Oligopolio
Roberto Mavilia
Università per Stranieri “Dante
Dante Alighieri”
Alighieri di Reggio Calabria
Università Commerciale “L. Bocconi” di Milano
[email protected]
OLIGOPOLIO
Quando le imprese sanno si rendono conto che le decisioni di
ciascuna di loro riguardo al prezzo e al volume di produzione
influiscono sui profitti di tutte le altre,
altre si dice che sono consapevoli
della loro interdipendenza reciproca.
La consapevolezza
L
l
d ll’i
dell’interdipendenza
di d
importanti conseguenze:
reciproca
i
h
ha
d
due
i) a ogni impresa interessa sapere che cosa stanno facendo i
concorrenti;
ii) ogni impresa sa che gli altri produttori la sorvegliano e che
reagiranno in qualche modo alle sue iniziative.
Quindi l’impresa deve tener conto delle possibili reazioni dei suoi
concorrenti quando prende qualche decisione; se un’impresa tiene
conto delle possibili reazioni degli altri produttori quando decide
come agire, si dice che assume un comportamento strategico. 2
Ipotesi fondamentali
L’oligopolio si basa su quattro ipotesi fondamentali:
prezzo
1)) I venditori fanno il p
2) I venditori si comportano in modo strategico: ogni
impresa sa che le sue azioni influenzano i prezzi che le altre
imprese possono applicare sui loro prodotti; quindi ogni
impresa sa di influenzare le azioni degli altri
3) Gli acquirenti non fanno il prezzo
4) L’accesso al mercato può essere del tutto libero o
completamente bloccato
3
Struttura di mercato
i) I venditori sono pochi e fronteggiano una curva di domanda
individuale decrescente;
ii) I compratori sono tanti e nessuno ha dimensioni tali da
i fl
influenzare
il prezzo;
iii) I prodotti offerti dai vari produttori possono essere
diff
differenziati
i i oppure no;
iv) Gli acquirenti possono essere ben informati o poco
informati sulle alternative disponibili;
v)) Possono esistere barriere all’entrata oppure
pp
no.
4
OLIGOPOLIO
• Le interazioni strategiche danno luogo a diversi modelli.
I più importanti sono:
• La competizione mediante la fissazione delle quantità
( d ll di Cournot)
(modello
C
t)
• La competizione mediante la fissazione ripetuta del
prezzo (modello di Bertrand)
• La concorrenza mediante fissazione delle qquantità dove
una delle imprese agisce per prima (modello di
Stackelberg)
g) non ppresente in queste
q
slides.
• Il comportamento collusivo
5
Duopolio di Cournot
Consideriamo il modello di oligopolio più semplice, noto come
d
duopolio
li di Cournot;
C
esso sii basa
b
su queste ulteriori
l i i ipotesi:
i
i
i) Nell’industria ci sono solo due imprese, che scelgono il loro
volume di produzione contemporaneamente;
ii) L’accesso all’industria è completamente bloccato;
iii) I prodotti offerti dalle imprese sono omogenei;
iiv)) Il costo
t marginale
i l di produzione,
d i
c, è costante
t t e uguale
l per
le due imprese.
Queste ipotesi sono ovviamente restrittive, ma questo modello
rivela importanti caratteristiche del comportamento degli
oligopolisti di validità più generale.
generale
6
Il duopolio Cournot può evidentemente essere rappresentato
come un gioco simultaneo con informazione imperfetta.
Gli elementi fondamentali di tale ggioco sono:
i) Giocatori: le due imprese;
ii) Azioni:
A i i l’insieme
l’i i
d i possibili
dei
ibili volumi
l i di produzione
d i
(i
(in
questo caso, l’insieme delle azioni possibili non è discreto ma
è continuo);
iii) Strategie: l’insieme dei possibili volumi di produzione;
iv) Vincite: i profitti associati a ogni combinazione di livelli di
produzione.
