(x)
y = 2x − 1
f
O
1
f
2
x
O
y = − x + 4x − 2
h
1
x
3
y
2
y = − x + 4x − 2
h
1
g
g(x)
f(x)
h(x)
f(x)
h(x)
y=x
y = 2x − 1
g
i limiti con x " + 3 o
x " - 3.
Un esempio grafico nel caso
x " + 3 è illustrato nella
figura sotto.
2
y
● Il teorema vale anche per
1
y = g(x)
x
3
y = f(x)
x
y = h(x)
a. Consideriamo un valore x e i
corrispondenti valori h(x) ≤ f(x) ≤ g(x).
b. Se x tende a 1, h(x) e g(x) tendono
a 1. Anche f(x), essendo compreso
fra h(x) e g(x), deve tendere a 1.
x
O
䉳 Figura 14
Il teorema permette di affermare che è anche vero:
lim f (x) = lim (2x - 1) = 1.
x"1
x"1
7. SUCCESSIONI E LIMITI
Le successioni
DEFINIZIONE
Successione numerica
Una successione numerica a è una funzione che associa a ogni numero
naturale n un numero reale a n :
a: N " R
n 7 a n.
n è la variabile indipendente e si dice indice della successione. a n è la variabile
dipendente e si dice termine della successione.
In particolare, quando non si specifica il numero n, an si chiama termine generico.
Una successione è costituita da un insieme di numeri ordinato e infinito:
a 0,
a 1,
a 2,
a 3,
…,
an,
…
● an si legge «a con n» e
sostituisce il simbolo a(n).
● In generale l’indice, o
pedice, è un numero naturale che si pone in basso a
destra, rispetto a una lettera.
Esso indica la posizione
che occupa il termine nella
successione: a0 è il primo
termine, a1 il secondo e
così via.
733
TEORIA
CAPITOLO 12. I LIMITI
ESEMPIO
La successione costituita da tutti i quadrati dei numeri naturali è una funzione
a che associa a ogni numero naturale il suo quadrato.
a: N " R
a⬊0 7 a 0 = 0
1 7 a1 = 1
2 7 a2 = 4
3 7 a3 = 9
…
L’insieme immagine di questa successione, cioè il codominio, è proprio l’insieme dei quadrati dei numeri naturali.
La rappresentazione di una successione
I numeri naturali sono infiniti; sarebbe dunque impossibile descrivere la successione tramite tutte le assegnazioni. Da questo nasce l’esigenza di scrivere in modo
chiaro e sintetico i termini. In alcuni casi è possibile rappresentare una successione come una lista ordinata.
Rappresentazione per enumerazione
Per rappresentare una successione, a volte si possono indicare in sequenza i primi
cinque o sei termini seguiti dai puntini di sospensione, sottintendendo che l’indice equivale alla posizione nella lista. Questo tipo di rappresentazione prende il
nome di rappresentazione per enumerazione.
ESEMPIO
0,
10,
20,
30,
40, 50,
60,
…
è la successione dei multipli di 10.
La rappresentazione per enumerazione è consigliabile soltanto se, leggendo i primi termini, si possono dedurre gli altri senza ambiguità.
Rappresentazione mediante espressione analitica
Il modo più comune di rappresentare una successione numerica (per non dare
luogo ad ambiguità) consiste nello scrivere esplicitamente la relazione che lega
l’indice n e il termine a n. Questo tipo di rappresentazione si chiama rappresentazione mediante espressione analitica.
ESEMPIO
1. an = 2n + 1, n ! N .
Volendo scrivere i primi termini della successione basta sostituire alla lettera n, nell’espressione 2n + 1, i valori 0, 1, 2, 3, …
Si ha a0 = 1, a1 = 3, a2 = 5, a3 = 7, …
Si vede facilmente che si tratta della successione dei numeri naturali dispari.
2. Consideriamo la seguente successione definita tramite espressione analitica:
an =
2n + 1
,
3 + n2
n ! N.
Sostituendo a n i valori 0, 1, 2, 3, 4, …, si ottengono i seguenti termini:
1 3 5 7 9
, , ,
,
,f
3 4 7 12 19
In questo caso non è facile capire quali sono i termini successivi, dunque la
rappresentazione per enumerazione può essere inefficace.
734
PARAGRAFO 7. SUCCESSIONI E LIMITI
A volte si indica il primo termine di una successione con a1, oppure con ak se la
successione non è definita per numeri minori di k. Consideriamo la successione:
n+1
an =
, n ! N - {0, 1}.
n-1
L’espressione analitica del termine generico an perde significato per n = 1, pertanto i termini della successione partono da a 2.
Rappresentazione ricorsiva
Un ulteriore tipo di rappresentazione di una successione consiste nel fornire il
primo termine della successione a0 e una relazione che lega il termine generale an
a quello precedente an - 1 :
*
a0
an = f (an - 1)
se n 2 0
Questo tipo di rappresentazione si chiama rappresentazione ricorsiva o per
ricorsione.
ESEMPIO
)
a0 = 1
an = an - 1 + 2
se n 2 0
Ogni termine si ottiene dal precedente sommando 2. A partire dal primo termine, si determinano quelli successivi:
a1 = a0 + 2 = 1 + 2 = 3,
a2 = a1 + 2 = 3 + 2 = 5,
a3 = a2 + 2 = 5 + 2 = 7,
…
Osserviamo che abbiamo riottenuto la successione dei numeri dispari.
A volte la rappresentazione ricorsiva è data fornendo i primi k termini della successione e una relazione che lega il termine generale ai k termini precedenti.
ESEMPIO
)
a 0 = 0, a1 = 1
an = an - 1 + an - 2 se n 2 1
a 2 = a1 + a 0 = 1,
a3 = a 2 + a1 = 2 ,
a 4 = a3 + a2 = 3 ,
a5 = a 4 + a3 = 5 ,
f
Questa successione è detta successione di Fibonacci.
Le successioni monotòne
Una successione si dice:
• crescente se ogni termine è maggiore del suo precedente, ossia:
an 1 an + 1, 6n ! N;
735
TEORIA