7
La curva di domanda del mercato dipende dalla quantità
complessiva offerta dalle due imprese:
p p y p y1 y2
Dal ppunto di vista dell’impresa
p
1,, la qquantità dell’impresa
p
2è
data (e non osservabile); quindi:
p p y1 y2
Rappresenta la curva di domanda residuale che ll’impresa
impresa 1
deve affrontare, cioè la sua curva di domanda individuale
data la strategia di quantità congetturata dell’altra impresa.
La curva di domanda residuale indica il prezzo al quale
l’impresa
p
ppuò vendere il suo pprodotto, in funzione del suo
livello di produzione, dato un che l’impresa 2 ha scelto una
8
certa quantità.
I ricavi totali per l’impresa 1, basati sul suo livello di
produzione
d i
e sulla
ll congetture
tt
riguardo
i
d alla
ll strategia
t t i dell’altro,
d ll’ lt
sono uguali a :
R1 y1 p y1 y2 y1
I ricavi marginali diventano:
R1 y1
dp y
MR1 ( y1 )
p ( y1 y2 )
· y1
y1
dy
dato che:
p y1 y2 dp y
y1
dy
9
Data la congettura sulla strategia dell’impresa 2, l’impresa 1
massimizza il suo profitto sulla domanda residuale; la condizione
di ottimo usuale
MR1 y1 MC1 y1
diventa
dp y
p ( y1 y2 )
· y1 c
d
dy
Intuitivamente, l’impresa 1 si comporta come un monopolista sulla
frazione di mercato che prevede non sia coperto dall’impresa 2.
Questa condizione di ottimo definisce implicitamente la risposta
ottima dell’impresa 1 a ogni livello di produzione che l’impresa 2
può
ò scegliere;
li
questa
t funzione
f i
viene
i
solitamente
lit
t chiamata
hi
t
10
funzione di reazione.
Analogamente, data la congettura sul livello di produzione
dell’impresa
dell
impresa 1,
1 ll’impresa
impresa 2 massimizza i suoi profitti sulla sua
domanda residuale; la condizione di ottimo usuale
MR2 y2 MC2 y2
diventa
dp y
p ( y2 y1 )
· y2 c
dy
L’impresa 2 si comporta come un monopolista nella frazione di
mercato che prevede non sia coperto dall’impresa 1.
Come prima, la condizione di ottimo definisce implicitamente la
risposta ottima dell’impresa 2 a ogni livello di produzione che
l’i
l’impresa
1 puòò scegliere,
li
e rappresenta
t la
l funzione
f
i
di reazione
i
11
dell’impresa 2.
Equilibrio nel duopolio di Cournot
Un mercato oligopolistico è in equilibrio se ogni singola
impresa adotta una strategia che è una risposta ottima, date le
strategie adottate da tutte le altre imprese.
In altre parole, il mercato è in equilibrio se nessuna impresa ha
interesse a modificare il suo comportamento unilateralmente.
Questa definizione vi ricorda qualcosa? SI’, ci ricorda la
definizione dell’equilibrio di Nash…
Un duopolio di Cournot è in equilibrio quando ogni impresa
pproduce la qquantità che massimizza i suoi pprofitti data la
quantità prodotta dall’altra impresa.
Quest’equilibrio
Quest
equilibrio viene detto equilibrio di Cournot
Cournot-Nash.
Nash.
12
L’equilibrio di Cournot-Nash si trova usando le curve di
reazione.
reazione
Analiticamente, l’equilibrio di Cournot-Nash risolve il
seguente
t sistema:
it
dp y
p
y
y
y
c
1
2
1
dy
dp y
p y1 y2
y2 c
dy
Quindi ll’equilibrio
equilibrio di Cournot-Nash
Cournot Nash è caratterizzato da due
quantità e dal prezzo di mercato:
yˆ1 , yˆ 2 , pˆ p yˆ1 yˆ 2
13
Graficamente, l’equilibrio di Cournot-Nash è individuato
dall’intersezione delle due curve di reazione:
y2
RF1 y2
Equilibrio di Cournot-Nash
yŷ2
RF2 y1
ŷ1
y1
14
Cournot-Nash vs. concorrenza perfetta
Consideriamo un modello di Cournot con diverse imprese, cioè
un oligopolio di Cournot, e focalizziamoci sulla funzione di
reazione della generica impresa:
dp y
p( y)
·y j c
dy
Questa funzione di reazione può essere riscritta come:
dp y y y j
sj
p ( y ) 1
p ( y ) 1
dy p y y
c
dove sj= yj / y è la quota di mercato della generica impresa j,
j cioè
la quota della produzione aggregata prodotta dall’impresa j. 15
Notiamo che:
s j 1 MONOPOLIO
s j 0 CONCORRENZA PERFETTA
0 s j 1 OLIGOPOLIO
p( y) c
s j 0
Perfect competition
sj
p ( y ) 1 c
0 s j 1
Oligopoly
1
p ( y ) 1 c
s j 1
Monopoly
Quindi:
y
M
Monopolio
li
y
Oli
Oligopolio
li
y
C
Concorrenz
a
16
Accordo autosanzionante
Un accordo tra imprese è detto autosanzionante se è
nell’interesse
nell
interesse di ciascuna impresa rispettarlo a condizione che
anche le altre vi si attengano.
Il concetto di equilibrio di Cournot-Nash si basa sull
sull’idea
idea che
un equilibrio deve essere autosanzionante per essere attuabile.
Se le imprese si accordano in modo tale che ognuna produca il
volume di prodotto dell’equilibrio di Cournot-Nash, allora sarà
nell’interesse di ogni
g singola
g
impresa
p
non rompere
p
l’accordo,,
dato che ritiene che l’altra impresa si stia comportando nello
stesso modo.
Naturalmente le tipologie di accordo che stiamo considerando
sono accordi taciti, cioè accordi in cui ogni impresa intuisce
quali sono i termini dell’accordo implicito senza discuterne
17
esplicitamente i termini con le altre imprese.
Esempio
Domanda di mercato:
p y y y1 y2
Costi marginali:
MC1 y1 c1 , MC2 y2 c2
Ricavi totali:
R j y j y1 y2 y j
Ricavi marginali:
MR1 y1 2 y1 y2
MR2 y2 2 y2 y1
18
Funzioni di reazione:
2 y1 y2 c1
2 y2 y1 c2
Possiamo trovare l’equilibrio di Cournot-Nash:
2 2 y2 c2 y2 c1
y1 2 y2 c2
T 2c1 c2
y1
3
2c2 c1
T
y2
3
Equilibrio di Cournot-Nash
19
T 2c1 c2
y1
3
2c2 c1
T
y2
3
y se c 2
T
1
Perché?
y se c1
T
2
Supponiamo ora che c1 = c2 = c:
y
T
j
c
3
2
2c
T
, y c , p
3
3
T
Quindi:
2c
c c
c
9
3
3
2
T
j
20
Il modello
d ll di Bertrand
B t d
Nel modello di Cournot, le imprese scelgono
contemporaneamente le quantità e il mercato fissa il prezzo di
equilibrio.
In molte situazioni, è più appropriato è preferibile
rappresentare il mercato con un modello in cui le imprese
fi
fissano
il prezzo, invece
i
d l volume
del
l
di produzione.
d i
Il modello in cui le imprese scelgono i prezzi e il mercato
determina le quantità di equilibrio viene detto modello di
Bertrand.
Supponiamo che le nostre due imprese debbano decidere
contemporaneamente a quale prezzo venderanno il loro
prodotto
d tt nell periodo
i d di tempo
t
considerato;
id t assumiamo
i
i lt
inoltre
21
che le due imprese affrontino gli stessi costi marginali, c.
Il modello di Bertrand può essere rappresentato come un gioco
simultaneo con informazione imperfetta.
Gli elementi fondamentali di questo gioco sarebbero:
i) Giocatori: le due imprese;
ii) Azioni: l’insieme dei prezzi possibili;
iii) Strategie: l’insieme dei prezzi possibili;
g insieme di p
prezzi.
iv)) Vincite: i pprofitti associati a ogni
22
La domanda di mercato, D(p), dipende dal prezzo a cui il
bene (omogeneo) è venduto sul mercato.
mercato
Dal punto di vista dell’impresa 1, il prezzo deciso
d ll’i
dall’impresa
2 è dato
d t (e
( non osservabile)
bil ); quindi
i di la
l domanda
d
d
residuale l’impresa 1, cioè la sua curva di domanda
individuale date le congetture sulla strategia di prezzo scelta
dal rivale, può assumere una delle seguenti forme:
1) Se p1<p2, allora D1(p1)=D(p1) e D2(p2)=0, dato che nessuno
comprerà dall’impresa 2 (le imprese producono lo stesso bene
omogeneo);
g
);
2) Se p1>p2, allora D2(p2)=D(p2) e D1(p1)=0, dato che nessuno
compra dall
dall’impresa
impresa 1;
3) Se p1=p2=p, allora D1(p)=D(p)/2 e D2(p)=D(p)/2 per ipotesi,
cioè i consumatori si dividono equamente fra le due imprese.
imprese
23
P
Modello di Bertrand:
rappresentazione grafica
Se P2>P1, Q2 = 0
Se P2=P1, Q2 = Q1
P1
Se P2<P1, Q2 = QM
P2
MC1= MC2
Q2
Q1
Q
24
Quindi data ogni strategia p2>c, scelta dall’impresa 2, la
miglior risposta dell’impresa 1 sarebbe di applicare un prezzo
p1 leggermente più basso di p2.
Sfortunatamente per l’impresa 1, il suo rivale ha esattamente la
stessa
t
f i
funzione
di reazione:
i
se p1>c
> , l’impresa
l’i
2 può
ò fissare
fi
un
prezzo leggermente inferiore a p1, e ottenere tutta la domanda
del mercato.
Questa guerra dei prezzi deve fermarsi quando p1=p2=c, perché
nessuna impresa che massimizza i suoi profitti potrebbe fissare
un prezzo inferiore al proprio costo marginale.
Evidentemente
E
identemente nessuna
ness na combinazione
combina ione di prezzi
pre i tale per cui
c i
p1>c o p2>c può essere un equilibrio di Nash, dato che la
risposta ottima di almeno un
un’impresa
impresa sarebbe di fissare un
prezzo minore di quello del rivale.
25
Modello di Bertrand:
rappresentazione grafica
P
MC1= MC2
P1= P1=
MC1= MC2
Q2
Q1
QM
Q
26
Questo implica che, se tutte le imprese operanti in un’industria
oligopolistica
li
li i hanno
h
un costo marginale
i l costante parii a c, nella
ll
situazione di equilibrio di Bertrand applicheranno tutte lo
stesso prezzo pari a c.
L’equilibrio di Bertrand-Nash ha una caratteristica molto
interessante:
replica
perfettamente
ll’allocazione
dell’equilibrio concorrenziale (cioè genera lo stesso volume
di produzione, lo stesso prezzo e gli stessi profitti)
Infatti notiamo che:
pj c 0
B
j
Due domande:
i) Quali sono le ipotesi che portano a questo risultato?
ii) Cosa
C
succede
d se le
l imprese
i
h
hanno
di
diversi
i costi
ti marginali,
i li
27
c1<c2?
Cournot vs. Bertrand
Perché nel modello di Cournot le imprese oligopoliste riescono
a limitare la quantità prodotta e a mantenere il prezzo al di
sopra di c mentre nel modello di Bertrand non ci riescono?
Nel modello di Cournot, se l’impresa
p
1 devia e espande
p
la
produzione, il prezzo a cui entrambe le imprese vendono il
loro prodotto diminuisce, e quindi l’impresa 1 non prende tutto
il mercato solo
l facendo
f
d scendere
d un po’’ il suo prezzo.
Nel modello di Bertrand, se l’impresa 1 devia abbassando
leggermente il suo prezzo (e l’impresa 2 non diminuisce il suo
prezzo, almeno temporaneamente), l’impresa 1 può
aggiudicarsi ll’intero
intero mercato con una minima riduzione di
prezzo.
L’incentivo
L’i
ti a deviare
d i
è MOLTO maggiore
i
che
h nell modello
d ll di
28
Cournot.
Cartelli
Un cartello è un accordo stipulato tra imprese operanti nella
stessa industria che si mettono insieme e agiscono come un
monopolista, cioè limitano il volume di produzione complessivo
e fanno salire il p
prezzo di mercato; accordi formali p
per la
costituzione di cartelli nei mercati di prodotti sono rari perché
normalmente sono illegali.
Un esito di cartello pieno è rappresentato dalla combinazione
prezzo-quantità prodotta che massimizza il profitto complessivo
delle imprese che fanno parte di un cartello; a livello di industria,
l’esito di cartello pieno corrisponde all’esito di monopolio.
Per avere successo un cartello deve essere in grado di:
p
l’accordo ai suoi membri
i)) far rispettare
ii) limitare l’entrata di nuove imprese
29
P
MC
AC
La collusione: è analoga al
monopolio
Le imprese però
si spartiscon il
mercato
MC
E
P*
AC
Curva di
domanda
MR
Qi
Q*
Q
30
L’equilibrio
L
equilibrio in collusione
(formula generale)
Siano date per il mercato la funzione di
domanda P=f(Q) (inversa) e le due funzioni di
costo totale g(Q1) e g(Q2).
Costo totale delle
2 imprese)
i
)
12 f (q1 q2 ) * (q1 q2 ) g (q1 ) g (q2 )
Profitto
P
fitt
totale
Ricavo ttotale
Ri
t l delle
d ll
2 imprese)
(Qtot
q1+q
q2)
t t=q
La condizione p
per
avere Profitto max è
q 0
1
0
q 2
31
Il fatto che le imprese
p
collettivamente traggano
gg
vantaggio
gg
dalla costituzione di un cartello non implica che rispettare gli
accordi di cartello sia nell’interesse di ogni singola impresa.
Quando un cartello riesce a far salire il prezzo al di sopra del
costo marginale, le singole imprese che ne fanno parte sono
incentivate a violare gli accordi espandendo il volume di
produzione.
p
pc
MC
pc
ΔΠ
y cj
y *j
yj
Se il prezzo deciso dai
membri è pc > MC, ogni
impresa ha incentivo ad
espandere il volume di
produzione fino al punto in
cui pc = MC(yj*)
32
E possibile che un cartello sia supportato da un accordo
E’
autosanzionante nel duopolio di Cournot?
Supponiamo
S
i
che
h le
l imprese
i
sii accordino
di
per dividere
di id
l
la
produzione (e i profitti) egualmente fra loro; se l’impresa 1 crede
che ll’impresa
impresa 2 venderà yM/2 unità (dove yM è il volume di
produzione di monopolio), è nell’interesse di 1 onorare l’accordo
vendendo yM/2 unità?
L’impresa 1 ha un incentivo a incrementare la produzione al di
sopra
p di yM/2 p
pari alla variazione nei p
profitti q
quando vende
un’unità aggiuntiva, cioè MR1-MC1
In corrispondenza di yM, il volume di produzione che massimizza
i profitti dell’industria, il ricavo marginale dell’industria è pari al
costo marginale dell’industria: MR=MC1=MC2
La domanda è: a yM/2, MR1=MR o no?
33
La risposta
p
è: NO!
Il ricavo marginale dell’industria ha tre componenti:
i) un aumento
t di ricavi
i i per l’unità
ità aggiuntiva
i ti venduta
d
ii) una perdita di ricavi perché l’aumento della produzione
nell’industria abbassa il prezzo ricevuto dall’impresa 1 per le
unità che stava vendendo prima della variazione delle vendite.
iii) una perdita di ricavi perché l’aumento della produzione
nell’industria abbassa il prezzo ricevuto dall’impresa 2 per le
unità
ità che
h stava
t
vendendo
d d prima
i della
d ll variazione
i i
d ll vendite.
delle
dit
I ricavi marginali delle singole imprese hanno solo due di
queste tre componenti.
Il ricavo marginale dell’impresa 1 considera (i) e (ii), mentre il
ricavo marginale dell’impresa 2 considera (i) e (iii).
34
Paragonando i ricavi marginali dell’industria con quelli della
singola impresa, notiamo che:
i) L’impresa 1 ignora l’effetto negativo che l’espansione della sua
produzione ha sull’impresa 2 quando calcola il suo ricavo
marginale;
i l
ii) Allo stesso modo, l’impresa 2 ignora l’effetto negativo che la
sua espansione
i
h sull’impresa
ha
ll’i
1.
Quindi, in entrambi i casi, il ricavo marginale dell’impresa è
maggiore del ricavo marginale dell’industria.
p
di rompere
p
Sarebbe qquindi nell’interesse delle due imprese
l’accordo di cartello.
Quindi, ll’esito
esito di cartello pieno non è un accordo autosanzionante,
e certamente non un equilibrio di Cournot-Nash.
35
Riprendiamo l’esempio seguito per Cournot
e applichiamolo al cartello
Domanda di mercato:
p y y y1 y2
Costi marginali:
MC1 y1 c1 , MC2 y2 c2
Ricavi totali:
R j y j y1 y2 y j
Ricavi marginali:
MR1 y1 2 y1 y2
MR2 y2 2 y2 y1
36
In un cartello, l’industria riproduce l’esito di monopolio:
MR MC 2 y c y
M
c
2
Quindi:
y
M
c
2
, p
M
c
2
c
2
, Π
M
4
A livello di impresa:
y
M
j
y
c
c
M
, Πj
2
4
2
8
M
Π Mj
2
37
Possiamo ora paragonare i profitti ottenuti nelle diverse forme
di mercato:
Cj 0
Concorrenza perfetta:
c
2
Duopolio di Cournot:
T
j
9
c
2
Cartello:
M
j
8
Quindi:
i di
0
C
j
T
j
M
j
38
Supponiamo ora che l’impresa 1 rompa l’accordo di cartello e
espanda la produzione; dato che si suppone che ll’impresa
impresa 2
tenga fede all’accordo, quale sarà la risposta ottima
dell’impresa 1?
Possiamo sostituire la congettura del livello di produzione
dell’impresa 2 nella funzione di reazione dell’impresa 1:
c
3
2 y1
c1 y c
4
8
D
1
y 2M
3
9
c 3
2
D
1
c c c c
8
8
64
4
6
y 2M
y1D
y1D
39
Notiamo che:
c 3
c 3
2
D
2
c c
c
4
8
4 32
y2M
y 2M
y1D
Questo implica che:
D
1
,
M
1
D
2
M
2
dato che:
c
2
M
1
M
2
8
40
Il “gioco di cartello” può essere rappresentato in forma
normale
l :
2
2
1
R
R
D
1/8 , 1/8
3/32 , 9/64
D 9/64 , 3/32
1/9 , 1/9
R
1
D
R 0.13 , 0.13 0.01 , 0.14
D 0.14 , 0.01 0.11 , 0.11
dove R sta per “rispettare l’accordo” e D per “deviare”
Non è difficile vedere che { D , D } è un equilibrio con
strategie dominanti, e quindi l’univo equilibrio di Nash per
questo gioco.
gioco
Quindi, l’esito di cartello pieno NON è un accordo
autosanzionante:
i
l’i
l’incentivo
i a deviare
d i
per entrambe
b le
l imprese
i
41
è troppo forte.
APPLICAZIONI DEL MODELLO DI COURNOT
E DI BERTRAND
42
Cooperazione e sanzioni
Un oligopolista deve
i) cercare di prevedere quali strategie adotteranno i suoi concorrenti;
ii) tener conto di come questi potrebbero reagire alle sue decisioni.
I modelli di Cournot e Bertrand illustrano adeguatamente il primo
aspetto, ma non tengono conto delle possibili reazioni dei
concorrenti.
Dato che le imprese fanno un’unica scelta e la fanno
contemporaneamente, non c’è modo di mostrare eventuali reazioni a
questa scelta.
Un modello più realistico deve tener conto del fatto che le imprese
non decidono una volta per tutte, ma ripetutamente: in questo caso,
l imprese
le
i
possono scegliere
li
sulla
ll base
b
d ll azioni
delle
i i passate, cioè
i è
43
reagiranno al comportamento dei concorrenti.
Un gioco di Cournot ripetuto
Supponiamo che le nostre due imprese tentino di raggiungere
un accordo autosanzionante per aumentare i profitti, e
supponiamo
i
i l che
inoltre
h debbano
d bb
scegliere
li
ripetutamente
i
con
un orizzonte infinito.
Se le imprese sono ora in grado di reagire al comportamento
dei concorrenti, possono “punire” in qualche modo le imprese
che
h hanno
h
d i di violare
deciso
i l l’accordo
l’
d neii periodi
i di precedenti.
d ti
Supponiamo che l’impresa 2 segua la strategia “Tit for tat”:
Rispetta l’accordo di cartello finché l’impresa 1 lo fa e devia
per un periodo se l’impresa 1 ha deviato nel periodo
precedente.
NB: Per definizione, una strategia
g deve specificare
p
l’azione da
scegliere in ogni possibile situazione in cui il giocatore può
44
essere chiamato a muovere!
R
1
2
D
R 0.13 , 0.13 0.01 , 0.14
D 0.14 , 0.01 0.11 , 0.11
In ogni periodo, l’impresa 1 deve decidere se deviare o no:
Se ll’impresa
impresa 1 devia,
devia i suoi profitti aumentano da 0.13
0 13 a 0.14
0 14
(+ 0.01); nel periodo successivo, i suoi profitti diminuiranno
da 0.13 a 0.11 (- 0.02)
L’impresa 1 devia sono se:
0.02
0.01
1 r
dove r è il tasso di sconto.
45
L’impresa 1 considera la strategia “Tit for tat” seriamente solo
se soddisfa la condizione di credibilità, cioè il principio della
razionalità
i li à sequenziale.
i l
In altre parole, la punizione è una minaccia credibile? Deviare
nel periodo corrente è la miglior risposta dell’impresa 2 al fatto
che l’impresa 1 ha deviato nel periodo precedente?
Notiamo che “D” è una strategia strettamente dominante per
entrambi i giocatori nel gioco uniperiodale.
Quindi, se l’impresa 2 si rende conto che l’impresa 1 ha
deviato, cioè che l’esito di cartello pieno è diventato
insostenibile, la risposta ottimale dell’impresa 2 è “D”,
qualunque decisione l’impresa 1 stia scegliendo.
La strategia “Tit for tat” è quindi credibile.
46
Simmetricamente, se l’impresa 1 segue la strategia “Tit for tat”
allora ll’impresa
impresa 2 devierà solo se,
se di nuovo,
nuovo 0.01>0.02/(1+
0 01>0 02/(1+r)
Questo implica che la coppia di strategie:
{ “Tit for tat” , “Tit or tat” }
può esse
esseree uun equ
equilibrio
b od
di N
Nash
s pe
perfetto
e o pe
per il ggioco
oco ripetuto
pe u o se
e solo se:
0.02
0.01
1 r
In altre parole,
parole il tasso di sconto deve essere sufficientemente
basso!
Notiamo
N
ti
che
h questo
t equilibrio
ilib i di Nash
N h non è unico:
i
l’ it di
l’esito
Cournot ripetuto, cioè una situazione in cui entrambe le imprese
non seguano mai ll’accordo
accordo è un altro equilibrio di Nash perfetto.
Comunque, l’equilibrio “Tit for tat” è Pareto superiore!
47
Un gioco di Bertrand ripetuto
Supponiamo che le due imprese vengano chiamate a scegliere
simultaneamente i prezzi su un orizzonte infinito.
Supponiamo inoltre che le nostre imprese scelgano le
cosiddette strategie “grim-trigger”:
Fissa un prezzo ps>c
Fi
> se nessuno ha
h deviato
d i
i passato; se
in
qualcuno ha violato l’accordo, fissa per sempre un prezzo pari
a c.
c
48
Se le imprese si sono accordate di fissare un prezzo ps e
nessuna impresa viola l’accordo, le due imprese dividono le il
mercato e ottengono:
1
D ps ps c
2
R
j
Se l’impresa j resta fedele all’accordo e fissa un prezzo pari a
ps, mentre l’impresa i devia fissando un prezzo leggermente
più basso di quello del rivale, l’impresa i si aggiudicherà
l’intero mercato; nel periodo corrente,
corrente le imprese ottengono:
iD D ps ps c , Dj 0
Da quel periodo in poi,
poi entrambe le imprese faranno profitti
49
nulli.
Il beneficio della deviazione è:
1
D ps ps c
2
D
j
R
j
Il costo della deviazione è un po’ più complicato:
Rj
1 r
Rj
1 r
2
Rj
1 r
3
...
Rj
r
Quindi le imprese devieranno solo se:
Dj Rj Rj
Rj
r
r 1
50
Questo implica che, se r<100%, allora queste strategie “grimtrigger” costituiscono un equilibrio di Nash perfetto per il
gioco di Bertrand ripetuto.
ripetuto
Si noti che questo risultato è indipendente dal valore di ps!
Ri hi d solo
Richiede
l che
h ps>c.
>
Questo significa che, se le imprese possono sostenere un
prezzo leggermente
l
più
iù alto
l del
d l loro
l
costo marginale,
i l possono
anche sostenere il prezzo di cartello pieno.
Le imprese à la Bertrand che fanno una scelta di prezzo una
volta sola, fissano il prezzo pari a l costo marginale e hanno
profitti nulli;
n lli; le imprese che fissano il prezzo
pre o ripetutamente,
ripet tamente
invece, possono fissare il prezzo di monopolio e dividere i
profitti di monopolio: che differenza si ottiene solo facendo
ripetere il gioco!
51
Gioco ripetuto un numero finito di volte
I giochi dinamici che abbiamo analizzato finora sono chiamati
giochi ripetuti all
all’infinito
infinito.
Supponiamo che le nostre imprese debbano giocare il gioco di
B t d per un numero fissato
Bertrand
fi t di periodi,
i di cioè
i è devono
d
giocare
i
un gioco ripetuto un numero finito di volte.
Ricordate
i d
che
h per trovare l’equilibrio
l
ilib i perfetto
f
siamo
i
partiti
ii
dalla fine dell’albero del gioco con il processo dell’ induzione
retrograda.
Che cosa succederà nell’ultimo periodo in cui le nostre
imprese sono sul
s l mercato?
A quel punto le imprese affronteranno un gioco di Bertrand
standard:
d d ognii impresa
i
fi
fisserà
à il prezzo parii all costo marginale
i l
52
e nessun’impresa avrà profitti economici.
Che cosa succederà nel periodo precedente? Indipendentemente da
quello che farà in quel periodo, l’impresa sa che nel periodo
successivo fisserà un prezzo pari al costo marginale.
Quindi non c’è modo di introdurre minacce: il prezzo futuro è
essenzialmente ggià fissato,, q
quindi un’impresa
p
dovrebbe scegliere
g
il
proprio prezzo nel penultimo periodo come se non ci fossero altri
periodi.
Ma allora otteniamo l’esito di Bertrand anche in questo periodo.
Man mano che procediamo all
all’indietro
indietro, troviamo che ll’esito
esito di
ogni periodo è equivalente all’esito del gioco di Bertrand statico.
In generale,
generale quando
q ando c’è un
n unico
nico equilibrio
eq ilibrio di Nash per il gioco
statico, l’unico equilibrio di Nash perfetto per il gioco ripetuto
un numero finito di volte è semplicemente ll’equilibrio
equilibrio statico
ripetuto in ogni periodo.
53
